江苏省苏州陆慕高级中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试卷

1、2.x的展开式中常数项为.2018-2019学年度高二年级第二学期期中试题数学（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知“凡是9的倍数的自然数都是3的倍数”和“自然数n是9的倍数”，根据三段论推理规则，我们可以得到的结论是.182x3.用反证法证明命题：“如果a,bN，ab可被5整除，那么a,b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为.4.利用数学归纳法证明“(n1)(n2)(nn)2n13(2n1),nN*”时，从“nk”变到“nk1”时，左边应增乘的因式是.5.分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设abc，且abc0，求证：b2

2、ac3a”索的因应是.ab0；ac0；(ab)(ac)0；(ab)(ac)0.6.若C2C2C3(nN*)，则n.nn1n17.现从8名学生中选出4人去参加一项活动，若甲、乙两名同学不能同时入选，则共有种不同的选派方案.（用数字作答）8.观察下列式子：1131151117，1，1，根据以上式子可以猜想第2019个222223232232424式子是.9.平行六面体ABCDA1B1C1D1中，A1ABA1ADBAD60，且AB1,AD2,AA3,则AC等于.11中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长均为a的10.设复数错误！未找到引用源。（错误！未

3、找到引用源。为虚数单位），则错误！未找到引用源。.11.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个顶点不同色，现有5种不同颜色可用，则不同染色方法的总数是.12若多项式x22x11aa(x1)a(x1)10a(x1)11,则011011a.1013现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其a24正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为.14.观察下列等式：cos22cos21；cos48cos48cos21；cos632cos648cos418cos21；cos8128cos8256cos6160cos432cos2

4、1；cos10mcos101280cos81120cos6ncos4pcos21.可以推测，mnp.二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15（本小题满分14分）已知z是虚数，z1z是实数（1）求z为何值时，z2i有最小值，并求出|z2i的最小值；（2）设u1z1z，求证：u为纯虚数16.（本小题满分14分）从错误！未找到引用源。中任取2个数，从错误！未找到引用源。中任取2个数，（1）能组成多少个没有重复数字的四位数？（2）若将（1）中所有个位是错误！未找到引用源。的四位数从小到大排成一列，则第错误！未找到引用源。个数是多少？

5、3,BC2,P为DF中点17.（本小题满分14分）已知函数f(x)axx2，其中a1x1证明：（1）f(x)在区间(1,)上为单调增函数；（2）方程f(x)0无负实数根18.（本小题满分16分）1已知(3xx2)2n的展开式的二项式系数和比(3x1)n的展开式的系数和大992.求(2x)2n的展开式中：x（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项.19（本小题满分16分）如图，平行四边形ABCD所在平面与直角梯形ABEF所在平面互相垂直，且ABBE1AF1,BE/AF，2ABAF,CBA（1）求异面直线DA与PE所成的角；（2）求平面DEF与平面ABCD所成的二面角（锐角）的余弦值2

6、0（本题满分16分）已知m，n为正整数，（1）证明：当x1时，(1x)m1mx；（2）对于n6，已知(111)n,求n32)n()m,m1，n；2证:(1m1n32（3）求出满足等式3n4n(n2)n(n3)n的所有正整数n2018-2019学年度高二年级数学学科第二学期期中试题（理科）评分标准281.“自然数n是3的倍数”1352.C4()483.a、b都不能被5整除4.左边=5.6.57.55(2k1)(2k2)k1=2（2k+1）=4k28.1112232120202403920209.510.15i11.42012.2213.a38z11abiab14.29(400)5096215解：

7、设zabi(b0)，则abiabiabizabia2b2a2b2a2b2所以，bba2b20，又b0可得a2b214分解方程组2并结合图形得zi9分x2y21（2）u1z1z1abi1a2b2（1）z2i(a2)(b1)i(a2)2(b1)2表示点Pa,b到点A2,1的距离，所以z2i最小值为AO1517分1yx255551abi1abi1abibi1a又b0，所以u为纯虚数14分16.不用0时，有错误！未找到引用源。个；用0时，有错误！未找到引用源。个；共有错误！未找到引用源。个四位数.7分“15”，中间所缺的两数只能从错误！未找到引用源。中选排，有错误！未找到引用源。个；“25”，中间所缺

8、的两数是奇偶数各一个，有错误！未找到引用源。个；“35”，仿“15”，也有错误！未找到引用源。个；“45”，仿“25”，也有错误！未找到引用源。个；“65”也有错误！未找到引用源。个；即小于错误！未找到引用源。的数共有错误！未找到引用源。个.故第错误！未找到引用源。个数是错误！未找到引用源。，第错误！未找到引用源。个数是错误！未找到引用源。，第错误！未找到引用源。个数是错误！未找到引用源。，第错误！未找到引用源。个数是错误！未找到引用源。.14分axlna0，17.证明：（1）当x1时f(x)axlnax1(x2)(x1)23(x1)2所以，f(x)在区间(1,)上为单调增函数；5分（2）假设

9、方程f(x)0有负实数根x，7分0所以x02ax0，x10因为a1，x0，所以0ax01，所以00 x20 x101，则1x20 x100，时，x1；当00时，1x2x1x1当1x2x200000所以x不存在，这与假设相矛盾，所以假设不成立，0所以，方程f(x)0无负实数根14分18.解：由题意22n2n992,解得n5（1）(2x1x)10的展开式中第6项的二项式系数最大，x即TT6511C5(2x)5()58064.5分10（2）设第r1项的系数的绝对值最大，x则Tr11Cr(2x)10r()r(1)rCr210rx102r101010Cr210rCr1210r1,得10Cr2Cr12Cr

10、Cr1Cr210rCr1210r110101010101011r2r,即2(r1)10rr,r3,故系数的绝对值最大的是第4项即TC3(2x)7()315360 x4x3,BC2，81133141016分19.在ABC中，AB1,CBA所以AC2BA2BC22BABCcosCBA3所以AC2BA2BC2，所以ABAC又因为平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEFAB，AC平面ABCD，所以AC平面ABEF4分如图，建立空间直角坐标系AB,AF,AC，则13A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,0,3),D(1,0,3),E(1,1,0),F(0,2,0),P(,1,)226分D

11、A(1,0,3),PE(3,0,232)设异面直线DA与PE所成的角为，则cos|DAPE33|DA|PE|232所以异面直线DA与PE所成的角为；11分6AF(0,2,0)是平面ABCD的一个法向量，设平面DEF的一个法向量n(x,y,z)，DE(2,1,3),DF(1,2,3)nDE(x,y,z)(2,1,3)2xy3z0则，nDF(x,y,z)(1,2,3)x2y3z0得z3x3y，取x1，则y1,z3，故n(1,1,3)是平面DEF的一个法向量，13分设平面DEF与平面ABCD所成的二面角（锐角）为，则cos|AFn25|AF|n|25516分20第（1）小题共5分；第（2）小题共5分

12、；第（3）小题共6分解法1：（1）证：用数学归纳法证明：（）当m1时，原不等式成立；当m2时，左边12xx2，右边12x，因为x20，所以左边右边，原不等式成立；2分（）假设当mk时，不等式成立，即(1x)k1kx，则当mk1时，x1，1x0，于是在不等式(1x)k1kx两边同乘以1x得k(1x)(1x)(1kx)(1x)1(k1)xkx21(k1)x，所以(1x)k11(k1)x即当mk1时，不等式也成立综合（）（）知，对一切正整数m，不等式都成立5分6，mn时，由（）得：1111m0，（2）证：当nn3n3m（令x1,易知x1）7分n3mn1n3n31n1m1，m1，n10分于是11nmn

13、32m2(3)解：由（）知，当n6时，11111n2nn3n3nn112n3221n212n1，112分n2nn1n3nn3n3n3即3n4n(n2)n(n3)n即当n6时，不存在满足该等式的正整数n2345故只需要讨论n1，的情形：当n1时，34，等式不成立；当n2时，324252，等式成立；当n3时，33435363，等式成立；3当n4时，34445464为偶数，74为奇数，故3444546474，等式不成立；当n5时，同n4的情形可分析出，等式不成立综上，所求的n只有n2，16分解法2：（1）证：当x0或m1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：当x1，且x0时，m2，(1x)m1mx（）当m2时，左边12xx2，右边12x，因为x0，所以x20，即左边右边，不等式成立；（）假设当mk(k2)时，不等式成立，即(1x)k1kx，则当mk1时，因为x1，所以1x0又因为x0，k2，所以kx20于是在不等式(1x)k1kx两边同乘以1x得k(1x)(1x)(1kx)(1x)1(k1)xkx21(k1)x，所以(1x)k11(k1)x即当mk1时，不等式也成立综上所述，所证不等式成立1n11m