2022届高考二轮专题复习-球体专题讲义

1、高考数学热点之球体专题球体所涉及的公式：球体表面积：S 4 R2 ;球体体积：V - R3.3高中数学中球体的一般问题解决方法：球心位置确定球体问题模型（不）等量关系半径；球体基本性质：1、球心与任意球体截面圆的圆心连线都与截面圆所在平面垂直.2、球体的对称性.（I）几何体外接球问题的几种常见模型：一、长方体的外接球问题由于长方体和球体都具有中心对称性质，从而长方体的体对角线为其外接球的直径，其球心为体对角线的中点.设球体半径为R ,则（2R）24R2x2y2z2；其中x、y、z为长方体的长、宽、高.例1.长方体的长、宽、高分别为 3,2,1,其顶点都在球 O的球面上，则球 O的表面积为解：由

2、题意可知，（2R）2 4R2 32+22+12=14,所以球O的表面积S 4 R2 = 14 .习题巩固1:已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积是（）A. 16兀B. 20兀C. 24兀D. 32兀延伸：涉及到长方体的外接球问题重点：若一个几何体的所有顶点均在长方体的顶点上，则该几何体与长方体共外接球.（1） 侧棱两两垂直的三棱锥的外接球设球体半径为R ,则（2R）24R2x2y2z2；其中x、y、z为三棱锥的侧棱长.如下图所示，三棱锥 P ABC中，PA PB,PA PC, PB PC ,三棱锥P ABC的各个顶点均为长方体的各个顶点（三棱锥的三条相互垂直的

3、侧棱为长方体的一个顶点出发的 三条棱）,所以二者共外接球.面体外接球的表面积PC,PC PA,PA 2,PB 3, PC 4 ,求四4R2 22 32 42 29,所以球。的解：设所求几何体外接球球半径为R ,则/oq2(2 R)习题巩固2:已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在球O 的球面上，PA=PB=PC = 2,且 PA,表面积S 4 R2=29PB, PC两两互相垂直，则球 O的体积为(16738V3C.D, 273(2)对棱两两垂直的三棱锥的外接球如下图所示，三棱锥 P ABC中，PA BC,PBAC, PC AB ,三棱锥P个顶点均为长方体的各个顶点(三棱锥P ABC各条棱为长方体的

4、面对角线 ) 外接球.ABC的各所以二者共例3：四面体A BCD中，AB CD10，AC BD 2瓦,AD BC2百，则四面体A BCD外接球的表面积为(A. 50B. 100C. 200D. 300解：设其外球半径为BCD共顶点的长方体的长、宽、高分别为x、y、z ；从而 AB2 x2 z22 一 210 , ACy2 (2 34)2,AB2 y2z2(241)2 ,从而三式相加，得（2R）2 4R2 x2 y22200.故S求4 R2 200 .答案为C.A, 4736.38、. 3D. 12. 3BD 75, ADBC ,且四习题巩固3：四面体A BCD中，AB CD ，3 , AC 面

5、体A BCD外接球的表面积为15 ，求BC的长.2二、直（圆）柱体外接球的问题 （此种模型也适用于直棱锥（有一条侧棱垂直于 底面的棱锥）的外接球）分析：由柱体和其外接球的对称性易知，柱体外接球球心在柱体的中平面上，如下图所示：已知柱体ABC A1B1C1 ,其中D、E、F 分别为三条侧棱的中点， 则球心O在面DEF 上，千心O到柱体底面的距离 OQ=d为柱 体高h的一半，且OO1 面ABG.其中，R为外接球半径，r为底面外接圆 圆心. TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark116 o Current Document 1222由以上可知，d -h, R d r ，

6、从而求得柱体外接球半径R.2（注：若柱体底面为三角形，则利用正弦定理求其外接圆半径r ；若柱体底面为长（正）方形，则对角线为其外接圆直径；若为其它多边形，只需要利用三个顶点构成的三角形，然后利用正弦定理求其外接圆半径（如果这个多边形无外接圆，则几何体就没有外接球）.例4:已知三棱柱 ABC - A1B1C1的侧棱与底面垂直， AA1= 2, BC=2, BAC 一，则三棱4柱ABC - A1B1C1外接球的体积为（. .解：由题意可知球心到枉体底面距离d AA 1;1BC 2由正弦定理可知：一2V2 2r,（r为柱体底面 ABC的外接圆半径）sin BAC sin 4解得，r 2设球体半径为R

7、,由R2d2 r2 12（扬23, R73V球-R3 4（、3）34、,3 ，3故答案选A.习题巩固4:知三棱柱ABC-AiBiCi的侧棱与底面垂直，AA1 = 8,AB = AC=3, BAC3则三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面积为（）A. 36B. 64C. 100D. 104三、正棱锥的外接球（也适用于圆锥的外接球）球心O在正棱锥高线上球心O在正棱锥高的延长线分析：由正棱锥和球体对称性可知，正棱锥的外接球球心在正棱锥的高或高的延长线上。 如下图：其中OO1 d为球心到底面的距离，R为正棱锥外接球半径，r为正棱锥底面外接圆半径；222且OQ 底面ABC不妨设正棱锥的高为h ,则d |

8、h R| ,从而（h R） r R例5：正三棱锥的高和底面边长都等于6,则其外接球的表面积为 解：由题意，底面外接圆半径r ,则由正弦定理得，6 2r 473, r 2j3 ；sinf又有 h 6,由（h R）2 r2 R2,从而（6 R）2 （2拘2 R2 ,解得，R 4.所以 S求 4 R2 4 42 64 .习题巩固5 :已知一个圆锥底面半径为 4,高为8,则该圆锥外接球的表面积为 .四、有两个面相互垂直的几何体的外接球知识点：过几何体任意两个面外接圆的圆心作两个面的垂线，垂线的交点即为球心如图：已知几何体的面 PAB 面ABCDQ1、O2分别为几何体面 PAB和底面ABCD外 接圆圆心

9、，OO1、OO2分别为面PAB和底面ABCD的垂线，从而O为几何体外接球球心.过O1作两垂直面的交线 AB的 垂线，垂足为E ,连接O2E ;由 外接圆的性质可知， E为AB中 点OA R ；两垂直面的交线 AB的设圆Oi与圆O2的半径分别为r1、七；几何体外接球半径 长为l .由上图性质易知，四边形 OiEQO为矩形，OiA ri,02A b ； 由题意，四边形 O1EO2O为矩形，所以OO2 QE, TOC o 1-5 h z 222222122.22222122由O1EO1AAEri(), OA ROO2O2A ()r2； HYPERLINK l bookmark54 o Current

10、 Document 22l2化简彳导,R2 ri2 r22 -.4例6:在三棱锥 S-ABC中，SB= SC= AB=BC = AC=2,侧面SBC与底面 ABC垂直，则三径分别为ri、2 ,三棱锥S-ABC外接球半径为R.,侧面SBC1底面ABC的交线段的长为， 2所以由正弦定理可知，2ri 2r2 ,解得，r1sin 60又因为BC 1 2,所以R2 r2 r22 - = 54 320从而棱车t S- ABC外接球的表面积 S 4 R2 j.32.33习题巩固6:已知矩形ABEF所在的平面与矩形 ABCD所在的平面互相垂直,AD = 2, AB=3, AF3.3,M为EF的中点，则多面体2

11、M - ABCD的外接球的表面积为五、具有公共斜边的直角三角形所构成的三棱锥的外接球由圆和球体的性质可知，几何体外接球球心在公共斜边的中点处如图所示：AB为三棱锥S-ABC的外接球直径.力棱车IS- ABC外接球的表面积是 解：由题意可知， SBC 4ABC都是等边三角形， 设侧面SBC与底面ABC的外接圆半六、其它几何体的外接球 TOC o 1-5 h z 过几何体任意两个面外接圆的圆心作两个面的垂线，垂线的交点即为球心例7：已知等腰直角AABC的斜边，沿斜边的高线AD将AAEC折起，使二面角B-AO-C为三,则四面体ABCD的外接球的表面积为（）.A.B.4C.2D.7 HYPERLINK

12、 l bookmark2 o Current Document 33解：如图为等腰直角 AABC翻折后的几何体：由题意可知，三角形ABD和三角形ACD都为等腰直角三角形， 且AD=CD=BD=1.从而AB、 AC的中点O1,O2分别为三角形 ABD和三角形ACD的外接圆圆心.取AD中点 巳连接O1E 和 O2E . TOC o 1-5 h z 分别过O1,O2作面ABD和面ACD的垂线，其交点为所求几何体外接球球心O .1易知二面角 B-AD-C为 BDCO1EO2 -,O1E O2E -, AC 202c & HYPERLINK l bookmark118 o Current Documen

13、t 32易求 OO2 ,OC2 R2 OO22 02c2 ,612所以四面体ABCD的外接球的表面积为 s 4 R2 ,故答案选D.3习题巩固7:已知正三角形 ABC的边长为2,将它沿高AD翻折，使点B与C点间在距离为J3,此时四面体外接球在表面积为 （II）锥体内切球或柱体内最大球体 问题的几种常见模型：七、棱锥的内切球问题由内切球性质可知， 球心到锥体各个面的距离均为内切球半径，又由体积不变性以及分割术可知，V锥- 3 6表（其中r为内切球半径）例8:已知三棱锥 P-ABC,在底面 ABC中，Z A=60, AC BC , BC J3 , PA 面ABC, PA=2,则此三棱锥的内切球半径

14、 .解：由题意易知,AC 1,AB 2.又因为 AC BC ,所以 &ABc1 -AC2BC32-1c V锥-S .ABC PA351.勿求信,S表 S,ABC S.PAB S. PAC S.PBC 12 1 44, 514一，1c ，口又由V锥一.rS表，得r34、153-16 335八、圆锥的内切球问题由圆锥和的对称性易知, 径r.如图：其中h、r、R、r h r从而可得 .R l圆锥的内切球球心在圆锥的高线上，可采用相似关系求内切球半l分别为圆锥的高、内切球半径、底面圆半径和母线长.例9已知一个圆锥底面半径为1 ,母线长为3,则该圆锥内切球的表面积为（）A.兀B. 一C. 2兀D. 3兀

15、2解：由题意，圆锥的高 h ，32 12 2衣，设圆锥内切球半径为r,“r 2 2 r22 c 一一从而,解得，r ,从而该圆锥内切球表面积为 S 4 r 2 ,故答案132选C.九、直棱(圆)柱体内最大的球体解法：(i)先求柱体底面最大圆的半径rmax (注：若底面为三角形，则其内切圆半径r内为max,且三角形内切圆半径r内S 1(a b c)r内；若底面为多边形，则rmax为多边形的长宽较2小者.)h(ii)设枉体局为h,若h 2rmax,则枉体内最大球体半径 r ax ;反之，r 一.2例10:在封闭的直三棱柱 ABC-AiBiCi内有一个体积为 V的球，若AB BC, AB= 6, BC=8, AAi=3,则V的最大值是()A . 4兀B. 9C. 6兀D. 2-23解：设底面三角形 ABC的内切圆半径为 宿，则底面最大圆半径 r内rmax,由-1S -(a b c)r内，可求得rmax 2 ,又因为AA h 3 2%ax 4 ,从而直三棱柱ABC2 TOC o 1-5 h z h 3439-AiBiCi内取大球体半径r =,从而V r ,故答案选B.2 232(III )球体与球体之间的问题做法：以各个球体