点亮高中数学形象思维之花(共14页)

1、点亮高中数学形象思维(xn xin s wi)之花浅谈对高中数学形象思维(xn xin s wi)培养的研究江苏省苏州第十中学(zhngxu) 朱嘉隽数学思维建立在数学学科的基础之上，是人脑对数学对象及其相互作用按照一般思维规律进行间接性、概括性的反映。前苏联数学家斯托里亚尔在他的著作数学教育学一书中提出：“数学教学是数学活动的教学（思维活动的教学）。”因此，数学思维问题是数学教育的核心问题。数学形象思维是数学思维的一种类型，同时也是形象思维在数学学科中的具体表现，它是在数学学科领域（包括数学教育领域）中，依靠对与数学对象有关的各种形象材料的感知意识得到理解，以数学表象、数学联想和数学想象为基

2、本形式，以观察与实验、联想与类比、猜想与总结等数学形象方法为基本途径的思维方式。1. 数学形象思维的特点（1）形象性 形象与抽象相对，数学形象思维所反映的是客观数学对象的外在特征，通过能为感官所感知的图象、图式和符号来表达和描述，这使数学教学具有循序渐进、由表及里的特点，符合学生的普遍认知规律。（2）整体性数学形象思维对客观数学对象的认识和加工不是逻辑归纳、步步推进的，而是调用多种形象材料，对其进行整体把握、多向比较，在数学教学中，它有助于学生迅速从整体上把握住问题的实质。图1-1图1-2【例1】有这样一个问题：向高为的水瓶中注水，直至注满为止，如果水量与高的函数关系如图（图1-1）所示，那么

3、水瓶的形状最有可能是下列图（图1-2）中的哪一个？我们从整体上对问题(wnt)进行把握，利用条件给出的关于水量和水位高的函数图像图，对其进行认真观察和分析，抓住特点(tdin)思考与判断，这需要比较(bjio)强的形象思维能力.（3）模糊性 形象思维对问题的反映是粗线条的反映，对问题的把握是大体上的把握，因此其对问题的分析往往是定性的，在实际的数学思维活动中，需要将数学逻辑思维与数学形象思维相互结合。（4）想象性想象是运用已有的形象材料形成新表象的过程，致力于获得新的思维产物。数学是思维的体操，数学思维能力的提升需要一个人具备必要的想象能力，一个有较强想象能力的人一定程度上也具有较强的创新能力

4、，想象力的提高同时对数学形象思维的发展有很大的推动作用。 【例2】 2001年全国高考题：如图（图2-1），在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，图2-1，SA=AB=BC=1，AD=.（1）求四棱锥SABCD的体积； （2）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.本题第（2）小题要求(yoqi)确定的二面角的平面角不易得到(d do).仅从题目(tm)条件出发不易下手，但是通过观察，发现面SCD、面SBA、面ABCD两两相交，因此面SCD与面SBA的交线必过面SCD、面SBA与面ABCD的交线AB与DC的交点，为此延长BA、CD相交于E，连结SE，则SE是所求二面角的棱.（图2-2）图2-

5、2（5）创造性数学形象思维的想象性客观上要求其具备创造性，人们也是在不断思维的过程中持续培养起创新意识和创新精神的。2. 高中数学教学中数学形象思维的作用（1）有效促进对数学基本概念的理解与运用由于高中生自身的学习特点和发展规律，他们往往难以直接接受具有高度抽象性的逻辑思维结论。学生在学习数学时会把这些概念转化为自己善于把握、易于感知的形象材料，这个过程依托于数学形象思维来完成对相关数学概念的理解和记忆。【例3】等比数列概念形成.等比数列是一个十分抽象的概念，也需要很高的数学技巧.教材给出了如放射性元素半衰期、轿车折旧价值和投资年收益等日常生活实例，这很好地激发了学生的兴趣，并能促成学生思考.

6、值得一提的是，等比数列的概念和之前学生学习过的指数函数模型有相近甚至是相同的部分，这样在学科模块和专题之间建立知识联想与迁移，也丰富了学生的知识面.此外，有一些与此相关的故事，如古代国王和大臣棋盘摆米粒的趣闻、分期付款中的盈亏问题等，都非常精彩，学生们喜闻乐见，也能同样达到学习基本概念的目的.（2）有助于提出数学问题(wnt)、解决实际问题数学形象思维(xn xin s wi)作为学生乐于采用的数学思维方式，并不仅仅停留在将数学(shxu)的抽象形式从形象材料“摆渡”到逻辑层次，更能启发学生进一步发现未知的领域，从发现新问题入手，继而发现新思路、新方法、新模式，对于解决实际问题有着积极的指导作

7、用和促进意义。【例4】一个求最大容积的问题。高中数学导数应用中有这样一个问题：一块的铁皮，做成一个没有顶的铁盒子，如何进行剪拼才可使这个铁盒子的容积达到最大？学生在解决这个问题的过程中，都会想到设这块长方形铁皮四角剪去的小正方形边长为，得到最后的铁盒子的底面长为，宽为，故容积为，通过求导求出这个关于的函数的最大值即可.在实际的解题中，有学生提出，既然是剪拼，那剪去的四个小正方形为何不可以继续拼接在铁盒子上，从而扩大容积呢？这个想法是非常难能可贵的，我们在数学基本知识的教学中，往往为了应用而应用，并没有真正地考虑到实际中存在的各种可能.学生提出的剪拼铁皮的新方案，就是从原有的形象材料入手，通过个

8、人的积极思考，发现新的问题，并大胆提了出来，为我们的教学注入了新的活力和动力. （3）与逻辑思维有机结合，协同发挥作用数学形象思维和数学逻辑思维在解决数学问题中所表现出的作用是相互的，两者往往都可以达到各自的目的，但是在实际问题面前又需要相互配合、彼此协同，才能真正(zhnzhng)做到解决一个问题。【例5】图的使用.在集合的有关知识中，经常会遇到容斥问题.例如(lr)这样一个问题：某班有学生50人，期中进行语文、数学、外语三门课程考试，已知有9人语文得满分,有12人数学得满分,有14人外语得满分，且有6人语文、数学都得满分，有3人语文、外语都得满分，有8人外语、数学都得满分，此外，还有2人这

9、三门课程都得满分，请问恰有一门课程得满分的有几人？恰有两门课程(kchng)得满分的有几人？遇到这样的问题，学习过容斥原理的学生，完全可以借助于数学逻辑思维来解决，但是利用容斥原理列式反而十分繁琐，远不及采用图简捷（图3），这里数学形象思维的作用就体现出来了.图3（4）有利于发展数学思维数学形象思维在教学过程中起到了启发学生思维、完善学生学习能力的作用，对于学生全面思维能力的培养，特别是创新思维能力的培养，具有积极的意义，这也使得学生的思考更趋于合理全面，避免形成思维定势，使学生的思维水平得到质的提升。【例6】函数(hnsh)最值问题与数形结合.如这样一个(y )问题：求函数的最小值. 函数最

10、值问题(wnt)与定义域联系，学生求出的范围后，想办法消去根式进行处理.但这样的做法十分繁琐，有机械学习的嫌疑，缺乏科学性.如果换一个思路，引导和发展学生的全面思维，适时合情地使学生们学会转换条件、利用结论，就能感到“柳暗花明又一村”.把这个函数最值问题转化为平面上两点间的距离问题，就会豁然开朗了。因为我们可以发现两个根式相加的形式和平面解析几何中的两点距离公式有相似之处，所以展开了合情联想，将原式整理成，在平面上就表示为轴上一点到两个定点的距离之和，求函数最小值，就是求这个距离之和的最小值，根据平面解析几何关于直线的知识，我们可以很快得出最小值即为线段长（是关于轴的对称点），同时我们还可以求

11、出满足条件的，即求出函数取最小值时的取值.（图4）图43. 数学(shxu)形象思维在高中教学中的实践探究（1）全面展示对数学表象(bioxing)的加工过程，唤起对形象思维的需要对于某一个特殊的事物采用个别考察的方式，将其特性反映(fnyng)出来。学生对于这些事物内在所含有的共同特性是具有感知能力的，但是对其进行系统概括又是需要过程的，建立起对数学表象的加工过程，将这一过程全面展现给学生，帮助学生理解领会。【直线斜率】直线斜率的概念在平面直角坐标系中不容易理解，在教学中可以采用楼梯坡度的概念来帮助解决.学生对楼梯坡度的陡峭或平坦有直观的感受，能够理解当楼梯高度越高时坡度也就越大，因此坡度反

12、映了楼梯的一种陡峭程度，即.由此引入直线的斜率，学生就能顺利理解斜率是描述直线倾斜程度的一个量，并且在处理方式上和坡度的概念是相似的，这样我们就把现实生活中的具体例子进行了加工抽象，通过形象思维建立起对数学基本概念的理解.（2）启发学生进行整体思考，适度展开发散思维形象思维具有整体性，学生对于数学对象的理解和思考往往最容易缺失整体性。在教学中，应该特别重视培养学生思考时的整体观念和全面意识，进行多点思考、全面思考。【空间直线垂直关系的证明】如图（图5-1），在正三棱柱侧面的三条对角线中，若有，求证：.图 5-1图 5-2从原图出发，思维被局限在单个的正三棱柱中，难以直接发现问题的结论，此时如果

13、尝试从整体的角度(jiod)出发，在原正三棱柱的上下各补接一个同样的正三棱柱，问题就迎刃而解了.（3）建立几何背景，加深(jishn)理解。高中数学中有不少的基本知识点都有其内(q ni)在的几何背景，教师和学生都容易忽视这一点。其实，基本概念的几何背景具有直观清晰的特点，对于帮助学生加深理解、纠正谬误会起到事半功倍的效果。【基本不等式的几何解释】基本不等式可以从代数角度证明，从几何角度进行解释则显得更加直观通俗.如图（图6），“在圆中，半径不小于半弦，”就是对基本不等式的一种简单解释. 图6（4）紧抓数形结合，沟通代数知识和几何图形之间的关系数形结合既是一种数学思想又是一种数学方法，也是数学

14、形象思维最典型最广泛的一种具体形式。在教学过程中，恰当准确地应用数形结合，能够提高学生的学习能力，使学生感到数学基本概念之间相互联系、融汇贯通的紧密关系，从而增强学习数学的兴趣，同时也有助于学生进行理解和记忆。数形结合体现出数学的美感和智慧，对于培养学生认识数学、欣赏数学、理解数学有着巧妙而重要的作用。【解超越(choyu)方程中的数形结合运用】对超越方程的解的求法，可以通过函数图像加以解决。例如：方程的解的个数为 .把方程(fngchng)两边看成函数，即原方程解的个数就转化(zhunhu)为两个函数图像交点的个数，如图（图7），易知这两个函数的图像只有两个交点，因此原方程解的个数为两个.图

15、7图8又如，2003年全国高考题：使成立的的取值范围是 .如图（图8），在同一直角坐标系中作出函数，的图像，易知两个函数图像交于点.的取值范围是.【函数图像的运用】函数问题转化为图像来思考，碰到棘手的问题时学会画出图像，就能化难为简.例如：已知二次函数的一个根比1大，一个根比1小，求实数的取值范围 . 这是典型的二次函数根的分布问题，如果根据(gnj)题意作函数图像，就会发现满足条件的函数图像只有一种形式（图9），这样的函数必在处为负值(f zh)，本题就转化为求，故得到(d do)，即图9又如：方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是 .根式方程可以转化为函数理解，方程两边是两个函数： 方

16、程有两个不同的解，即函数图像有两个不同的交点，因此构建满足有两个不同交点时的函数图像构形（图10）. 联系函数的截距的取值，可以从图像上得到的取值为. 图10（5）把握(bw)基本概念的变化规律，培养由静到动的思维观点高中数学的教学大多是研究静止状态下的数量关系和空间图形，较少涉及运动变化的对象，学生也因此容易感到数学知识浮于表面，与个人生活无关，丧失(sngsh)学习兴趣和学习动力在所难免。这一点警示我们在教学中要注重对数学对象的变化研究，并且尽可能地让学生自主参与到这种研究过程中来，体验探究的乐趣。图11-1图11-2【指、对数函数的变化趋势】学生(xu sheng)对指、对数函数的理解大

17、都是抽象的，一旦发生变化往往应对不及，学生过于死记硬背，只记得一两个图像，而没有通盘考虑.使用几何画板演示展示指、对数函数图像的动态变化（如图11-1、图11-2），同时这两类函数互为反函数，它们有各自的特性也有彼此的联系，这些都是光靠静态的个别的特殊函数无法展现的. 图12【圆幂定理的几种形式】在几何证明中有很多是动态变化的，而相关结论随着图形的变化往往保持着数学意义上的一致性.圆幂定理中的切线长定理、切割线定理和割线定理就是很好的例子（图12），这体现了数学概念中变化与统一的辩证关系.（6）合理转化条件，利用(lyng)结论，展开数学联想联想沟通了数学基本概念之间的相互关系，并且反映了一类

18、数学对象的性质。更广泛意义上的联想不仅局限在由一个概念拓展到几个推论，更多是在数学对象之间共同特征的沟通，这种沟通可以是数形结合，可以是化归转换，也可以是迁移发散。联想本质上表现(bioxin)出了学生对数学形象认识的一种逐步提高，通过联想，能够实现举一反三、触类旁通，进一步促成学生创造性思维的培养和发展。【空间图形与平面图形的转换】如图，有一只蚂蚁(my)在正四棱锥底面的点，沿正四棱锥的表面爬行，最后爬行到棱的中点处，试问，这只蚂蚁应该选择什么爬行路线才可使爬行的距离最短？图13这个问题本身建立在立体几何中关于棱锥的基础上，如果展开联想，这只蚂蚁是在正四棱锥的表面上爬行的，因此其爬行的路线其

19、实就是在一个平面上.通过这样的联想，就可以突破立体几何的空间概念，将这个正四棱锥沿一条棱剪开并摊平放置在一个平面上，即得到由四个全等等腰三角形依次拼接组成的一个多边图形（图13）.蚂蚁从点爬行到点最短距离即为线段，因为两点之间线段最短. 【对开发空间想象能力的尝试】2000年全国高考题：如图所示（图14），分别是正方体的面、面的中心，则四边形在该正方体的面上的射影可能是 .（把可能的图的序号都填上）图14本题(bnt)设计巧妙，在思考上要求学生具有较强的空间想象能力，而空间想象能力的积累需要依靠(yko)学生在长期的思维训练中形成，这个过程是数学形象思维和数学逻辑思维交互作用的结果. 高中数学依托于数学思想，渗透在高中数学教学的各个方面，数学形象思维的作用和表现也远远不止于上述列举的这些内容，我们教育工作者应当了解学生的学习特点，遵循学生的认知过程，不断推进(tujn)数学形象思想的培养，增强学生运用数学形象思维的意识，并且与数学逻辑思维相配合，全面提高数学能力，综合锻炼数学思维，积累经验、享受成功。主要参考文献1. 钱学森主