2011年华南理工线性代数经典试题+解析

1、线性代数期终考试卷(五份)试卷1)填空题(每小题4分，共20分)(1)设 A= 0 2 2 ,则 AtA=1 111 5 51 5 14 O B ,1(2)在分块矩阵A=中，已知B 、CC O1 .存在，则A1 2(3)设 A= 2 43 630 , B为三阶非零矩阵，满足9AB=O ,贝U r(B)=13)因为 rank(AB)=rank(A)+rank(B)-n ,而本题中 rank(AB)=0,rank(A)-2,所以 rank (B) =1/、升2(4)若14X=三次代数方程2)选择题(每小题a11(1)设 a= a21a313分，共a12a22a32a13a23223X=08=015

2、分),B=的根是a21a11a31 a11a22a23a12a13a32a12a33a13Pi= 1(A)AP iP2=B(C)PiP2A=B(2)设A是三阶矩阵,(B)AP2Pi=B(D)P2PiA=BA*是其转置伴随矩阵，又k为常数k 0, 1 ,则(kA)*=( B )(A)kA*(B)k 2A*(C)k3A*(D) 1 A*3若r(A)=r0）通过正交变化成标准型q=y2+2y22+5y32。试求：（1）参数a的值。（4分）（2）所用的正交变化矩阵 Q。（4分）（3）问q是否为正定二次型？为什么？ （4分）2 0 07） （1） a 2。提示：A 1 2 3,即 0 3a 1?2?5

3、10；0 a 3010Q -左0%； 1 2 0 1 2q为正定二次型，因为特征值全大于零。8)(共7分)已知n阶矩阵A对任意n维向量x= Xi,X2,.,Xn T , y= yi,y2 ,.,yn T均有 xTAy=0。试证 A=O。8)解析：取 x q,y ej ,由 xTAy 0 可求得 a。0(i 1,2, ,n, j 1,2, , n)。二、试卷二1)填空题(每小题4分，共20分)(1)设A, B,C皆为n阶矩阵，已知 det(I A) 0。若B IB C E (1)解析：因为 B I AB ,则 B(I-A)=I ,所以(I-A)=B -1。又 C A CA,则 C(I-A)=A

4、,所以有 CB-1=A, C=AB, B-C=B-AB=B(I-A)=I;(2)设A为三阶非零矩阵，B211312 ,且(AB)t O,则 a 011 arank(A)=rank(A|B)3;rank(A|B)n-r,所以A是线性相关的。不满足基础解系的条件。排除。222(4)已知一次型fx1x2 5x32tx自2 2xx3 4x2x3是正定的，则t的范围是(C )5 / 19(A) t 0(B) t 0 (C)(5)若n阶矩阵A、B、C满足AB(A) A C(C) r(AB) r(C)4-t 0 (D)5CB ,则必有（D ）o(B) B O(D)11A、B、C皆可逆，则，A Cax y z

5、 43) (9分)设线性方程组x by z 3x 2by z 4问a、b取何值时, 表达式。卜列方程组无解、有唯一解，有无限多组解，试写出无限多组解的通解13）解析：a 1且b 0时，方程组有唯一解；b 0时，方程组无解；a 1且b 3时，方121程组无解；a 1且b =时，方程组有无穷多解，解为x 0 t 2 , （t R）。124)(9分)给定两组向量，1, 2, 3；1, 2, 3其中1(1,0,-1) T,2 (2,1,D T,3 (1,1,1) T1(-1,0,0) T,2(-3,-1,-2) T,3(-1,0,-1)T(1)试证1, 2, 3及1, 2, 3分别线性无关；(2)设

6、A 1, 2, 3 , B 1, 2, 3 ,若有 A BC问C是否可逆？若可逆，求出 C4) (1)提小：证 1, 2, 30, 1, 20;011_ 11 _(2) C A B=1321225) (9分)给出四个n维向量组(A)1 , 2 , 3 ； ( B)1 , 2, 3 , 4 ； ( C)(D)设已知组（A）与（B）的秩均为3,而组（C）的秩为4,试问向量组 什么？D）的秩等于多少？为5)因为 rank ( 1, 2, 3) =rank1 , 2, 3 , 4）=3；所以4可由1 , 2 , 3唯一线性6 / 19表示。设 4 i i 2 233；则 rank (1, 2, 3,

7、54 ) =rank(1, 2, 3, 5-1122-33）,经过列初等变换，等于 rank1 , 2, 3 , 5) =4。6） （9分）设二次曲面的方程axy 2 xz 2byz 1(a 0)x经正交变换 y Qz，化成22 2 2 1。求a、b的值及正交矩阵Q 。31 31 361 62 621 2 oQ1b,2 a案番1767） （9分）设A是一已知的n阶矩阵，满足A2A,试证2I A可逆，并求出（2I A）7)8).一1 A I解：（2I A） 1 .提示:2（6+6= 12分）计算行列式(2IA)(IA)2IA28)D4解：D4经过行初等变换等到xA4;(2)Dn=xA4;n=x1

8、)n 19）（8分）已知A是任一 n阶方阵，试证:若有n维向量使Anx0 Anx2n 1则向重组x , Ax , A x , , A x必线性无关。 n 1n 1n 19)提示：用定义设1x* 2AxnA x 0,两边左乘An1,可得1A x 0,则10 ,两边左乘An 2 ,可得 2An1x*0 ,则 20 ,以此类推可得n 1 * 一i 0,(i 1,2, ,n),故 x ,Ax , ,A x 线性无关。7 / 19三、试卷三若不正确，在括号内填上“ X”(每1)判定下列命题是否 正确，若正确在括号内填上 题3分，共12分)(1)设A为三阶实对称阵，其特征值为1,2,3,则A为正定。设12

9、, 1,2,32, 2, 0 T，则 1, 23,为R3的一个基。(3)设A为m n阶矩阵，1, 2k为Ax0的k个线性无关的解向量，12k F,是 Ax0的一个基础解系。(4)若1, 2, 3线性相关，2, 3, 4线性无关，则4 一定不能由1, 2, 3线性表出。(V)3)因为任意一个解都可由1, 2, , k线性表示，但是题目中没有说1, 2,卜是人* 0的所有线性无关的解，即kn-rank(k)时，并不能使任意一个解由 1, 2, , k来线性表示。123234123412344)因为 r( ,) r(A)+r(B)-n。(3)若 A则 PAP=a31(4)已知1坐标是(4)解析：(a

10、11a21a31a11a21a11a12a131, 2, 3都正交的全部3)4 =o,即O ,则 r(B)a22a32a13a23a33(1,3,2)a23a33a13a12a22a13a23a32a12a33 a13是R3的一组基,则向量4在这组基下的所以坐标为(1,3,2)(5)已知A是三阶方阵，det A3,的行列式值为4) (3分X 5=15分)选择题(1)n阶矩阵A有n个不同的特征值是A.充分必要条件A与对角阵相似的(B )。B.充分但不是必要的条件12 / 19C.必要但不是充分的条件D.既非充分也不必要的条件A )。B.(A B)(A B) A2 B2(2)n阶矩阵A、B,下列各

11、式中必成立的是(A. (A B)2 A2 AB BA B2C. (A B)2 A2 2AB B2D. (A B)2 A2 2AB B2设已知i, 2是m n线性方程组Axb(b 0)的两个解，则(A. i 2是Ax 0的解B.是Ax b的解i 2是Ax b的解i - 2是Ax 0的解(4)若n阶矩阵A,B均可逆，AXB=C,则(B )1111A. X ABCB.X A CBC.X CB 1A 1D. X B 1CA 1设1, 2是n阶矩阵A的两个特征值，其对应的特征向量分别是1,2,且已知12是A的特征向量12是A的特征向量12是A2的特征向量12不是A2的特征向量(5)解析，有条件得:A 1

12、1 1A222a2( 12)1= -2,A( 12 )A( 1 - 2 )1A(1 - 2 )1 ( 12 )即 11( 1 - 2)1( 12)2是A2的特征向量5)(12分)试对下列方程组讨论参数取何值时无解，取何值时有解并在有解的情况下求出其 TOC o 1-5 h z 2x1 (4 k)x27解。(2 k)x1 2x232x1 5x2k 65)解析:13 / 1924-k-7r(A | b)2-k2-325k-60-1-k-1-k-k -33-k，若k -1,则25k-6r(A |b) 2 r(A),此时有唯一解,XiX21111；15若k -1,则r (A |b)01100 (1-k

13、)(k -12)2(k-2) 0 (k-11)(k -2),.x1- 5x1当k=1,有唯一解：；当k=12 ,有唯一解：X21X2当kw-1,1,12,方程组无解。6)(10分)试求三阶正交矩阵Q,使正交变换 x=Qy能将二次型f X1,X2X32X22X1X3化成标准型。6)解析：det(X- E)=-(1+)( -1)2,所以特征值为1,21,3-1。当 =-1时，求得X的特征向量为产,。/)当 =1时，求得X的特征向量为2=(1,0,1)T, 3=(0，1，0)T；则正交矩阵Q11八022001。x Qy, f -y2 y y32o11.,22 01 a7)(10分)已知矩阵A= 14

14、33的特征方程有重根，试求出 a的一切可能值，并分别说明a取各可能值时 A能否对角化的理由0 a -7)解析：A I| (2- )01107 -101(2)( 2 810 a)7-若2是重根时，得a=2,可算得r(A-2I)=1,于是A对应于二重特征值 2的线性无关的特征 向量的个数应该为3- r(A-2I)=2,故A可对角化。若2不是重根时，得 a=6,得二重特征值为 4,由r(A-4I)=2,知n- r(A-4I)=1 ,故A不可 对角化。8) (4分+8分=12分)证明题:14 / 19(1)已知A是n阶哥零阵，既存在正整数k ,使Ak=O,试证I-A是可逆阵，其中I是n阶单位阵。(2)

15、设A,B分别是n n及n m矩阵(n m),已知 AB=B以及r(B)=n ,试证 A=I。8)解析：(1)Ak=O,设入是A的其中一个特征值，则入k也是Ak=O的特征值，而Ak=O,所以 入一定为零。所以 A的特征值全为零，I-A的全部特征值为1,故|I-A|=1,所以I-A可逆。(2)因为r(B)=n,所以B可逆，对AB=B ,两边同时右乘B-1,得到A=I。五、试卷五1)选择题设A=A11A21A12A22为分块矩阵，则AT = ( B(3分)(A)AiiA21A12A22A11(B)11TA12A21A22(C)A12A22A11A21(D)A21A11A22A12(2)已知向量组1,

16、2, 3,4线性无关,则下列向量组中线性无关的是(3分)A)2,(B)2,3,4,(C)2,3,4,(D)2,3,4,(2)解析:(1线性相关( 10，线性相关( 10，线性相关设A是m n阶矩阵,Ax=0是非齐次线性方程组列结论正确的是(A)B)(C)D)若 Ax=0若 Ax=0 若 Ax=b 若 Ax=b解析：D )仅有零解，则有非零解，则Ax=b有唯一解Ax=b有无穷多解有无穷多解，则 Ax=0有无穷多解，则 Ax=0仅有零解有非零解Ax=b所对应的齐次线性方程组，则下(3分)A.Ax=b可能有唯一解，也有可能无解。15 / 19B.Ax=b可能有无穷多解，也有可能无解。(4) 1, 2

17、都是n阶矩阵A的特征值，12,且 x1，x2分别是对应于2的特征向量,当(D )时，xk1x1k2x2必是A的特征向量。(3分)(A) k10 且 k20 (B)k10 且 k20(C) kik20(D) k1,k2中有且只有一个为零(4)解析:A和C明显不对,B,对于不相等的特征值,x k1x1k2x2未必是A的特征向量，二对于同一特征值的则他们的任意线性组合都是A的特征向量(k1,k2,.kt 不全为零)二次型 f (x1,x2, x3) = 2x12 3xf 4x1 x210 x1 x312x2x3的秩是(C )(3分)(A)1(B) 2(C)3(D) 42)填空题已知四阶行列式 D4,

18、则D的值为_中第三列元素依次为-1, 2, 0,1,它们的余子式分别为-155, 3, 7,(3分)(2)12A=,则与A可交换的所有二阶方阵是11a 2cc a 2c(3分)(3)设4 4矩阵A=量,且已知行列式Aai(3)解:A值取是正定的。a2a3a,b1 b2 b3 b43 ,4B=4,B1,则A112122132122222331232233412432432,4其中2,4均为四维列向2时，二次型 f(x1,x2,x3)(5)已知一个二次多项式f(x),使得f (1)f(x)-，、2_ 一f(x) x 5x 3(40 )(3分)3)计算题(1)计算行列式D=a1a2a3a4b1 b2

19、 b3 b41112132122238*5 403132334143432x34x1x22x1 x3 2x2x31, f( 1) 9, f(2)16 / 193,则:(3分)(6分)14011 aa?(2)求 A=011 a20000001 an i an11an(6分)(1)解析:10D=xy00 TOC o 1-5 h z 100-x -y 02 2=x2y2。01100 -y(2)A=(-1)n0001 1 a1a2011 a2-10-1000-101000000100000=01001 an 1an000011an00010002n=(-1)2n=110000-100 -1(3)已知三

20、阶矩阵A可对角化且特征值为1 , 1, 2,设矩阵 B=A3-5A2, (10分)试求：矩阵B的特征值；行列式 B及A 5I (I为三阶单位阵)-4,-6,-12,A-5I 的特征值为-4, -6, -3,所以 |A-5I|=(-4)(-6)(-3)=-72.det(A3-5A 2)=det(A2(A-5I)=det(A 2)*det(A-5I)=-288 。1(4)已知6, 3, 3是三阶实对称矩阵A的三个特征值，向量 01两个特征向量。求 A的属于特征值6的特征向量；求矩阵A。12是属于特征值3的1(10 分)1(4)解析：因为向量 012是属于特征值3的两个特征向量，且 012正交,1由

21、A对称知A的属于3的特征向量3必与 1 , 2 正交，设 3=(x1,x2,x3) T17 / 19-x1 0 x2 x3 0 x1 - 2x2 x3 0解得：3=C(1,1,1)T；将1, 2, 3单位化，得到1 = f-1,0,1)T,T1TdQ) , 3d1,1,1)。3则 Q 1, 2, 3 ,且QtAQ3634 1 1A Q 3 Qt 14 1。(5)求出向量组1,11,4, 22,1,3,5, 31, 1,3, 2, 431,5,6 的极大线性无关(8分)组，并把其余向量用极大线性无关组表出。10-3-1(5)解析. ( T T T T(5)用牛4小I 1,2, 3 , 42,所以最大线性无关组可以取0 TOC o 1-5