2019-2021年高考数学（理）真题汇编——专题11 平面向量（教师版）

1、专题11 平面向量1.【2021浙江高考真题】已知非零向量，则“”是“”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】若，则，推不出；若，则必成立，故“”是“”的必要不充分条件故选：B.2.【2021全国高考真题】已知为坐标原点，点，则( )A.B.C.D.【答案】AC【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A：，所以，故，正确；B：，所以，同理，故不一定相等，错误；C：由

2、题意得：，正确；D：由题意得：，故一般来说故错误；故选：AC3.【2020年高考全国III卷理数】6.已知向量a，b满足，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】，.，因此，.故选：D.【点评】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.4.【2020年新高考全国卷】已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】如图，的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，结合向量数量积的定义式，可知等于模与在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是，故选：A.【

3、点评】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.5.【2019年高考全国I卷理数】已知非零向量a，b满足，且b，则a与b的夹角为A. B.C. D. 【答案】B【解析】因为b，所以=0，所以，所以=，所以a与b的夹角为，故选B.【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为.6.【2019年高考全国II卷理数】已知=(2，3)，=(3，t)，=1，则=A.3B.2C.2D.3【答案】C【解析】由，得，则，.故选C.【名师点睛】本题考点为平面向量的

4、数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大.7.【2019年高考北京卷理数】设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】与的夹角为锐角，所以，即，因为，所以|+|；当|+|成立时，|+|2|20，又因为点A，B，C不共线，所以与的夹角为锐角.故“与的夹角为锐角”是“|+|”的充分必要条件，故选C.【名师点睛】本题考查充要条件的概念与判断平面向量的模夹角与数量积，同时考查了转化与化归数学思想.8.【2021浙江高考真题】已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的

5、最小值为_.【答案】【分析】设，由平面向量的知识可得，再结合柯西不等式即可得解.【详解】由题意，设，则，即，又向量在方向上的投影分别为x，y，所以，所以在方向上的投影，即，所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.【点评】关键点点睛：解决本题的关键是由平面向量的知识转化出之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可求得最小值.9.【2021全国高考真题(理)】已知向量.若，则_.【答案】.【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值【详解】，解得，故答案为：.【点评】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量垂直的充分必要条

6、件是其数量积.10.【2021全国高考真题】已知向量，_.【答案】【分析】由已知可得，展开化简后可得结果.【详解】由已知可得，因此，.故答案为：.11.【2021全国高考真题(理)】已知向量，若，则_.【答案】【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出.【详解】因为，所以由可得，解得.故答案为：.【点评】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，注意与平面向量平行的坐标表示区分.12.【2021北京高考真题】，则_；_.【答案】0 3 【分析】根据坐标求出，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.【详解】，.故答案为：0；3.13.【2020年高考全国卷理数】设

7、为单位向量，且，则_.【答案】【解析】因为为单位向量，所以所以，解得：，所以，故答案为：.【点评】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.14.【2020年高考全国II卷理数】已知单位向量，的夹角为45，与垂直，则k=_.【答案】【解析】由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，即：，解得：.故答案为：.【点评】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15.【2020年高考天津】如图，在四边形中，且，则实数的值为_，若是线段上的动点，且，则的最小值为_.【答案】(1). ；(2). 【解析】，解得，以点为

8、坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，的坐标为，又，则，设，则(其中)，所以，当时，取得最小值.故答案为：；.【点评】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.16.【2020年高考北京】已知正方形的边长为2，点P满足，则_；_.【答案；【解析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点、，则点，因此，.故答案为：；.【点评】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.17.【2020年高考浙江】已知平面单位向量，满足.设，向量，的夹角

9、为，则的最小值是_.【答案】【解析】，.故答案为：.【点评】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.18.【2020年高考江苏】在ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若(m为常数)，则CD的长度是 .【答案】【解析】三点共线，可设，即，若且，则三点共线，即，设，则，.根据余弦定理可得，解得，的长度为.当时， ，重合，此时的长度为，当时，重合，此时，不合题意，舍去.故答案为：0或.【点评】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出.19.【2019年高考全国III卷理数】已

10、知a，b为单位向量，且ab=0，若，则_.【答案】【解析】因为，所以，所以，所以 .【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角.渗透了数学运算、直观想象素养.使用转化思想得出答案.20.【2019年高考天津卷理数】在四边形中，点在线段的延长线上，且，则_.【答案】【解析】建立如图所示的直角坐标系，DAB=30，则，.因为，所以，因为，所以，所以直线的斜率为，其方程为，直线的斜率为，其方程为.由得，所以.所以.【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便.21.【2019年高考江苏卷】如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_.【答案】.【解析】如图，过点D作DF/CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC的中点，知BF=FE=EA，AO=OD.，得即故【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.22.【2019年高考浙江卷】已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值