居于马线性代数第二章答案

1、1解得.2 解得3 此含矛盾方程，故原方程无解！4 取，则，解为，为任意常数.5分情况讨论：1) 无解 但是时无解，即.2) 唯一解 即，解得且.此时的解为3) 无穷解 解之有或者(舍).故，所以解为,其中为任意常数.6讨论：1) 唯一解：解得此时解为2) 无解：3) 无穷解：此时解为为任意常数.8 解:设母鸡只，公鸡只，小鸡只.列方程得解方程有，还原为方程组有从而，继续求解，得到.9 设则10 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 2223、本题是求一个矩阵n次幂的题目，我们常规的做法，是通过数学归纳法，归纳出它n次幂后的通项公式！以为例。因为，即，即，即，即，即于是我们

2、发现，当n=4k时，当n=4k+1时，当n=4k+2时，当n=4k+3时，所以它恰好可以写成。可以采用相同的方法！24 (1)即条件：可交换.(2) 即条件：可交换.25 (1) (2) 27设满足则,即整理有，从而，.满足要求的矩阵为，为任意常数.28所求即是与可交换的二阶矩阵，设此矩阵为有整理有故，即所求为.29证明：，设，若,则有由矩阵相等的知识知，又时故只有。从而.即所有与可交换的矩阵必是对角阵.31设，则，也就是只有可能.按照矩阵乘法的定义，有时，.时，时，故是主对角线元素全为0的上三角矩阵.32记故乘积仍是主对角元为1的上三角阵.33 34数学归纳法1）成立2）若时成立，则下证时结

3、论也成立.所证成立.35 因为均为对称阵，有故所以为对称阵.而故为对称阵.36证明：(1) 所以是对称矩阵.所以是反对称矩阵(2) 由上面的结论知是对称矩阵，是反对称矩阵，从而是对称矩阵，是反对称矩阵，故可表示为对称矩阵和反对称矩阵的和.37 故所以可交换.若,又有为对称阵.391) 为对称阵。，当为偶数时为对称阵，为奇数时为反对称阵.2) 为反对称阵.40、（1）故.解得所以（2） 故解之有故（3）故（4）故（5）（6）故41（1）因为由故可逆，且（2）存在，下面求，故（3）存在，下求，42 令则因为故存在，从而用初等行变换求此逆矩阵，有43 (1) (2) 不是，为零矩阵时即为反例.45

4、(1) 而，故可逆，可逆，同时可逆，且，所以(2)证明：即若与同时可逆，则均不为0，但故矛盾，从而与不同时可逆.46 整理有故均可逆，所以47证明：4950 故.51从而52 故54 解：故从而55故从而56易知存在(因为行列式不等于0)，求得从而有58（1）对分块，令对分块，令，则，则（2），令则,而故59 证明：让按列分块则即从而均为的解向量.设的所有列向量是则故即60 解：取即可！61 解：故存在，设有整理有解得.故62（1）令则=而故.（2）令则故，而故.（3）令，则而原式=.(4)令因，设则有解得,从而6364 令设则解得,故补充题67 (1) (2) (3) (4) (5) 68 解：70(A) ,但不能得到，如.(B) 这里但是(C) 令计算知但是既不是也不是.(D) 正确(E) 正确.(F) 71.故所以73 由整理有.从而74又因为且故所以从而.76若有选B.77 则从而78由知79 故计算有81令,则若可逆有,解得即84(1)设则，易知而代入即有(2)令则.87以下证明主对角线之和为0.只观察的主对角线元素，有容易看出主对角线元素之和为0，但主对角线元素之和为n，故.90 同理91以上三角矩阵为例，用数学归纳法.(1)若则成立(2)假设阶矩阵成立，下证对阶亦成立.设其中是满足上述假设条件的矩阵.下证主对角线元素全为1.故主对