高中数学：线性回归方程知识点专项讲解及典型例题归纳

1、 线性回归方程知识点专项L与函数关系不同，相关关系是一种有关系，但不是 确定性的关系，2.能用直线方程=加+日近似表尔的相关关系叫做线性相 关关系，该方程叫*给出一组数据匕“y) I (XV旳) *t (Xrtt FJ ,线性回归方程中的系数弘方满足和Xv厂()()i 片1 /-I“ i2-()2 , TOC o 1-5 h z i= Ir= I上式还可以表示为n一. ._ W一一XrLH XyY (-)l-y)Mlb =,Srr_Jt_XVJ：(j )t=i=a y b X 乂*z想一想：1相关关系是不是都为线性关系？提示不是.有些变量间的相关关系是非线性相关的，2.散点图只描述具有相关关糸

2、的两个变量所对应点的图形 吗？提示不是.两个变量统计数据所对应的点的图形都是散点h相关关系与函数关系的异同点系函数关系相关关系相同点两者均足指两个变量之间的关系不同点M 种确也性关系是一种非确定的关系是两个变量之间的关 系一个为变量，另一个为随机 变量两入都是随机变量是一种因果关系不一定是因果关系，也可能是 伴随关系堆一种理想关系模型是更为一般的情况回归直线方程冋归直线方程的思想方法回归胃线：观察散点图的特征，发现各点大致分布在一 条直线的附近，就称这两个变量之间具有线性相关的关系，这 条直线叫做回归右线可见，根据不同的标准可固出不同的直线来近似表示这种 线性关系.比如.可以连接最左侧点和最右

3、侧点得到一条直 线：也可以让画出的直线上方的点和下方的点数目相等， 这些办法，能保证各点与此直线在整体上是最接近的吗？它们 虽然那有一定的道理，但总止人感到可靠性不强*最小二乘法：实际上，求回归貞线方程的关键是如何用 数学的方法来刻画从整体上看各点与此直线的距离最小”, 即最贴近已知的数据点*最能代表变量ry之间的关系.解制表.i12345合计旳2七345620 yi2:2MR5.56.57.0254.41L422032.542*01123491625369055A .r 4i y = 5 DF=90, D閃=1123112.3 5X4X5Eh %5文4LT加，=5-L23X4=0.08./.

4、所求线性回归方程v=.23 + Og3 + 5 + 2+8+9+126 =65,4+6+3 十9+ 12+ 14 6 =8,fF27, ,r-3%,工W_6工yi 1:b= 43, u=yb 匚0.571 xl2x2 I二回归直线方程为$=1.143兀+ 0刃1题型三利用回归直线对总体进行估计【例3】（14分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲 产品过程中记录的产量兀（吨）与和应的生产能耗宜吨标准煤）的几 组对照数据.X3456y2.5344.5U请画岀上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数拯，用最小平方法求出尹关于兀的线 性回归方程；（3）已知该厂技改IOO甲产品的生产能耗为9U吨标

5、准 煤.试根据（2）求岀的线性回归方程预测生产100吨中产品的生产 能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：32.5 + 43 + 5 X4+6X4.5 = 66.5）审题指导木题考查线性冋H方程的求解及利用冋归直线对y厂朴X y总休进行估计利用公式：B=a=v- X来求出 2 一 2 X-W xi-l系数.【解题流程】规范解答(1)题设所给数据，可得散点图，如右图所示.M儀耗：吨标准煤)(3分) TOC o 1-5 h z 4 5 ； U)(2)由对照数据,计算得:JL ,3+4 + 5+6LXr 86 X44.5丫(6分)2.5 + 3+4+4.5 y . 3.5J LI 1 aJPj

6、66,5【题后反思】解决此类问题首先根据所给数据画出散点 图，根据散点图判断两个变量之间是否具冇相关关系，如果两 个变量之间不具有和关关系，或者说，它们之间的关系不显 著，即使求得线性回归方程也是毫无意义的，而且用其估计 和预测的结果也是不可信的【变式3】以下址某地搜集到的新房屋的销售价格丁和新房 屋的面积X的数据：新房屋面积(11511080135105销售价格(万元)24.821.618.429.222(i)数抵对应的散点图；(2求线性冋归方程，井在散点图中加上回归直线；据的结果佔计当新房屋面积为150 m2时的销售价格再误区警示 最小二乘法的原理不清而出锚 【示例】已知心F之间的一组数据

7、如下表：X13678y12345对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为y= + 1 V=试利用最小一乘法思想判断哪条II线拟合程度 更好.错解驻V作为点的坐标，作出所给数据的散点图”用y=x+1作为拟合育线时，散点图上的点到拟合直线的距 离之和为1 =十-一J(4)*f ) +tI)2U-x6-3 + 1U-x7 -4 + I-xS 5 + I333-1十-1+ -1T _7_ /Io；1(T=ffl? + 作为拟合l线时敬点图上的点到拟合氏线MT的距离之和为Dl Dl用打线學 理合程度更妹思维突硕题目要求利用最小一乘法思想判断哪条宜线拟合程度更好，不是用散点图上的点到拟合直线的距离之和最小来 判断.正解I用尹=*+1作为拟合宜线时，所得7估计俏Aiy的实 际值的差的平方和为Sl=-1 2 + (2-2(3-3)2 + j-42十 b 5J3,用，=#+作为拟合直线时，所得y估计值与y的实际值的 差的平方和为(7仃、(9 y2=(I-Ir+(2-2)2+ 一3+(44f+ 弓一5 : 以 丿XZ JS.3J_ =86 二 4X 疋厂-4 7* 2/-Ia=yb X =3,5 0