2016考研数学三真题解析

1、2016入学数学三本试卷满分 150，时间 180 分钟一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.-，+（ 1 ） 设 函数 y f (x) 在内 连续 ，其 导 数的 图像 ，则 （A）函数 f (x) 有 2 个极值点，曲线 y f (x) 有 2 个拐点（B）函数 f (x) 有 2 个极值点，曲线 y f (x) 有 3 个拐点（C）函数 f (x) 有 3 个极值点，曲线 y f (x) 有 1 个拐点（D）函数 f (x) 有 3 个极值点，曲线 y f (x) 有 2 个拐点【

2、】：（B）】由图可知曲线有两个点左右两边导数符号不一样，有三个点左右两边导函数单调性不一样，故有 2 个极值点，3 个拐点.ex（2）已知函数 f x, y ，则x y（A） f f 0（B） f +f 0（C）（D）xyxy【】：（D） f .y【】x ydxdy i 1, 2,3, 其中（3）设 Ji = 3Di1 x, y | 0 x 1, 0 y 1, D = x, y | 0 x 1, 0 y x ，D x, y | 0 x 1, x2 y 1D123（A） J1 J2 J3 （B） J3 J1 J2【】：（B）（C） J2 J3 J1（D） J2 J1 J3】 D1，D2，D3 如

3、图【在 D1 D2 中 3 x y 0 ，在 D1 D3 中 3 x y 0 ，可知 J1 J2，J1 J3 ，故选 B11n（4）级数 sin n k ， k为常数n 1 n1 （A）绝对收敛（D）收敛性与k 有关（B）条件收敛（C）发散【】： （A）sin n k n 1 n n n 1111n111=nn 1 n n 1 n 32n2n 1n 1 1 3由于级数 n1 2n2 是收敛的，故原级数绝对收敛.（5）设 A, B 是可逆矩阵，且 A 与 B 相似，则下列结论错误的是（ ） AC B DAT 与 BT 相似A1 与 B1 相似A AT 与 B BT 相似A A1 与 B B1 相

4、似C 【】：】：因为 A 与 B 相似，所以存在可逆矩阵 P ，使得 P1AP B, 两端取转置与逆【：PT AT PT 1 BT, P1A1P B1, P1 A A1 P B B1 ,可知 A 、 B 、 D 均正确，故选择C 。 a（6）设二次型 f23的正负惯性指数分别为1, 2 ，332则（A） a 1（B） a 2（C） -2 a 1（D） a 1或a 2【】（C） a11 】二次型矩阵为 1a1 ，其特征值为 a 1,a 1,a 2，可知 a 1 0, a 2 0 ，即【 1a 12 a 1，故选择（C）（7）设 A, B 为两个随机事件，且0 P(A) 1, 0 P(B) 1 ,

5、如果 P A | B 1,则（A） P B | A 1（B） P A | B 0（C） P A B 1P B | A 1（D）【】： （A）P AB P B 1,可知 P AB P B, P AB P B P AB 0】 P A | B 【P BA P AP A P AB P A可知 P B | A 1= N 1，2,Y N 1，4,则 D XY （8）设随量 X 与Y 相互独立，且 X（A） 6 （B） 8 （C） 14（D）15【】： （C）】 D XY EX 2Y 2 EXY 2 ，【EXY EXEY 1, EX 2Y 2 EX 2EY 2 35 15,则D XY =14 。故选（C）二

6、、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将写在答题纸指定位置上.1 f (x) sin 2x 1 2 ，则lim f (x) .（9）已知函数 f (x) 满足lime13xx0 x0【】：1 f (x) sin 2x 1 2】lim【e3x 1x011f (x) 2xf (x) sin 2x由等价无穷小替换得， lim 2 2, lim 2 2 。因此lim f (x) 63x3xx0 x0 x01sin 1 2sin 2 n sin n （10）极限limn .2nnnn】 ： cos1 sin1【3【】limsin 1 2sin 2 1sin isinn 2nnnn nn

7、1111x sin xdx xd coscos xdx cos1 sin10000f u, v 可微， z zy 由方程 x 1 z y2 x2 f x z, y 确定，则 x,（ 11 ）设函数 dz0 , 1 dxdy【】： dz0 【】：由一阶微分形式不变性，zdx (x 1)dz 2ydy 2xf (x z, y)dx x f (x z, y) dx dz x f (x z, y)dy2 2 12将 x 0, y 1, z 1代入， dx dz 2dy 0 ,所以， dzdxdy0 （12）设 D=x, y | x | y 1, 1 x 1 ，则 x2e y2 dxdy= D12】：【

8、33eydy x2e y2 dx 】： x2e y2 dxdy x2e y2 dxdy 2y e y dy 33e【DD1（其中 D1 为 D 在第一象限部分）004103012001 （13）行列式 1】： 4 0-12 4【004-10300-1= D4【】：令+1由展开定理地递推公式 D D 4, D D 3, D 2 2 ，故43322（14）设袋中有红、白、黑球各 1 个，从中有放回地取球，每次取 1 个，直到三种颜色的球都取到时停止，则取球次数恰好为 4 的概率为.429【】【】：要求前三次必须恰好取到两种不同颜色的球，第四次取到剩下一种颜色的球C2 22323，三次恰好取到两种不

9、同3前三次恰好取到两种不同颜色球的概率为3312颜色的球的前提下，最后一次取到剩下一种颜色的球的概率为 。故所求概率为 。39三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)1求极限limcos 2x4x0【】由重要极限得，原式为114)cos 21 e3lime4（16）(本题满分 10 分) p设某商品的最大需求量为 1200 件，该商品的需求函数 ，需求弹性 p 0 ， p 为单价（万元） 120 p（）求需求函数的表达式（）求 p 100 万元时的边际收益，并说明其经济意义。P dQP dQP

10、】（1）由弹性的计算公式 【，。Q dPP 120Q dPdQ分离变量，得dPln Q ln(120 P) C ，即Q C (120P) （ C；两边同时积分，QP 120为任意常数）。由于最大需求量为1200 ，可知Q 0 1200 ，故C 10 ，因此Q 10(120 P)（） R QP 10(120 P)PdRdR dP1dR边际收益为 (1200 20P)() 2P 120 ，从而dQdP dQ10dQP100 80 。它的经济意义是需求量每提高 1 件，收益增加 80 万元。5（17）(本题满分 10 分) 1 x 0 ，求 f x ，并求 f x 的最小值。设函数 f x xt22

11、dt00 x 1【】：时，413x1f (x) x t dtt x dt x x 22223230 x131当 x 1时， f (x) x t dt x 2220 4 1，从而 f (x) 4 1f (x) 32x, x 11x2 , x 1所以，3由导数的定义可知 f (1) 2, ，可知 f (x) 4 12x, x 11 1f (x) 0 ；当 x 1, 时，当 x 0,时， f (x) 0 ；当 x ,1 时，f (x) 0 。2 2f 1 1可知， f (x) 的最小值为 2 4（18）(本题满分 10 分)设函数 f x 连续，且满足0，求 f x01xx0 x f u duf x

12、 t dt 做变量替换u x t ，则f x t dt f udu 【】：00 x0则代入方程： ：tf t dt ex 1 000两边同时求导数x f t dt ex1f x 0 xf t dt 可导，从而 f x 也可导，故对上式两边在求导由于 f x 连续，可知：0f x f x ex由1 式两边令 x 0到， f 0 1f x 1 ex 1 ex解微分方程：226（19）(本题满分 10 分)x2n2n0求幂级数的收敛域及和函数。n 1 2n 1nxn0的收敛半径为1,且当 x 1 与 x 1 时，级数收敛,)【】：1)( ,1 .可知幂级数的收敛域为nnn0 x2x令)(： fx ，

13、两边同时求导.n n0 (1)() x两边再求导.2n0 x ln 1 x C .积分1 x，可知 f x由于 f (0 ，) (1 x) ln(1 x再积分.由于 f (0 ( ) (1 x) ln(1 x，可知.又， f (1 (-1 ln 2ln 2 ； f(x ln(x因此，)( x1,1) ,.2 ln 2, x 11 a01a （20）（本题满分 11 分)设矩阵 A a， ，且方程组 Ax 无解.1求 a 的值.求方程组 AT Ax AT 的通解.711 a12a 1 10】：（1） A 00 ，方程组 Ax 无解，可知a 0 。【 0a 2 0a2 2a 1 32 2（2） A

14、T A 222 ，AT 2 22 2 21 1 32222010 1 0 1 AT A2 2 01 2 ，则通解为k 1 2 , k RA T2 22 2 0 1 000010（21） (本题满分 11 分)已知矩阵 A 0 .00（1）求 A99 .（2）设三阶矩阵 B ( ,满足 B BA ，记 B ( ,，将 2100分别表示为1111 的线性组合。11 30 2 3 2 ，可知 A 的特征值为： 0, 1, 2 。】： （1） E A 20【0 1 3 02 1 01 3 0 0A 23 101 ，则0 的特征向量为 2 00 2 000 1 112 01 00 10 1 A E 20

15、 01 ，则1的特征向量为 1 01 00 0 10 12001 21 1 10 0A 2E 2 1 ，则2 的特征向量为 2 02 0 00 0 8 311 0令 P 212 ，则 P1AP 1 , A PP1 , 20 2 0则有001 1 298 99992 299 A99 P99P1 22 12 2 21001 21000102 20 299 100 12 （2） B2 BA 可知B100 BA99 ，即 299 22 298 1 2991 210002 299 ， 2 210012312300则 299 2 2100 2 ， 1 2 1 2100 ， 2 298 2 299 9911

16、2212312（22） (本题满分 11 分)设二维随量YX) 在区域 D (x, y) | 0 x 1, x2 y x服从均1匀分布，令U 0（1）写出YX) 的概率密度.（2）问U 与 X 是否相互独立，说明理由。（3）求 Z 的分布函数)(.x, ) 其他131的面积 x，则YX) 的概率密度 f ( 【】：（1） D.00 xdy (0（2） f X ( , )dy 2x其他x t)dt 2x3xFX ( Xx 90 x 0当U 0 时， P2 2x30 x 1，可知 X 与U 有关，故不独立。1x 1（3） F(z) PZ XU z PU 1U z | U 1 PUY z | U 0121| U 1 P2U 0Px 00 x 003 1, PX x | U 1 其中 PX x | U 0 1x 1x 1110z 13故 PX z 1| U 1 4(z 1) 3(z 1)1 z 2221z 20z 0PX z | U 0 3z2 2z30 z 1.1z 10, z 013z2 2z3 ,0 z 1 2从而 F (z) 11 34(z 1)2 3(z 1)