正余弦定理的应用学案

1、 高一数学学案NO15,16余弦定理、正弦定理应用举例学 习 目 标核 心 素 养1.能将实际问题转化为解三角形问题(难点)2能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题(重点)1.通过利用正、余弦定理解决实际问题，培养数学建模的核心素养2通过求解距离、高度等实际问题，提升数学运算的素养.1基线的概念与选择原则(1)定义在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线(2)性质在测量过程中，应根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度一般来说，基线越长，测量的精确度越高思考1：在本章“解三角形”引言中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？”

2、在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？2测量中的有关角的概念(1)仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图所示)(2)方向角从指定方向线到目标方向线所成的水平角如南偏西60，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60. (如图所示)思考2：李尧出校向南前进了200米，再向东走了200米，回到自己家中，你认为李尧的家在学校的哪个方向？1如图，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应选用数据()A，a，bB，aCa，b， D，b2小强站在地面

3、上观察一个建在山顶上的建筑物，测得其视角为，同时测得观察该建筑物顶部的仰角为，则小强观测山顶的仰角为()A BC D3某人先向正东方向走了x km，然后他向右转150，向新的方向走了3 km，结果他离出发点恰好为eq r(3) km，那么x的值为()A.eq r(3) B2eq r(3)C2eq r(3)或eq r(3) D3测量距离问题【例1】海上有A，B两个小岛相距10 海里，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B，C间的距离是()A10eq r(3) 海里B.eq f(10r(6),3) 海里C5eq r(2) 海里 D5eq r(6) 海里三角形中与距离有

4、关问题的求解策略：(1)解决与距离有关的问题，若所求的线段在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解(2)解决与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决1为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得CAB30，CBA75，AB120 m，则河的宽度为 m.测量高度问题【例2】济南泉城广场上的泉标模仿的是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为

5、60，他又沿着泉标底部方向前进15.2 m，到达B点，又测得泉标顶部仰角为80.你能帮助李明同学求出泉标的高度吗？(精确到1 m)解决测量高度问题的一般步骤：(1)画图：根据已知条件画出示意图(2)分析三角形：分析与问题有关的三角形(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用. 2某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)如图所示，竖直放置的标杆BC的高度h4 m，仰角ABE，ADE.该小组已测得一组，的值，算出了tan 1.24，tan 1.20，请据此算出H的值角度问题探究问题1某物流投递员沿一条大路前进

6、，从A到B，方位角是60，距离是4 km，从B到C，方位角是120，距离是8 km，从C到D，方位角是150，距离是3 km，试画出示意图2在探究1中，若投递员想在半小时之内，沿小路直接从A点到C点，则此人的速度至少是多少？3在探究1中若投递员以24 km/h的速度匀速沿大路从A到D前进，10分钟后某人以16eq r(7) km/h的速度沿小路直接由A到C追投递员，问在C点此人能否与投递员相遇？【例3】如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45方向，距A有9海里的B处，并以20海里每小时的速度沿南偏西15方向行驶，若甲船沿南偏东度的方向，并以28海里每小时的速度行驶，恰能在C处追上乙船问用多少小

7、时追上乙船，并求sin 的值(结果保留根号，无需求近似值) (变条件，变结论)在本例中，若乙船向正南方向行驶，速度未知，而甲船沿南偏东15的方向行驶恰能与乙船相遇，其他条件不变，试求乙船的速度解决实际问题应注意的问题(1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数

8、学模型(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解1如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40，灯塔B在观察站C的南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东5B北偏西10C南偏东5 D南偏西102如图，D，C，B三点在地面同一直线上，DC100米，从C，D两点测得A点仰角分别是60，30，则A点离地面的高度AB等于()A50eq r(3)米 B100eq r(3)米C50米 D100米3一艘船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30的方向，且与它相距8eq r

9、(2)海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75的方向，此船的航速是()A8(eq r(6)eq r(2)海里/时B8(eq r(6)eq r(2)海里/时C16(eq r(6)eq r(2)海里/时D16(eq r(6)eq r(2)海里/时4在高出海平面200 m的小岛顶上A处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45与30，此时两船间的距离为 m.5海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75，距离为12eq r(6)海里；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30，距离为8eq r(3)海里；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在北偏东120，

10、求：(1)A处与D处之间的距离；(2)灯塔C与D处之间的距离学案答案1基线的概念与选择原则(1)定义在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线(2)性质在测量过程中，应根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度一般来说，基线越长，测量的精确度越高思考1：在本章“解三角形”引言中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？提示利用正弦定理和余弦定理2测量中的有关角的概念(1)仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫

11、仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图所示)(2)方向角从指定方向线到目标方向线所成的水平角如南偏西60，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60. (如图所示)思考2：李尧出校向南前进了200米，再向东走了200米，回到自己家中，你认为李尧的家在学校的哪个方向？提示东南方向1如图，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应选用数据()A，a，bB，aCa，b， D，bC选择a，b，可直接利用余弦定理ABeq r(a2b22abcos )求解2小强站在地面上观察一个建在山顶上的建筑物，测得其视角为，同时测得观察该建筑物顶部的仰角为，则小强观测山顶的仰角为()A BC DC如图所

12、示，设小强观测山顶的仰角为，则，因此，故选C项3某人先向正东方向走了x km，然后他向右转150，向新的方向走了3 km，结果他离出发点恰好为eq r(3) km，那么x的值为()A.eq r(3) B2eq r(3)C2eq r(3)或eq r(3) D3C如图，在ABC中由余弦定理得39x26xcos 30，即x23eq r(3)x60，解得x2eq r(3)或eq r(3).测量距离问题【例1】海上有A，B两个小岛相距10 海里，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B，C间的距离是()A10eq r(3) 海里B.eq f(10r(6),3) 海里C5eq

13、r(2) 海里 D5eq r(6) 海里D根据题意，可得如图在ABC中，A60，B75，AB10，C45.由正弦定理可得eq f(AB,sin C)eq f(BC,sin A)，即eq f(10,f(r(2),2)eq f(BC,f(r(3),2)，BC5eq r(6)(海里)三角形中与距离有关问题的求解策略：(1)解决与距离有关的问题，若所求的线段在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解(2)解决与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦

14、定理来解决1为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得CAB30，CBA75，AB120 m，则河的宽度为 m.60由题意知，ACB180307575，ABC为等腰三角形河宽即AB边上的高，这与AC边上的高相等，过B作BDAC于D，河宽：BD120sin 3060(m)测量高度问题【例2】济南泉城广场上的泉标模仿的是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60，他又沿着泉标底部方向前进15.2 m，到达B点，又测得泉标顶部仰角为80.你能帮助李明同学求出泉标的高度吗？(精确到1 m)解如图所示，点C，

15、D分别为泉标的底部和顶端依题意，BAD60，CBD80，AB15.2 m，则ABD100，故ADB180(60100)20.在ABD中，根据正弦定理，eq f(BD,sin 60)eq f(AB,sinADB).BDeq f(ABsin 60,sin 20)eq f(15.2sin 60,sin 20)38.5(m)在RtBCD中，CDBDsin 8038.5sin 8038(m)，即泉城广场上泉标的高约为38 m.解决测量高度问题的一般步骤：(1)画图：根据已知条件画出示意图(2)分析三角形：分析与问题有关的三角形(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解在解题中，要综合运

16、用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用. 2某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)如图所示，竖直放置的标杆BC的高度h4 m，仰角ABE，ADE.该小组已测得一组，的值，算出了tan 1.24，tan 1.20，请据此算出H的值解由ABeq f(H,tan )，BDeq f(h,tan )，ADeq f(H,tan )及ABBDAD，得eq f(H,tan )eq f(h,tan )eq f(H,tan )，解得Heq f(htan ,tan tan )eq f(41.24,1.241.20)124.因此电视塔的高度H是124 m.角度问题探究问题1某物流投递员沿一条大路前进

17、，从A到B，方位角是60，距离是4 km，从B到C，方位角是120，距离是8 km，从C到D，方位角是150，距离是3 km，试画出示意图提示如图所示：2在探究1中，若投递员想在半小时之内，沿小路直接从A点到C点，则此人的速度至少是多少？提示在探究1图中，在ABC中，ABC60(180120)120，由余弦定理得ACeq r(AB2BC22ABBCcos 120)4eq r(7)，则此人的最小速度为veq f(4r(7),f(1,2)8eq r(7) (km/h)3在探究1中若投递员以24 km/h的速度匀速沿大路从A到D前进，10分钟后某人以16eq r(7) km/h的速度沿小路直接由A到

18、C追投递员，问在C点此人能否与投递员相遇？提示投递员到达C点的时间为t1eq f(48,24)eq f(1,2)(小时)30(分钟)，追投递员的人所用时间由探究2可知t2eq f(4r(7),16r(7)eq f(1,4)(小时)15分钟；由于301510，所以此人在C点能与投递员相遇【例3】如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45方向，距A有9海里的B处，并以20海里每小时的速度沿南偏西15方向行驶，若甲船沿南偏东度的方向，并以28海里每小时的速度行驶，恰能在C处追上乙船问用多少小时追上乙船，并求sin 的值(结果保留根号，无需求近似值) 思路探究根据题意明确已知条件与几何量间的对应关系，将

19、实际问题转化为数学问题，运用正、余弦定理解决解设用t小时，甲船追上乙船，且在C处相遇，则在ABC中，AC28t，BC20t，AB9，ABC1801545120，由余弦定理得，(28t)281(20t)22920teq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，即128t260t270，解得teq f(3,4)或teq f(9,32)(舍去)，AC21(海里)，BC15(海里)根据正弦定理，得sinBACeq f(BCsinABC,AC)eq f(5r(3),14)，则cosBACeq r(1f(75,142)eq f(11,14).又ABC120，BAC为锐角，45BAC，sin si

20、n(45BAC)sin 45cosBACcos 45sin BACeq f(11r(2)5r(6),28).(变条件，变结论)在本例中，若乙船向正南方向行驶，速度未知，而甲船沿南偏东15的方向行驶恰能与乙船相遇，其他条件不变，试求乙船的速度解设乙船的速度为x海里每小时，用t小时甲船追上乙船，且在C处相遇(如图所示)，则在ABC中，AC28t，BCxt，CAB30，ABC135.由正弦定理得eq f(AC,sinABC)eq f(BC,sinCAB)，即eq f(28t,sin 135)eq f(xt,sin 30).所以xeq f(28sin 30,sin 135)eq f(28f(1,2),

21、f(r(2),2)14eq r(2)(海里每小时)故乙船的速度为14eq r(2)海里每小时解决实际问题应注意的问题(1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解(4)检验：检验上述所求的

22、解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解1如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40，灯塔B在观察站C的南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东5B北偏西10C南偏东5 D南偏西10B由题意可知ACB180406080.ACBC，CABCBA50，从而可知灯塔A在灯塔B的北偏西10.2如图，D，C，B三点在地面同一直线上，DC100米，从C，D两点测得A点仰角分别是60，30，则A点离地面的高度AB等于()A50eq r(3)米 B100eq r(3)米C50米 D100米A因为DACACBD603030，所以ADC为等腰三角形，所以ACDC100米，在RtABC中，ABACsin 6050eq r(3)米3一艘船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30的方向，且与它相距8eq r(2)海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75的方向，此船的航速是()A8(eq r(6)eq r(2)海里/时