2.2.1 椭圆的标准方程4

1、2.1.1 椭圆及其标准方程辽阳市第三高级中学 杨静教材说明人教B版选修11第二章第一节. 课型 新授课.课时 1课时.学情分析 在必修2中学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法，并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形.本班学生了解求曲线轨迹方程的方法并且具备较好的运算能力，能够通过现有的知识解决方程的推导问题.在前面学生已经学习了直线和圆这两个平面图形，具备了平面图形的观察和想象能力，同时在以前的数学学习中学生已经经历了合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.我所教授的班级是文科班，他们普遍对数学有一定的畏难情绪，但是他们思维比较活跃，对

2、新鲜事物有一定的好奇心和探索欲望，对老师的讲授敢于质疑，有自己的想法和主见，愿意自己去探索是什么和为什么.并且具备了初步的探索能力；对于较复杂的计算问题，往往不知如何动手或懒得动手，计算能力较弱.但他们同时又乐于小组合作学习，学习气氛浓厚.在引入新课这一环节中，利用动画演示为学生的数学探究与数学思维提供支持.使学生经历观察、交流、分析、概括等理性思维的基本过程，教师只是成为学生学习的引导者、组织者和促进者，使学生真正成为学习的主人.教学内容分析一、教学主要内容在前面学生已经学习了直线和圆这两个平面图形，具备了平面图形的观察和想象能力. 椭圆是常见的曲线，对椭圆定义的引入，要借助于直观、形象的模

3、型或教具，让学生从感性入手，逐步上升到理性认识.椭圆是圆锥曲线这一章所要研究的三种圆锥曲线中首先遇到的，教材把用坐标法对椭圆的研究放在了重点位置上.二、教材编写特点椭圆是圆锥曲线这一章所要研究的三种圆锥曲线中首先遇到的，教材把用坐标法对椭圆的研究放在了重点位置上.学好椭圆对于学生学好圆锥曲线是非常重要的.椭圆是常见的曲线，对椭圆定义的引入，要借助于直观、形象的模型或教具，让学生从感性入手，逐步上升到理性认识，形成正确的概念.而且接下来学习双曲线和抛物线的相关知识也采用了类似的方法.三、教材内容的数学核心思想数形结合的思想，化归与转化的思想等教学目标知识与技能：使学生掌握椭圆的定义、标准方程的推

4、导和标准方程.过程与方法：通过椭圆概念的引入与椭圆标准方程的推导过程，培养学生分析探究能力，熟练掌握解决解析几何问题的方法坐标法.情感态度与价值观：通过椭圆定义和标准方程的学习，渗透数形结合的思想，启发学生在研究问题时，抓住问题本质，严谨细致思考，规范得出解答，体会运动变化、对立统一的思想.通过对教学思维的转变，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试，勇于探索的思维品质，使学生感受到思维的奇异美，结构的对称美以及数学的严谨美.教学重点和难点教学重点：椭圆的定义和椭圆标准方程.教学难点：椭圆的标准方程的建立和推导.教学策略选择与设计用模型结合多媒体课件演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调，加强概

5、念的形成过程教学；对椭圆标准方程的推导，可采用观察、分析、归纳、抽象、概括，自主探究、合作交流的教学方法，调动学生参与课堂教学的主动性和积极性.教学资源与教学手段资源：绳子、画板、铅笔、图钉、粉笔、三角板.手段：在物演示及动画演示，更加直观形象，容易理解.教学过程设计教学环节教学过程师生活动设计意图创设情境演示：取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画板上的F1 、F2两点，当绳子大于F1 和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在画板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆.动画演示椭圆形成的过程.提问：在我们的日常生活中，椭圆随处可见.你能举出椭圆形的例子吗？在肯定学生的回答后，老师加以补充.比如：

6、嫦娥二号绕月球运行的是椭圆形的轨道；斜着切起出来的四色卷是椭圆的；装饰品项链中间的饰物是椭圆形的； 由此可见，椭圆是我们生活中一种重要的曲线.引出课题椭圆及其标准方程.动手实践，课前完成.学生踊跃回答.通过实例演示，让学生对椭圆的特征有初步认识，再让学生给椭圆下定义应该是水到渠成.通过举例和展示生活中椭圆形的图片，让学生认识到椭圆和日常生活关系密切.概念形成在此基础上，引导学生概括椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于定长（大于）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.数学语言： 教师引导学生完成.概念深化学生开始只是只强调主要几何特征到两个定点的距离之和

7、等于常数，教师在演示中要从两个方面加以强调：(1)将穿有铅笔的细绳拉到画图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需要加限制条件：“在平面内”；(2)这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：若常数=,则是线段；若常数，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件:“此常数大于”.认真思考后回答.结合实际模型演示，形象直观地说明椭圆定义中的必备条件.方程推导我们已经知道，在直角坐标平面上直线和圆都有相应的方程，从而就可以用代数的方法来研究它们的几何性质、位置关系等.那么如何求椭圆的方程呢？提问：求圆的方程的一般步骤是什么？ 建系设点：以两定点、所在直线为轴，线段的垂直平分

8、线为轴，建立直角坐建系设点.集合表示.坐标化.化简.证明（一般省略）.因为已经回顾复习了求曲线轨迹方程的一般方法，因而可以比较顺利地按照步骤写出过程，便于培养学生严谨规范的解决数学问题.方程推导方程推导应用举例标系（如图）设，为椭圆上的任意一点，则、又设与、的距离的和等于 集合表示：由椭圆定义得：动点M的集合为： 坐标化：用含有动点坐标的方程表示： 化简：预案：移项后两次平方法引导学生观察椭圆图形和推导出的椭圆方程的系数，学生容易发现实际上对应图形中的特殊线段，不妨令其为，则有，类比由化简为截距式方程的方法将方程继续化简得到椭圆的标准方程 椭圆的标准方程：焦点在轴上的椭圆的标准方程： ，焦点是

9、、这里.提问：如果焦点在轴上，椭圆的方程又是什么呢？焦点在轴上的椭圆的标准方程： 焦点是、这里.引导学生比较归纳出两种标准方程的区别.总结归纳：在两种标准方程中，因为,所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上.例1：根据下列条件，求椭圆标标准方程.(1)两个焦点的坐标分别是（-3,0），（3,0），椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于8.(2)两个焦点的坐标分别是（0，-4），（0,4），并且椭圆经过点（）.(3)已知椭圆的焦距是6，椭圆上的一点到两焦点距离的和等于10.巩固练习：1.求下列方程表示的椭圆的焦点坐标：(1) (2)2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程： 建立如图坐标系：小

10、组交流，尝试化简.观察方程的特点，得出标准方程.记笔记.思考交流，并回答.思考交流，并回答.通过对必修2中坐标法研究曲线性质方法的复习，让学生认识到本节课研究椭圆的一般方法和思路.在标准方程的推导过程中，问题的设问让学生认识到在推导方程的过程中进行等价变形的重要性，培养严谨的数学演算习惯.让学生体会问题的本质所在，只是位置的不同，图形是一致的.例1（1）（2）小题是教材上的例题，设计目的：一是进一步理解椭圆的焦点位置与椭圆标准方程的关系.通过应用练习，进一步理解椭圆的定义，熟练掌握求椭圆标准方程的方法.归纳小结课堂总结：1 知识层面.2 方法层面.3 学习反思.学生小结归纳，不足的地方老师补充

11、说明.让学生自己小结，不仅仅总结知识，更重要的是总结数学思想方法，这样可帮助学生自行构建知识体系，理清知识脉络，养成良好的学习习惯.作业布置1.必做题：课本34页练习A 1；37页练习A 1（1）（2）（3）（4）.2. 思考题：（1）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于M、N两点，则的周长为什么？（2）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是什么？学生课后完成. 分层次布置作业，帮助学生巩固所学知识；为学有余力的学生留有进一步探索、发展的空间.教学反思本节课首先我先通过模型演示曲线的形成，让学生猜测，观察，激发学生的学习兴趣，然后通过学生自己动手做实验，得出椭圆，在我的引导

12、下由学生的亲自操作，得出曲线上点的几何特征，由此自己归纳出椭圆定义，然后老师通过演示绳长和定长大小关系改变时得到的曲线是什么，由此深化定义，然后让学生分组探求椭圆方程，交流对比，得出标准方程.两种形式的方程都得出之后，引导学生观察标准方程的特点，特别是辨认焦点是在X轴上还是在Y轴上，这是很重要.在教了后面的知识后，发现在这里要注意告诉学生看到一个方程，第一步是看焦点的位置，接下来才是a,b,c等其他的一些值，也就是最重要的要先确定方程的形式，这一点虽然简单但是学生很容易忘记考虑造成一些不必要的错误.在接下来就是一些简单的通过方程得出椭圆的特征值的问题.这里可以出一些很简单的让学生求a,b,c等

13、值的问题.这样一节课的任务也就基本完成了，针对新课程标准中对知识的发生的过程提出了较高的要求的情况，在这一节课中我觉得这一点还是有做到的，有重视学生对问题的探究能力.一、成功之处： 1教学方法上：结合本节课的具体内容，确立启发探究式教学、互动式教学法进行教学.体现了认知心理学的基本理论. 2.学习的主体上：变教师被动式教为学生主动式学，创设问题情境，引导学生观察、思考进而得出结论，教师只是适时的补充、深化.真正做到了：凡是学生能够自己观察的、讲的（口头表达）、思考探究的、动手操作的，都尽量让学生自己去做，这样可以调动学生学习积极性，拉近师生距离，提高知识的可接受度，让学生体会到他们是学习的主体

14、.进而完成知识的转化，变书本的知识为自己的知识. 3.学生参与度上：课堂教学真正面向全体学生，让每个学生都享受到发展的权利.在我的启发鼓励下，让学生充分参与进来，进行交流讨论，共同进步. 二、不足之处： 1本节课课堂容量偏大，推导过程复杂，不敢放手完全由学生推导，今后我要更加相信学生给学生更多的思考时间和空间，提高课堂的效果.2.一部分学生的计算能力还不够熟练，缺乏简化计算的能力，今后还要继续加强对学生这方面能力的培养.教研组点评1.引入形象，教学目标、教学重点难点把握准确 在学习本节课之前，学生对椭圆的认识主要来至于生活和直观感受.本节课从实例模型入手，形象的引入椭圆定义.因此椭圆定义是本节课的教学目标也是教学重点，而方程的推导及其结构形式的简化等都需要有一个过程.而这个过程的完成，对学生的抽象概括能力、逻辑思维能力及运算能力都有着较高的要求.因此方程的推导作为本节课的教学重点是准确的.在推导标准方程这一过程中，对于初次学习椭圆的学生而言具有一定的难度，但是教师教育学生不怕困难，勇于探索，体现了对学生的意志品质和拼搏精神的培养.2.突出重点，注重落实在给出椭圆定义后，教师对定义中常数的范围与图形的特点辨析和阐述的非常准