整理乘除运算中的误差分析

1、三、乘除运算中的误差分析前面我们提到过，“乘除运算”当中我们应该考虑“相对误差”，而这是 我们误差分析最为重要的内容。那么，如果相乘或者相除的两个数分别发生一定 程度的近似，它们的乘积或者商又会发生什么样的变化呢？我们首先先给出两个 重要的结论：两个数相乘，那么这两个数的相对误差之和，近似为总体的相对误 差；两个数相除，那么这两个数的相对误差之差，近似为总体的相对误 差。我们先举两个相乘的例子：5(H9 1021 500() 1000 = ? 10fi(1):924电 2W(i 8000 = 1 8-1 107(.2)在上面第(J)个式子中，前一个因子下降了1片左右，后一个因子下降了 0左右

2、所以最后得到的结果会比真实值小科住右51%+(-乎Q尸尸治).所以真实值约为；5 1#-(14 3K)在上面第(2)个式子中,前一个因子下降了 2%左右，后一个因子上升了 1%左右 所以最后得到的结宾会区真实值小1。右右1-型#1。尸理某 所以箕实值豹为；S4 - 1!07 - (l + Pol我们再举两个相除的例子二?(149-1021 5000-1000 = 5(312319- -92-1 23HU8iOO=C.2S-5(由在上面第G)个式子中，被除数下降了心旌右，除数下降了 左右,所以最后 到的结果会比真实值大产让右所以真实值约为T烈 3 Q 1%)在上面第 5 个式子中,被除数下降了

3、2%左右,除数上升了左右，所以最后到的结果会比真实值小型姓右所以真实值因为；占”2C 11+3，)力吗4旧5仃.5注：上面分析的所有误差指的都是“相对误差”，因为只有“相对误差”才能在 乘除运算当中保持近似的加减关系。四、近似误差与选项差异通过上面的分析我们知道，近似的计算会产生一定的误差，那么这种误差 会不会对最后结果的判定产生影响呢？这就取决于近似误差(“近似误差”指的 是数字近似后产生的相对误差，在与“选项差异”进行大小比较时，指其绝对值) 与选项差异之间的相对关系了，通俗的讲就是：选项差别大，估算可大胆；选项 差别小，估算需谨慎。但我们需要的不仅仅是这样一句定性的描述，我们更加需 要的

4、是定量的结论。首先，我们对两个数字之间的“相对差异”进行一个定义：我们以两个数 字当中较大的数字为真实值，较小的数字为估算值，这样计算得到的“相对误差” 的绝对值，我们称之为这两个数字之间的“相对差异”。譬如“4”和“5”，我 们以5为真实值，以4为估算值，得到的“相对误差”为“-20%”，那么我们就 说“4和5之间的相对差异为20%”。再譬如说，9和12之间的相对差异为25%， 15和18之间的相对差异为16.7%等等。然后，我们对“选项差异”进行一个定义：所谓“选项差异”，是指四个 选项中任意两个数值之间的“相对差异”的最小值。具体操作时，我们仅需要考 虑相邻数字之间（是指大小相邻，非而位

5、置相邻）的相对差异即可。我们看下面 这样的选项设置：A.20B.24C.28D.32我们考虑相邻数字之间的相对差异：20与24之间的相对差异为16.7%，24 与28之间的相对差异为14.3%，28与32之间的相对差异为12.5%。那么，这样 设置下的“选项差异”就是12.5%。事实上，我们对选项差异的计算也只需要得 到一个大致的值，并不一定需要计算得非常的精确。当我们知道了“选项差异”之后，我们就可以在近似计算中控制近似误差， 使其不至于影响最后结果的判定。下面我们再来看一个例子：例 3 706.38 + 24.75=?A.20.5B.24.5C.28.5D.32.5答案C解析我们大致估算，

6、“选项差异”高于10%，那么在近似计算中产生1% 左右（或以下）的误差不会影响到最后结果的判定：706.38 + 24.75700 + 25=28由“706.38”近似到“700”减小了1%左右，由“24.75”近似到“25”增 加了1%左右，这样的近似不会影响到最后结果的判定，因为“选项差异”在10% 以上。因此，我们选择离28最近的数字“28.5”，选择C。通过上面的分析我们知道，近似估算若要不影响最后结果的判定，“近似 误差”必须比“选项差异”要小，但具体要小到什么程度呢?我们大概给出下面 这样的参考：选项差异+近似误 差4倍以下49倍950 倍50倍以上估算建议不建议使 用注意控制误

7、差选择近似 值忽略误差我们进行的乘除计算，一般是23个数字的计算，当“选项差异”不到“近 似误差”的4倍时，多个数字的“近似误差”就很可能影响到最后结果的判定， 这时候我们不建议使用这种精度的估算。当“选项差异”为“近似误差”的49 倍时，我们一般会进行“有向误差分析”或者“误差抵消”以提高精度，后面我 们将有专题进行讨论。当“选项差异”为“近似误差”的950倍时，选择离估 算结果最近的值即可，正因如此，我们一般推荐大家将“近似误差”控制在选项 差异的1/10左右（或以下），更高的精度计算一般是没有必要的。当“近似误 差”不到“选项差异”的“1/50”时，我们得到的结果完全可以直接代表最终正

8、确的答案。例 4 38716 84397=?B.40.74%D.49.34%A.35.37%C. 45.87%答案C解析初步估算，选项差异在在10%左右，我们可以对原数字进行1%左 右（或以下）的近似：38716 84397-3900084000-46%,选择最接近的值， 即C。例 5 9.503X5.837=?A.50.44B.55.47C.59.98D.60.28答案B解析C和D之间的相对差异很小，但我们知道：9.503X5.83710X6=60, 所以D选项可以直接排除不予考虑。而A、B、C之间的“选项差异”在7%以 上，那么我们可以对原数字进行0.7%左右（或以下）的近似：9.503X

9、5.837-9.5 X5.8=55.1,选择最接近的值，即B。例 6 6405179934=?A.4%B.6%C.8%D.10%答案C解析640579934-640080000=8%。“选项差异”为20%,近似误差 低于1%。，因此误差可以直接忽略，估算得到的值即可代表最终的真实值。学到这里，我们把思路理清楚一下：我们在进行近似估算之前，先分析“选 项差异”，然后在近似中将“近似误差”控制在“选项差异”的“1/10”左右（或 以下），然后选择与计算结果最接近的选项即可。这样一来，似乎所有的近似估 算都变得特别简单，然而，如果有一个问题没有解决的话，我们的计算仍然没有 得到实质的简化，那就是：如

10、何快速判断近似估算的“近似误差”（譬如说将 5.837近似为5.8，“近似误差”到底是多少?），这个问题不解决，误差分析 无从谈起；这个问题掌握后，不仅“近似误差”的问题解决了，“选项差异”的 估算也同时得到解决，因为两者本质是相同的。误差初步理论（3）（选自资料分析模块宝典五版）五、近似误差的估算在学“近似误差”的估算之前，我们先强调两个重要的问题：1. 我们对“近似误差”的分析只需要也只能进行“估算”，精算是没有 必要也是不可行的，实际操作中我们只需要给出一个大概的值即可；2.“近似误差”一般分成两档：“1-10%”与“1-10%”，明显低于1%很多的一般可以忽略，明显高于10%很多的情形

11、在近似中一般也很难见 到。我们一般运用“左移两位百分法”估算“1-10%”左右的“近似误差”。譬 如，当我们判断将“42.83”近似为“42”时产生了多大的“近似误差”时，先将绝对误差（不考虑正负号）“0.83”左移两位变为“83.00”，再与原数“42.83” 进行比较，大概是2倍的关系，那么这个近似的近似误差应该大约就是“-2%”。 如下图所示：42 *3 - 42-0.S3将绝对误差与 原数逆行比较人致为2倍 得到结果运用上而同样的办法，我们来判断将歹近似为和（T所产生的相对误差:我们再判断将“乂近似为“NO。”所产生的相对误差:%储17 1，%5464550。+ 36将绝对误差与 原数

12、进行比较546436-左$两位,一+54643600不到I倍得到结果同样的道理，我们采用1左移三位千分法”来估篁左右的近似误差, 我们来判断将42 S3近似为 W 所产生的相对误差：我们再判断格”46T近似为”-访0“所产生的相将误差:5464_小到1岱 一得到第果,打4叩门日总3”门冰川M通过上面六个例子的讲述，相信大家已经掌握了 “近似误差”估算的要领。 与此同时，“选项差异”的估算也是通过同样的方法进行估算的，只是在具体操 作的时候有这样两点特别之处：“选项差异”关于“绝对误差”的计算可能较为复杂，我们一般截取 前12位计算即可；“选项差异”很容易达到“相对误差”很难达到的10%以上的差

13、异， 这时候一般通过计算“绝对误差是真实值的几分之一”或者运用类似 的“左移一位十分法”来进行估算。我们分析某题选项当中两个数值“784.31”、“768.45”之间的相对差异， 两个数相差约为“16.00”，将之与“784.31”做对比，通过“左移两位百分法” 易知相对差异大约为2%左右。我们再分析某题选项当中两个数值“6437.21”、“4829.32”之间的相对 差异，两个数相差约为“1600.00”，将之与“6437.21”做对比，前者大概是后 者的1/4，得知相对差异大约为25%。我们再分析某题选项当中两个数值“3158”、“1871”之间的相对差异， 两个数相差约为“1300”，将

14、之左移一位（变成“13000”）与“3158”做对比， 大概是后者的4倍左右，得知相对差异大约为十分之4，即40%左右。至此，我们便真正掌握了“近似误差”和“选项差异”的估算，在精度范 围允许的前提下，我们便可以自由的进行截位估算了。六、有向误差分析我们前面提到过，当“选项差异”为“近似误差”的49倍时，对数字的 近似有可能会在一定程度上影响到对最后结果的判定，这时候我们一般有两种办 法来应对和修正，我们先介绍第一种办法：有向误差分析。所谓有向误差分析，指的是截位估算的时候，通过对过程数字的相对误差 来判断最后估算结果相对误差的符号，直白的说，就是判断估算结果是大于真实 值还是小于真实值，从而

15、锁定答案的方法。这是一种定性的分析方法，在后面的 章节里，我们还可能碰到定量的分析。我们用一个简单的例子来阐明这个道理：例 7 5461 14831=?B.35%D.39%A.33%C.37%答案C解析5461 14831-540015000=36%这时候问题来了，与36%最接近的有两个选项，这时候应该怎么选择呢? 我们可以选用“有向误差分析”来判定。通过简单估算，“选项差异”超过5% （37%与39%之间的相对差异），将“5461”、“14831”分别近似为“5400”、 “15000”的近似误差都在1%左右，于是我们可以确定，结果肯定在36%的附近， 也就是在35%与37%之间进行选择。很

16、明显，近似的过程缩小了分子而扩大了分 母，导致估算值36%小于真实值，因此我们选择C。例 8 3390.5X36.69%X 12.73%=?A.143B.158C.174D.191答案B解析3390.5 X 36.69% X 12.73%-3333.333 X 36% X 12.50%=150“选项差异”在10%左右，“近似误差”在2%以内，算得结果肯定在150 附近。由于近似过程中三个因子都被缩小，所以近似结果肯定小于真实值，那么 答案就应该比150要大，所以选择B。七、误差抵消与精度提高我们前面提到过：两个数相乘（或相除），那么这两个数的相对误差之和 （或之差），近似为总体的相对误差（事实

17、上，对于多于两个数的数字的乘除也 是近似满足的）。那么，如果我们在近似的时候，使得乘法中的相对误差保持相 反的方向或者除法中的相对误差保持相同的方向，就能有效的抵消误差，从而提 高精度。而这便是我们应对“选项差异”不足够大时的另外一个有效方法。我们再来看这两个例子：例 9 5461 14831=?A.33%C.37%B.35%D.39%答案C解析5461 14831-550015000=36.7%,选择 C。注释截位近似时，被除数提高了1%左右，除数也提高了1%左右，两者 相减，误差将大大的被削减。例 10 3390.5X36.69%X 12.73%=?A.143B.158C.174D.191答案B解析3390.5 X 36.69% X12.73%-3500X 36% X12.50%=157.5,选择 B注释截位近似时，第一个因子提高了3-4%，第二个因子降低了2%以内， 第三个因子也降低了2%以内，三者相加，误差