计算机图形学：第7章 曲线和曲面

1、第七章 曲线和曲面引言7.1曲线曲面基础知识7.2三次样条7.3几种典型的曲线曲面介绍7.4曲线曲面的转换和计算引言问题的提出: 如何根据已知的一系列离散点来构造出一条光滑的曲线或一个光滑的曲面?(举例) 初等几何平面:平面、圆柱面、球面 自由变化的曲线和曲面：飞机、汽车的外形对复杂方式表示的自由曲线曲面的表示:传统方法: 模线样板法表示，以模拟量传递形状信息CAGD(计算机辅助几何设计): 用数学方法表示，以数值量传递形状信息（美国犹他大学，1974）7.1 曲线曲面基础7.1.1 曲线曲面数学描述的发展7.1.2 曲线曲面的表示要求7.1.3 曲线曲面的表示7.1.4 插值和逼近样条7.1

2、.5 连续性条件7.1.6 样条的描述7.1.1 曲线曲面数学描述的发展美国波音公司弗格森双三次曲面片,引入参数法表示自由区面的标准形式（参数矢量方法）MIT孔斯双三次曲面片具有一般性，给定四条边界可定义一块去面片舍恩伯格（1964）的样条函数解决连接问题，通过曲线、曲面插值构造整体Bezier方法：以逼近为基础，有控制多边形定义曲线、曲面。B样条方法：解决局部控制有理Bezier非均匀有理B样条方法7.1.2 曲线曲面的表示要求1.唯一性2.几何不变性3.易于定界4.统一性5.易于实现光滑连接6.几何直观7.1.3 曲线曲面的表示曲线和曲面的表示分为:非参数形式(y=kx+b,f(x,y)参

3、数形式 p(t)=(x,y,z)=(x(t),y(t),z(t) t0,1 参数表示相对非参数表示的优越性:1点动成线2选取具有几何不变性的参数曲线曲面表示形式。3避免了斜率无穷大的问题4t0,1 ，使其相应的几何分量是有界的5可对参数方程直接进行仿射和投影变换6参数变化对各因变量的影响可以明显地表示出来7.1.4 插值和逼近样条采用模线样板法表示和传递自由曲线曲面的形状称为样条。样条曲线是指由多项式曲线段连接而成的曲线，在每段的边界处满足特定的连续条件。样条曲面则可以用两组正交样条曲线来描述。曲线曲面的拟合：当用一组型值点来指定曲线曲面的形状时，形状完全通过给定的型值点列。曲线曲面的逼近：当

4、用一组控制点来指定曲线曲面的形状时，求出的形状不必通过控制点列7.1.5 连续性条件假定参数曲线段pi以参数形式进行描述：曲线段相连包括两种意义上的连续性:参数连续性几何连续性参数连续性0阶参数连续性:记作C0连续性，是指曲线的几何位置连接，即1阶参数连续性:记作C1连续性，指代表两个相邻曲线段的方程在相交点处有相同的一阶导数：2阶参数连续性:记作C2连续性，指两个相邻曲线段的方程在相交点处具有相同的一阶和二阶导数。（举例 P218）几何连续性0阶几何连续性，记作G0连续性，与0阶参数连续性的定义相同，满足：1阶几何连续性，记作G1连续性，指一阶导数在相邻段的交点处成比例2阶几何连续性，记作G

5、2连续性，指相邻曲线段在交点处其一阶和二阶导数均成比例。7.1.6 样条描述n次样条参数多项式曲线的方程:(计算机图形学中多采用多项式)基矩阵: Ms几何约束条件: G基函数(blenging function)，或称混合函数。7.2 三次样条在此,介绍两种三次样条:自然三次样条三次Hermite样条给定n+1个点，可得到通过各个点的分段三次多项式曲线： 7.2.1 自然三次样条定义：给定n+1个型值点，现通过这些点列构造一条自然三次参数样条曲线，要求在所有曲线段的公共连接处均具有位置、一阶和二阶导数的连续性，即自然三次样条具有C2连续性。特点:只适用于型值点分布比较均匀的场合不能“局部控制”

6、 7.2.2 三次Hermite样条定义：假定型值点Pk和Pk+1之间的曲线段为p(t),t0,1，给定矢量Pk、Pk+1、Rk和Rk+1，则满足下列条件的三次参数曲线为三次Hermite样条曲线：7.3 几种典型的曲线曲面介绍Bezier 曲线曲面B样条曲线曲面有理样条曲线曲面(NURBS)7.3.1 Bezier曲线的定义Bezier曲线是参数多项式曲线，它由一组控制多边形折线的顶点唯一地定义。如下图所示，在各个控制多边形的顶点中，只有第一个和最后一个在曲线上，其它的用来定义曲线的导数、阶次和形状。Bezier曲线的参数方程表示如下：Bernstein基函数具有如下形式：其中，Pk(xk,

7、yk,zk), k=0,1n是控制多边形的n1个顶点 BEN(t)是Bernstein基函数；一次Bezier曲线(n=1)可见，一次Bezier曲线是连接两个控制点的直线段二次Bezier曲线(n=2,P0,P1,P2 二次多项式，抛物线）3三次Bezier曲线(n=3)其中，任何三次Bezier曲线都是由这条曲线的线性组合而成Bezier曲线的生成绘制一段Bezier曲线Bezier曲线的拼接由于高次Bezier曲线设计较复杂，所以工程上常使用分段三次Bezier样条曲线来描述，也就是将一段段的三次Bezier曲线首尾相连拼接起来。关键：保证连接处具有G1和G2连续性7.3.4 Bezie

8、r曲面1Bezier曲面定义利用两组正交的Bezier曲线可生成Bezier曲面BENi,m(u)与BENj,n(v)是Bernstein基函数： 控制网格：所有的控制顶点构成的空间的一张网格称为控制网格或Bezier网格样条曲线曲面B样条曲线与Bezier曲线比较Bezier曲线的不足：1 控制多边形的顶点数决定了Bezier曲线的阶次2 Bezier曲线不能作局部修改(改变一个控制点，对整条曲线都有影响)B样条曲线保留了Bezier曲线的优点，并克服了其不具备局部性质的缺点。B样条曲线的定义B样条曲线的数学表达式： Pk为n+1个控制点，又称为de Boor点 B k,m(t)是B样条基函

9、数 ,其表达式见下页参数说明m是曲线的阶数(m-1)为B样条曲线的次数曲线在连接点处具有(m-2)阶连续B样条基函数的表达式：B样条曲线的特点对于由任意数目的控制点构造的二次周期性B样条曲线来说，曲线的起始点位于头两个控制点之间，终止点位于最后两个控制点之间。对于高次多项式，起点和终点是m-1个控制点的加权平均值点。若某一控制点出现多次，样条曲线会更加接近该点。B样条曲面B样条曲面是B样条曲线的二维拓广，其数学表达式如下：有理样条曲线曲面有理样条（Rational Spline）又被人们习惯称为非均匀有理B样条（Nonuniform Rational B-Spline），简称NURBS.NUR

10、BS是两个样条参数多项式之比。这种方法既能描述自由型曲面又能精确表示二次曲线与曲面的有理参数多项式。NURBS曲线曲面定义NURBS曲线的数学表达式：NURBS曲面的数学表达式：曲线曲面的转换和计算 样条曲线曲面的转换 样条曲线曲面的离散生成样条曲线曲面的转换虽然Hermite样条 Bezier曲线和B样条曲线都是多项式曲线,但适用于不同的场合,那么如何从一种样条表示形式转换到另一种样条表示形式?假设已知一种样条的表示形式为: 现在要变换为另一种表现形式:我们需要算出几何约束矩阵G2:所以有,其中,M1,2为从第一个样条形式转换到第二个样条形式的变换矩阵,为常数.样条曲线曲面的离散生成为了显示一个样条曲线或曲面,必须确定曲线或曲面上的离散点坐标,即须在函数值域内按参数的某个增量求出对应的函数的离散值.常用的方法:1Horner规则2向前差分计算3细分Horner规则Horner规则是最简单和最直观的规则Horner规则的基本思想: 将样条的参数多项式分解,利用分解因子的方法来求多项式的值,将运算转换为加法和乘法运算.向前差分计算向前差分计算是求多项式函数值的最快的方法基本思想: 利用前次计算出的函数值以及当前的函数增