结构力学-第五章-影响线

1、结构力学-第五章-影响线1.影响线的绘制 结构上某截面的内力或支座反力随移动荷载位置变化而变化的规律。2.影响线的应用 确定移动荷载的最不利位置，并求出支座反力或内力的最大值，作为结构设计的依据。2.绘制方法：静力法和机动法二、本章讨论的主要问题三、影响线的概念1.概念：某量值Z的变 化规律用函数图象表示，称为该量值的影响线。5.2 静力法作简支梁的影响线一、静力法作影响线的原理和步骤1.选择坐标系，定坐标原点，并用变量x表示单位移动荷载 的作用位置；2.列出某截面内力或支座反力关于x的静力平衡方程，并注 明变量x的取值范围；3.根据影响线方程绘出影响线。注意：（1）内力或支座反力的正负号规定

2、：弯矩和剪力同前，竖向支座 反力以向上为正； （2）量值的正值画在杆轴上侧，负值画在杆轴下侧。 如图(a)所示的简支梁，在单位移动荷载作用下，求做各量值的影响线。 二、静力法作简支梁的影响线(0 xl)（1）反力影响线RB影响线：取A点为坐标原点，以P=1的作用点与A点的距离为变化量x，取值范围为0 xl。设反力以向上为正。利用平衡条件MA=0，得当x=0时，RB=0;当x=l时，RB=1。 RB的影响线如图(b)所示。 RA影响线：仍取A点为坐标原点，以P=1的作用点与A点的距离为变化量x，取值范围为0 xl。设反力以向上为正。利用平衡条件MB=0，得(0 xl)当x=0时，RA=1;当x=

3、l时，RA=0。 RA的影响线如图(c)所示。 (2) 弯矩影响线下面求简支梁所指定截面C的弯矩MC的影响线。 其绘制方法是：在左、右两支座处分别取竖标a、b，如图(d)，将它们的顶点各与右、左两支座处的零点用直线相连，则这两条直线的交点与左右零点相连的部分就是MC的影响线。(3) 剪力影响线当P=1在截面C以左部分AC段上移动时，取BC段为隔离体，由Y=0，有 QC=-RB(0 xa)当P=1在截面C以右部分BC段上移动时，取AC段为隔离体，由Y=0，有 QC=RA(axl)据此可作出QC影响线如图(e)所示。设外伸梁如图(a)所示，求作反力RA、RB以及截面C和D的弯矩、剪力影响线。(1)

4、 反力影响线取支座A为坐标原点，以P=1作用点到A点的距离为变量x，且取x以向右为正。利用简支梁平衡条件分别求得RA和RB的影响线方程为 二、静力法作外伸梁的影响线(-l1xl+l2)(-l1xl+l2)据此，可作出反力RA和RB的影响线如图(b)、(c)所示。 (2) 简支部分任意截面C的内力影响线 当P=1位于截面C以左时，求得MC和QC的影响线方程为MC=RBb (-l1xa)QC=-RB (-l1xa) 当P=1位于截面C以右时，则有MC=RAa (axl+l2)QC=RA (axl+l2) 据此，可作出MC和QC的影响线如图 (d)、(e)所示。(3) 外伸部分任意截面D的内力影响线

5、当P=1位于D以左部分时，有MD=-xQD=-1当P=1位于D以右部分时，则有MD=0QD=0据此，可作出MD和QD的影响线如图(f)、(g)所示。 学习影响线时，应特别注意不要把影响线和一个集中荷载作用下简支梁的弯矩图混淆。图(a)、(b)分别是简支梁AB的弯矩影响线和弯矩图，这两个图形的形状虽然相似，但其概念却完全不同。现列表1把两个图形的主要区别加以比较，以便更好地掌握影响线的概念。 表1 弯 矩 影 响 线弯矩图承受的荷载 数值为1的单位移动荷载，且无量纲 作用位置固定不变的实际荷载，有单位横坐标x 表示单位移动荷载的作用位置表示所求弯矩的截面位置竖标y 代表P=1作用在此点时，在指定

6、截面处所产生的弯矩；正值应画在基线上侧；其量纲是长度 代表实际荷载作用在固定位置时，在此截面所产生的弯矩；弯矩画在杆件的受拉侧不标正负号；其量纲是力长度 D5.3 结点荷载作用下的影响线 通过纵梁或横梁间接作用于主梁上的荷载称结点荷载。一、结点荷载的概念横梁纵梁主梁AB CE FRARB l=4d二、结点荷载作用下梁的影响线d 8 5d 4 3d1615d/2d/2DP=1 2.MD影响线P=1 P=1 xP=1P=1 MDQCE1/21/41.支座反力影响线：与简支梁 在直接荷载作用下相同3.QCE影响线：CE之间任意 截面剪力相同4.MC影响线：结点截面弯矩 与直接荷载作用下相同结点荷载下

7、影响线作法： 1）以虚线画出直接荷载作用下有关量值的影响线。 2）以实线连接相邻结点处的竖标，即得结点荷载作用下该 量值的影响线。 结点荷载下影响线特点： 1）在结点处，结点荷载与直接荷载的影响线竖标相同。 2）相邻结点之间影响线为一直线。任一轴力影响线在相邻结点之间为直线。反力影响线与简支梁相同。 桁架通常承受结点荷载，荷载的传递方式与梁相同。因此，任意杆的轴力影响线在相邻结点之间为一直线。 5.3 静力法作桁架的影响线l=6dACBDEFGh一、桁架的反力影响线l=6dADCEFGadcefgbP=1P=1xADCEFGB 单跨静定梁式桁架，其支座反力的计算与相应单跨梁相同，故二者的支座反

8、力影响线也完全一样。RARBB3）当P=1在被截的节间DE内移动时，Nde影响线在此段应为一直线。l=6dADCEFGadcefgbRARB二、桁架杆件内力影响线1.上弦杆轴力Nde的影响线P=1P=1xADCEFGBIINde1）当P=1在结点D以左移动时，取截面I-I以右部分为隔离体。2）当P=1在结点E以右移动时，取截面I-I以左部分为隔离体。h4d/(3h)3d/h3d/h -Nde影响线2.下弦杆轴力NDE的影响线l=6dADCEFGadcefgbRARBP=1P=1xADCEFGBIINDE1）当P=1在结点D以左移动时，取截面I-I以右部分为隔离体。2）当P=1在结点E以右移动时

9、，取截面I-I以左部分为隔离体。3）当P=1在被截的节间DE内移动时，NDE影响线在此段应为一直线。h4d/3hNDE 影响线3.斜杆dE轴力的竖向 分力YdE的影响线3）当P=1在被截的节间DE内移动时，Nde影响线在此段应为一直线。l=6dADCEFGadcefgbRARBP=1P=1xADCEFGBII1）当P=1在结点D以左移动时，取截面I-I以右部分为隔离体。2）当P=1在结点E以右移动时，取截面I-I以左部分为隔离体。hNdE1/311YdE影响线2/34.竖杆轴力NcC的影响线l=6dADCEFGadcefgbRARBP=1P=1xADCEFGBIIIINcC1）当P=1在结点C

10、以左移动时，取截面II-II以右部分为隔离体。2）当P=1在结点D以右移动时，取截面II-II以左部分为隔离体。h3）当P=1在被截的节间CD内移动时，NcC影响线在此段应为一直线。2/311NcC影响线1/65.竖杆轴力NeE的影响线1）当P=1沿下弦移动， NeE影响线下承上承1P=1P=1P=1P=1l=6dADCEFGadcefgbRARB2）当P=1在结点e时，NeE = 13)当P=1在其它结点时，NeE = 0NeE影响线任一轴力影响线在相邻结点之间为直线。单跨梁式平行弦桁架 弦杆内力影响线（由力矩法作出）可由相应简支梁结点（力矩法的矩心）弯矩影响线除以h得到。上弦杆为压下弦杆为

11、拉。 斜杆轴力的竖向分力和竖杆轴力影响线（由投影法作出）是梁的被切断的载重弦节间剪力影响线。作桁架影响线时要注意区分是上承，还是下承。 静定结构某些量值的影响线，常可转换为其它量值的影响线来绘制。 5.5 机动法绘作静定梁的影响线一、机动法做影响线的基本原理1.撤掉与所求量值相对应的约束（支座或与截面内力对应的约束），用正方向的量值来代替；2.沿所求量值正方向虚设单位位移，并画出整个梁的刚体位移图；3.应用刚体体系的虚功原理建立虚功方程，导出所求量值与位移图之间的关系，即为影响线。刚体体系的虚功原理：虚位移原理（虚设单位位移法）二、作图步骤二、机动法绘制静定梁影响线（1）反力影响线P=1xlA

12、BABRB1dRB影响线证明：根据W外=0 此式表明的值恰好就是单位力在x时B点的反力值，刚好与影响线定义相同。（注意：是x的函数）（2）弯矩影响线 MC影响线ABabMC证明：根据W外=0d影响线顶点坐标y的求法：yP=1xlABabCa+=1（3）剪力影响线QC影响线ABdP=1xlABabCQCQC1y1y2y1、y2的求法：例1. 用机动法作图示多跨静定梁的影响线。3m2m2m3m2m2mP=1AFBECDGMB影响线ABECDMB11m2mAFBECDQFQFQF影响线1/21/21/31/63m2m2m3m2m2mP=1AFBECDGRB影响线ABECDRB14/32/3QC影响线

13、ABECDQCQC11/2MG影响线ABECDGMG1m1m3m2m2m3m2m2mP=1AFBECDGQB左影响线QB右影响线QG影响线BAECD1/31/61BAECD11/2BAECD1/21/21/25.6 影响线的应用一、利用影响线求在固定荷载作用下的影响量1.集中荷载作用下的影响量b/la/lQC影响线y1y2y3P1P2P3ablCQC=P1y1+ P2y2 + P3y3一般说来： Z= Piyi2.均布荷载作用下的影响量b/la/lQC影响线yqablCABxdxqdxydxqBA=yqdxQBAC=AdqBA= = qA一般说来： Z=qA3.集中荷载和均布荷载共同作用下的影

14、响量Z=Piyi +qiAi注意：（1）yi为集中荷载Pi作用点处Z影响线的竖标，在基线 以上yi取正，Pi向下为正；（2）Ai为均布荷载qi分布范围内Z影响线的面积，正的 影响线计正面积，qi向下为正。3/52/5QC影响线例1. 试利用影响线求QC的数值。10kN/m4m6mCAB解：例2试利用影响线计算图(a)所示梁在图示荷载作用下的截面C的弯矩 和剪力 。解： (1) 作MC、QC影响线分别 如图(b)、(c)所示。 (2) 计算MC、QC二、利用影响线确定荷载最不利位置 1. 任意长均布活载的最不利分布 判断荷载最不利位置的一般原则：应当把数值大、排列密的荷载放在影响线竖标较大的部位

15、。 如果荷载移动到某个位置，使某量值达到最大值，则此位置称为该量值的荷载最不利位置。Z影响线Z的最小值Z的最大值qqq3/52/5QC影响线例3. 图示简支梁承受均布荷载q=10kN/m的作用，荷载在梁上可任意布置，QC的最大正号值和最大负号值。10kN/m4m6mCAB解：1）作QC的影响线2）确定荷载的最不利分布QCmaxQCminqq3）计算QCmax和QCmin2.集中移动活载作用下荷载的最不利位置 当只有一个集中移动荷载时，荷载移到影响线顶点时才会产生最大影响量值。Z影响线PZmaxZminPP1）一个集中力情形2）一组移动集中力情形P1P2Z影响线Cy2y1P1P2P1P2y2y1

16、P1P2P1P2 一组集中力移动荷载作用下的最不利荷载位置，一定发生在某一个集中力PK（临界荷载）到达影响线顶点时才有可能，至于到底哪个是临界荷载，还需要去判断或试算。 0.60.4QC影响线例4. 图示一吊车梁，有两台吊车行驶，轮压及轮距如图所示，求梁AB截面C的最大正剪力。2.4m3.6mCAB252kN252kN106.4kN106.4kN4.4m3.4m1.15m解：1）作QC的影响线2）确定荷载的最不利 位置3）计算QCmax252kN106.4kNPCr252kN0.408 如图(a)、(b) 所示，当影响线为三角形时，在一组间距不变的集中荷载作用下，确定临界荷载PK的位置。 确定

17、临界荷载PK的方法：当量值Z有极大值时，荷载自临界位置左移或右移,Z0。 当临界荷载右移时，x0当临界荷载左移时，x0当量值Z有极小值时，荷载自临界位置左移或右移,Z0。 当临界荷载右移时，x0当临界荷载左移时，x0说明：量值Z取得极值的条件是 在临界荷载两端变号，注意 角度正切值的正负。当影响线是三角形时，Z有极大值的临界荷载PK的判别式可简化为临界荷载左移时， 临界荷载右移时， 对每一个临界位置可求出的一个极值，然后从各个极值 中选出最大值。确定荷载的最不利位置，求Z最大值的步骤：从荷载组中确定一个集中荷载,使它位于影响线的顶点。 即确定临界荷载。 当影响线是三角形时，利用上述判别式进行计

18、算，若满足，则此荷载即为临界荷载，荷载位置即为临界位置。当影响线不是三角形时，主要依靠试算法。例5. 图示一吊车梁，P1=P2=P3=P4=82kN，求截面C弯矩最在时的荷载最不利位置及MC的最大值。解：1）作MC的影响线2）确定临界荷载,求MCmax 经判断P2 是临界荷载，PCrP23.6m8.4mCABP13.5m1.5m3.5mP2P3P42.52mMC影响线P2P3P4P12.070.071.02P2P3P4 经判断P3不是临界荷载，也无其它的临界荷载。1.471.47先判断P2例6. 图示简支梁在移动荷载作用下，求截面C的最大弯矩Mmax、最大正剪力Qmax和最小负剪力Qmin。解

19、：1）作MC的影响线2）确定临界荷载,求MCmax 经判断40KN 是临界荷载，确定荷载最不利位置。60203040 影响线是三角形，用公式判断30KN、20KN、60KN都不是临界荷载。2m2m2m40KN60KN20KN30KN3m9mCAB2.25mMC影响线1.751.250.753）作QC的影响线4）求QCmax及 QCmin 由经验可判断出当所有荷载位于C右侧时，QC取得最大值；当所有荷载位于C左侧时， QC取得最小值。 影响线不是三角形，用试算法确定荷载最不利位置。2m2m2m40KN60KN20KN30KN3m9mCAB7/125/121/40.75QC影响线0.2560203

20、040QCmax1/122030QCmin5.7 简支梁的包络图和绝对最大弯矩一、简支梁的内力包络图 将移动荷载作用下简支梁中各个截面产生的最大（小）内力值用曲线连接起来，得到的图形称为简支梁的内力包络图。12mP13.5m1.5m3.5mP2P3P4123456789100P1=P2=P3=P4=82kN2.88mM4影响线x4=4.8mM4max=559kN.m578559574215366465M包络图（kN.m)153Q包络图（kN)21294.341.717912765.025.316.48.2Q4max=127kNQ4min=-41.7kNM5max=574kN.m二、简支梁的绝对最大弯矩 移动荷载作用下简支梁各个截面产生的最大弯矩中的最大者，称为简支梁的绝对最大弯矩。1.绝对最大弯矩的概念2.绝对最大弯矩的计算公式绝对最大弯矩与两个未知因素有关：1）绝对最大弯矩发生在哪个截面？2）行列荷载位于什么位置时发生绝对最大弯矩？计算依据：绝对最大弯矩必然发生在某一集