正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用教案

1、精品文档.正定矩阵的判定方法及正定矩阵 在三个不等式证明中的应用作者：袁亮（西安财经大学）摘 要: 本文从正定矩阵的的定义出发，给出了正定矩阵的若干判定定理及推论，并给出了正定矩阵在柯西、Holder、Minkowski三个不等式证明中的应用.关键词: 正定矩阵，判定，不等式，应用Abstract: In this paper, we mainly introduce some decision theorem and inference based on the definition of positive definite matrices and give the application

2、 of positive definite matrices in the proving on Cauchy、Holder、and Minkowski inequality.Keywords: positive definite matrix, determine, inequality, application目 录1 引言42 正定矩阵的判定方法42.1 定义判定 52.2 定理判定 62.3 正定矩阵的一些重要推论113 正定矩阵在三个不等式证明中的应用 153.1 证明柯西不等式 153.2 证明Holder不等式163.3 证明Minkowski不等式18结束语21参考文献221

3、引言代数学是数学中的一个重要的分支，而正定矩阵又是高等代数中的重要部分特别是正定矩阵部分的应用很广泛， n阶实对称正定矩阵在矩阵理论中，占有十分重要的地位它在物理学、概率论以及优化控制理论中都得到了重要的应用，而本文只提供解决正定矩阵判定问题的方法，并阐明它在数学分析中三个重要不等式证明中的应用.正定矩阵的一般形式是,设A是n阶实对称矩阵，若对任意，且，都有成立.本文从正定矩阵的定义，给出正定矩阵的判定定理，并给出正定矩阵的重要推论，这些重要推论对计算数学中的优化问题有着重要的作用，并在矩阵对策，经济均衡，障碍问题的研究中具有很实用的价值.同时还介绍正定矩阵在三个不等式证明中的应用，其一是用正

4、定矩阵证明著名的柯西不等式，其二是用正定矩阵的性质给出Holder不等式的一个新的证明，其三是运用正定矩阵的两个引理证明Minkowski不等式，这三个应用说明正定矩阵运用的广泛性和有效性.以上这些正定矩阵的研究只局限在正定矩阵的理论分析方面，它的一些实际方面的应用还有待笔者和一些学者去探索挖掘.2 正定矩阵的判定方法2.1 定义判定设=,(其中C,i,j=1,2,，n), 的共轭转置记为=定义1 对于实对称矩阵=,（其中R,i,j=1,2,，n）若对于任意非零列向量，都有0,则称是正定矩阵.定义2 对于复对称矩阵=,（其中C,i,j=1,2,，n）若对于任意非零列向量，都有0,则称是正定矩阵

5、例1 设A为m阶实对称矩阵且正定，B为mn实矩阵，为B的转置矩阵，试证 为正定矩阵的充要条件是B的秩r（B）=n. 证 必要性 设为正定矩阵，则对任意的实n维列向量，有，即.于是，因此，只有零解，从而.充分性 因,即为实对称矩阵.若秩，则线性方程组只有零解，从而对任意实n维向量有.又A为正定矩阵，所以对于，有,于是当时，.故为正定矩阵.例2 设 A 是 n 阶正定矩阵，B 是 nm 实矩阵，B的秩为 m，证明 ：BAB 是正定矩阵.证 因为（BAB）=BAB=BAB,故 BAB 是实对称矩阵，其次，由于秩 B=m，mn.故 BX=0 只有零解 ，因此，若任取非零实列向量 X 必有 BX0，因

6、A 是正定矩阵，故对任取的非零实列向量 X，必有X（BAB）X=(BX)A(BX)0.因此 BAB 是正定矩阵.注意 以上两个例子，是运用正定矩阵的定义来证明的.还提供了利用实矩阵来构造正定矩阵的方法.具体是，若 A 不是方阵，也不对称时，AA，AA是正定矩阵，若 A 是方阵，但不对称，则 A+A是正定矩阵，同时，在证明的过程中，我们也看到了齐次线性方程组解的理论在正定二次型的理论中的应用.2.2 定理判定定理1 n阶实对称矩阵A正定，当且仅当实二次f(,)=的正惯性指数为n证 设实二次型f(,)经过非退化线性变换得+. （2.1）由于非退化实线性变换保持正定性不变，那么正定当且仅当（2.1）

7、是正定的，由定义3知（3.1）正定当且仅当0()，因此，正惯性指数为n. .定理2 实对角矩阵正定的充分必要条件是0，().证 由定理3.1得，实对称矩阵正定当且仅当二次型f(,，)=+.的正惯性指数为n，因此，0（i=1,2,n,）例3 设A为n阶实对称矩阵，证明：秩（A）=n的充分必要条件为存在一个n阶实矩阵B，使是正定矩阵.证 充分性（反证法）反设，则.于是是A的特征值，假设相应的特征向量为x，即,所以.所以，和是正定矩阵矛盾.必要性 因为，所以A的特征值全不为0.取B=A，则.它的特征值为全部为正，所以是正定矩阵.定义3 在实二次型的规范形中，正平方项的个数p称为的正惯性指数，负平方项

8、的个数称为的负惯性指数，它们的差称为的符号差.定理3 实对称矩阵是正定的充要条件矩阵的秩与符号差n定理4 实对称矩阵是正定的充要条件是二次型f(, )=的系数矩阵的所有特征值都是正数，即大于零.证 由文献1知，实对称矩阵可对角化为其中，恰好是的特征值，则二次型的标准形为：+,而非退化实线性变换保持正定性不变，由f (,，)=+.正定得0()例4设A为实对称矩阵，则当t充分大时，A+tE为正定矩阵.证 设A的特征值为，取，则的特征值全部大于零，因此当时，是正定矩阵.例5 设A为n阶实对称矩阵，且.证明：A正定.证 设是A的任一特征值，对应特征向量为，即，代入已知等式,有，因为，故满足得，因A为实

9、对称矩阵，其特征值一定为实数，故只有，即A的全部特征值就是，这就证明A是正定矩阵.定理5 实对称矩阵正定当且仅当它与单位矩阵合同证 实正定二次型的规范形为+. (2.2.1)而（2.2.1）的系数矩阵为单位矩阵，非退化实线性变换保持正定性不变，而且新二次型的系数矩阵与原二次型的系数矩阵是合同的，故实对称矩阵正定当且仅当它与单位矩阵合同定理6 实对称矩阵是正定的充要条件是存在可逆矩阵使得=证 设为一正定矩阵，当切仅当与单位矩阵合同，因此，存在可逆矩阵，使得 =.定理7 实对称矩阵正定的充分必要条件是矩阵的顺序主子式全大于零证 必要性 实对称矩阵正定，则二次型f(,)=是正定的，对于每一个k,1k

10、n,令（,，）=，我们来证是一个k元正定二次型，对于一组不全为零的数，有（，）=（，0，,0）0,因此，是一个k元正定二次型.由充要条件2得的矩阵行列式 0,（k=1,2,n）.充分性 对n作数学归纳法当n=1时，f()=,由条件0，显然f()是正定的假定此论断对n-1元二次型成立，下证n元的情形. 令= ，=，则 =.由的顺序主子式全大于零可知的顺序主子式全大于零，由假设是正定矩阵，有n-1阶可逆矩阵 ，使得=,令=,则=.令=,则=.令=,=-,则有=.两边取行列式得 =,由条件 0 知 0. 由于 =.因此，A与单位矩阵合同. 由定理5得，是正定矩阵定理8 n阶实对称阵A为正定的充要条件

11、是存在对称正定阵B，使A=B. 证 必要性 存在正交阵Q，使A=QO将 A 的第 n 列乘适当的倍数，分别加到第 1,2nl列上，再施同样的行变化，可使 A 变成为,的形式即存在非退化的下三角矩阵T，使,再令因为A正定 ，故A作为A的n-1阶顺序主子式，也是正定的.对A做同样处理，最终可得到.令 是非退化的下三角矩阵，且使A=OQ充分性 是显然的定理10 A是正定矩阵的充要条件是存在正交向量组 使 A=.2.3 正定矩阵的一些重要推论对于实对称正定矩阵除了上面的一些充要条件用于判定一个矩阵是否为正定矩阵外，还有很多重要推论，下面给出.推论1 正定矩阵的和仍是正定矩阵证 若与为同阶正定矩阵，则对

12、于非零列向量=(,)0,必有0， 0,从而（+）=+ 0.所以+也是正定的.推论2 实正定矩阵的行列式大于零证 对=两边取行列式有 |=| |=0，因此，|A|0推论3 与正定矩阵合同的对称矩阵一定是正定矩阵(事实上由合同的传递性及正定矩阵都与单位矩阵合同可知结论成立)推论4 正定矩阵的逆矩阵一定是正定矩阵证 由命题1.3得正定矩阵的逆矩阵一定是对称矩阵，又因为正定矩阵与单位矩阵合同，所以存在可逆矩阵使得=,取逆矩阵得=,令=,则=.因此，与单位矩阵合同，所以是正定矩阵推论5 正定矩阵的任何顺序主子式阵必为正定矩阵推论6 设A，B均为 n 阶正定矩阵，且AB=BA，则AB 正定.证 因为AB=

13、BA，故(AB)=BA=BA=AB， 所以AB为实对称矩阵，又因为A 正定，所以实可逆矩阵P，使PAP=E.方法一 PABP=PAPPBP=PBP，而 B 正定，故 B 的特征值都大于零，所以 PABP 的特征值大于零，正定，AB是正定的.方法二 PAB(P)=PAPPB(P)=PB(P)，因为B 正定，故 PB(P)正定， PB(P)的特征值大于零，AB的特征值大于零，又因为AB实对称，所以AB是正定的. 推论7 若A是正定矩阵，则A 也是正定的(其中A表示A的伴随矩阵).证 因为A正定 ，故 A正定；A=A(0)，所以 A也正定.推论8 若A，B都是n阶实对称矩阵，且B是正定矩阵，则存在一

14、n阶实可逆矩阵P使PAP与PBP同时为对角形.证 因为B是正定的，所以合同于E，即存在可逆阵U使UBU=E；且A是n阶实对称矩阵，则(UAU)=UAU.存在正交矩阵C使C(UAU)C=diag( ， ，),则.取P=UC，则P为所求 推论9 若 A 是实对称的正定矩阵，则存在 a0，bO，c0，使 aE+A，E+bA.cEA 均是正定矩阵.证 若A的特征值为，1in，则 aE+A 的特征值为 a+ ，1in，所以存在 a 使 aE+A的特征值大于零，其余同理可证.推论10 已知 A 是 n 阶正定矩阵，则A(k是正整数)也是正定矩阵.证 A与 A 的特征值有熟知的关系，故从特征值角度人手考虑根

15、据A正定，即知其特征值， 全正，由于 A 的全部特征值就是 也都为正这就知A是正定矩阵.例6 若 A 是 n 阶正定矩阵，则 2.证 法一 A与2E都是n阶实对称正定矩阵，因此存在一n阶实可逆矩阵 P 使.由推论9可知其中入 (i=l，2，n)为 A 的特征值且大于零所以 +2(i=l，2，n) 为 A+2E 的特征值，也是大于零的.所以=( +2)( +2)( +2) 2. 法二 因为 A 与 2E 都是 n 阶实对称正定矩阵，由推论10，有 +2.推论11 A为n阶正定矩阵，B为2n阶非零半正定矩阵，则+. 证 由题意可知，存在实可逆阵P，使PAP=E，且PBP=，（d 0）所以所以+.推

16、论12 若 A 是 n 阶实对称正定矩阵，则必有 a0，a0,a0.证 根据定义，对一切 XO 皆有 XAX0，故依次令X=e，e，就有(e)AeO,即 a0(e)Ae0,即 a0.3 正定矩阵在三个不等式证明中的应用3.1 证明柯西不等式如果有一个正定的矩阵，我们通常可以设计出一个柯西不等式进而我们就有必要知道如何用正定矩阵证明柯西不等式(1)柯西不等式在中学里，我们就熟悉了如下的一个不等式 这就是著名的柯西不等式如果我们将上述不等式用内积的形式来表示，则可将它写成.(2)那如何用正定矩阵证明柯西不等式呢？如果有一个正定的矩阵，我们通常可以设计出一个柯西不等式进而我们就有必要知道正定矩阵与柯

17、西不等式的关系并应用正定矩阵证明柯西不等式.设A=(a )是一个n阶正定矩阵，则对任何向量=(x，x，x )与=(Y，Y，y)，定义 . 则可以证明由上式定义的一定是n维向量间的内积反之，对于n维向量问的任意一种内积，一定存在一个n阶正定矩阵A=(a)，使得对任何向量和，()可由(2)式来定义因此，给定了一个n阶正定矩阵，在n维向量间就可由该矩阵定义一个内积，从而可得到相应的柯西不等式.例7 证明不等式对所有实数x，x，x和y，y，y均成立证 从不等式来看，可知它相当于 其中()是由矩阵A= .所定义的，但要证明是内积还需证明A是个正定矩阵经验证该矩阵为正定矩阵从而可看出该不等式就是由A所确定

18、的内积所产生的柯西不等式，因此不等式成立.3.2 证明Holder不等式 设A为n阶正定矩阵，xR，易知，本节将其推广为更一般的形式，并以此为工具给出Holder不等式的一个新证明.定理 设A为n阶正定阵，x，r，s为任意正整数，则.证 对任一，令a=,则有a0，令,易见在上有最小值,由于A正定，故存在正交阵P使，其中,为A的特征值，于是,由于,故,从而,于是,将a的表达式代入上式左端并整理得,由此即得,即.证毕下面我们 利用以上结果证明Holder不等式.Holder不等式 设，并且，则.证 由常规的极限过渡法，不妨设 且p，q为有理数；由知必存在正整数r，s，使得.令 , 经简单运算得,于是由 得,即.3.3 证明Minkowski不等式引理1 设，都是阶正定实对称矩阵，p1且，则有. 引理2 设，（i=1，2,m）是nn阶实对称正定矩阵，0pn时，等式成立当且仅当；当