必修一高一数学指数函数和对数函数拔高(共7页)

1、 指数函数(zh sh hn sh)和对数函数(du sh hn sh)专题指数函数(zh sh hn sh)及其性质：要点一、指数函数的概念：函数y=ax(a0且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R.要点二、指数函数的图象及性质：y=ax0a1时图象图象性质定义域R，值域 （0，+）a0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点ax=a，即x=1时，y等于底数a在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数x1x0时，0ax1x0时，0ax0时，ax1 既不是奇函数，也不是偶函数要点诠释：指数函数与的图象关于轴对称。要点三、指数函数底数变化与图像分布规律（1）

2、则：0ba1dc又即：x(0,+)时， （底大幂大） x(,0)时，（2）特殊函数的图像：要点四、指数式大小比较方法化为同底数指数式，利用指数函数(zh sh hn sh)的单调性进行比较.比较法有作差比较与作商比较两种，其原理(yunl)分别为：若；当两个(lin )式子均为正值的情况下，可用作商法，判断，或即可【典型例题】类型一、函数的定义域、值域例1求下列函数的定义域、值域.(1)；(2)y=4x-2x+1；(3)；(4)(a为大于1的常数)举一反三：【变式1】求下列函数的定义域：(1) (2)(3) (4)例2讨论函数的单调性，并求其值域例3讨论函数的单调性举一反三：【变式1】求函数的

3、单调区间及值域.【变式2】求函数的单调区间.【总结升华】（1）研究(ynji)型的复合函数的单调性用复合法，比用定义(dngy)法要简便些，一般地有：即当a1时，的单调(dndio)性与的单调性相同；当0a1时，的单调与的单调性相反（2）研究型的复合函数的单调性，一般用复合法，即设，再由内函数与外函数的单调性来确定的单调性例4比较大小 (1) (2)22.5，(2.5)0， 举一反三：【变式1】比较大小： ，； 【变式2】 比较1.5-0.2， 1.30.7， 的大小. 【变式3】如果（，且），求的取值范围类型三、判断函数的奇偶性例5判断下列函数的奇偶性： (为奇函数)【总结升华】求的奇偶性，

4、可以先判断与的奇偶性，然后在根据奇奇=偶，偶偶=偶，奇偶=奇，得出的奇偶性类型四：指数函数的图象问题例6如图的曲线C1、C2、C3、C4是指数函数的图象，而，则图象C1、C2、C3、C4对应的函数的底数依次是_、_、_、_【总结升华】：在y轴的右边“底大图高”，在y轴的左边“底大图低” 例7若直线(zhxin)与函数(hnsh)（且）的图象(t xin)有两个公共点，则的取值范围是 【变式1】如图是指数函数，的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为（ ）Aab1cd Bba1dcC1abcd Dab1dc 例8确定方程的根的个数对数函数及其性质1对数函数的概念(1)定义：一般地，我们把函数yl

5、ogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，)(2)对数函数的特征：特征eq blcrc (avs4alco1(logax的系数：1,logax的底数：常数，且是不等于1的正实数,logax的真数：仅是自变量x)【例11】函数f(x)(a2a1)log(a1)x是对数函数，则实数a_2对数函数ylogax(a0，且a1)的图象与性质(1)图象与性质a10a1图象性质(1)定义域x|x0(2)值域y|yR(3)当x1时，y0，即过定点(1,0)(4)当x1时，y0；当0 x1时，y0(4)当x1时，y0；当0 x1时，y0(5)在(0，)上是增函数(5)在(0，)上

6、是减函数(2)指数函数与对数函数的性质比较解析式yax(a0，且a1)ylogax (a0，且a1)性质定义域R(0，)值域(0，)R过定点(0,1)(1,0)单调性单调性一致，同为增函数或减函数奇偶性奇偶性一致，都既不是奇函数也不是偶函数【例2】如图所示的曲线(qxin)是对数函数ylogax的图象(t xin)已知a从，中取值，则相应(xingyng)曲线C1，C2，C3，C4的a值依次为()A，B，C，D，点技巧 根据图象判断对数函数的底数大小的方法作直线y1，它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数，由此判断各底数的大小3反函数(1)对数函数的反函数指数函数yax(a0，且a1)与对数

7、函数ylogax(a0，且a1)互为反函数(2)互为反函数的两个函数之间的关系原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域；互为反函数的两个函数的图象关于直线yx对称求已知函数的反函数 一般步骤如下：由yf(x)解出x，即用y表示出x；把x替换为y，y替换为x；根据yf(x)的值域，写出其反函数的定义域【例31】若函数yf(x)是函数yax(a0，且a1)的反函数，且f(2)1，则f(x)()Alog2x BC D2x2【例32】函数f(x)3x(0 x2)的反函数的定义域为()A(0，) B(1,9C(0,1) D9，)【例33】若函数yf(x)的反函数图象过点(1,5)，则函数yf(x)的

8、图象必过点()A(5,1) B(1,5) C(1,1) D(5,5)4利用待定系数法求对数函数(du sh hn sh)的解析式及函数值【例41】已知f(ex)x，则f(5)()Ae5B5eCln 5Dlog5e【例42】已知对数函数(du sh hn sh)f(x)的图象(t xin)经过点，试求f(3)的值【例43】已知对数函数f(x)的反函数的图象过点(2,9)，且f(b)，试求b的值5对数型函数的定义域的求解(1)对数函数的定义域为(0，)(2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各

9、个方面都有意义一般地，判断类似于ylogaf(x)的定义域时，应首先保证f(x)0(3)求函数的定义域应满足以下原则：分式中分母不等于零；偶次根式中被开方数大于或等于零；指数为零的幂的底数不等于零；对数的底数大于零且不等于1；对数的真数大于零，如果在一个函数中数条并存，求交集【例5】求下列函数的定义域(1)ylog5(1x)；(2)ylog(2x1)(5x4)；(3)6对数型函数的值域的求解【例61】求下列函数的值域：(1)ylog2(x24)；(2)y【例62】已知f(x)2log3x，x1,3，求yf(x)2f(x2)的最大值及相应的x的值7对数函数的图象变换及定点问题对数函数ylogax

10、(a0，且a1)过定点(1,0)，即对任意的a0，且a1都有loga10这是解决与对数函数有关的函数图象问题的关键【例71】若函数yloga(xb)c(a0，且a1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b，c的值分别为_【例72】作出函数y|log2(x1)|2的图象8利用对数函数的单调性比较大小两个对数式的大小比较有以下几种情况：【例81】比较下列各组中两个值的大小log31.9，log32；(2)log23，log0.32；(3)loga，loga3.1419对数型函数单调(dndio)性的讨论(1)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键：一是看底数(dsh)是否大于1，当底数未明确给出时

11、，则应对底数a是否大于1进行(jnxng)讨论；二是运用复合法来判断其单调性；三是注意其定义域(2)关于形如ylogaf(x)一类函数的单调性，有以下结论：函数ylogaf(x)的单调性与函数uf(x)(f(x)0)的单调性，当a1时相同，当0a1时相反例如：求函数ylog2(32x)的单调区间【例101】求函数yloga(aax)的单调区间析规律 判断函数ylogaf(x)的单调性的方法函数ylogaf(x)可看成是ylogau与uf(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断需特别注意的是，在求复合函数的单调性时，首先要考虑函数的定义域，即“定义域优先”【例10

12、2】已知f(x)(x2axa)在上是增函数，求a的取值范围11对数型函数的奇偶性问题判断与对数函数有关的函数奇偶性的步骤是：(1)求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f(x)与f(x)或f(x)是否相等；(2)当f(x)f(x)时，此函数是偶函数；当f(x)f(x)时，此函数是奇函数；(3)当f(x)f(x)且f(x)f(x)时，此函数既是奇函数又是偶函数；(4)当f(x)f(x)且f(x)f(x)时，此函数既不是奇函数也不是偶函数例如，判断函数f(x)(xR，a0，且a1)的奇偶性【例11】已知函数f(x)(a0，且a1)(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶