2020版高考数学总复习第三章导数及其应用第17讲导数与函数的极值、最值练习文

1、第17讲导数与函数的极值、最值夯实基础【p41】【学习目标】会用导数求函数的极值和某闭区间上的最值【基础检测】1下列说法正确的是()A函数的极大值就是函数的最大值B函数的极小值就是函数的最小值C函数的最值一定是极值D闭区间上的连续函数一定存在最值【解析】结合本题构造一个具体函数，理解函数的极值点与最值点是不相同的两个概念如图所示，函数yf(x)在B、D处分别存在极值，其中B是极大值点，但不是最大值点，D是极小值点，但不是最小值点；C是最值点，但不是极值点闭区间上的连续函数一定存在最值【答案】D2下列函数中，既是奇函数又存在极值的是()Ayx3Byln(x)xCyxex2DyxD项，设f(x)y

2、x，则f(x)xf(x)，故为奇函数，【解析】A项，y3x20，在定义域上单调递增，没有极值；B项，yln(x)的定义域为(，0)，显然不是奇函数；C项，设f(x)yxex，则f(x)xexf(x)，不是奇函数；22xx2又y1x2，当x2时，y0，原函数在区间(，2)上递增，在区间(2，0)上递减，所以点(2，22)是一个极大值点，同理，点(2，22)是极小值点故D项正确【答案】D22f(x)x，令x0得x1，23例1已知函数f(x)x1(aR，e为自然对数的底数)，求函数f(x)的极值0，所以令f(x)3x2(a2a)x3xx222（a2a）2可得函数f(x)x(a2a)x4a的两个极值点

3、分别为x0，x，322413函数f(x)x2lnx的最小值为()1A.B1C0D不存在【解析】函数f(x)的定义域为(0，)，11xx当x(0，1)时，f(x)0，f(x)在(0，1)上递减；当x(1，)时，f(x)0，f(x)在(1，)上递增，1所以当x1时，f(x)取得最小值f(1).【答案】A4已知x0是函数f(x)(x2a)(x2a2x2a3)的极小值点，则实数a的取值范围是_【解析】因为f(x)x3(a22a)x24a4，32（a22a）32（a22a）由题意0，即a22a0，解之得a2.【答案】a2或a0，f(x)在R上单调递增，所以函数f(x)无极值当a0时，令f(x)0，得ex

4、a，即xlna.当x(，lna)时，f(x)0.所以f(x)在区间(，lna)上单调递减，在区间(lna，)上单调递增，故f(x)在xlna处取得极小值，且极小值为f(lna)lna，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，f(x)在xlna处取得极小值lna，无极大值【小结】含参函数的极值的讨论步骤：(1)求函数的定义域；(2)求导函数；(3)以导函数的零点存在性进行讨论；(4)当导数存在多个零点时，讨论它们的大小关系及与区间的位置关系；(5)画出导函数的同号函数的草图，从而判断其导函数的符号；(6)由上一步的草图，列出f(x)，f(x)随x变化的情况表，并写出函数的单调区间；

5、(7)综合上述讨论的情形，完整地写出函数的单调区间，从而可得极值考点2利用导数研究函数的最值x22xax1(1)当a时，求函数f(x)的最小值；(2)若对于任意x1，)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围1x22xa1【解析】(1)当a时，f(x)x2，x1，)12x212x2x2函数f(x)是增函数7当x1时，f(x)的最小值为.(2)对任意x1，)，f(x)0恒成立，x22xa即0对任意x1，)恒成立x22xa0对任意x1，)恒成立设g(x)x22xa，则g(x)2x2，当x1，)时，g(x)0，函数g(x)是增函数当x1时，g(x)取得最小值3a，由题意得3a0，a3.【小结】求函数

6、在无穷区间(或开区间)上的最值的方法：求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，例3已知函数f(x)ax3lnx，其中a为常数(1)当函数f(x)的图象在点，f处的切线的斜率为1时，求函数f(x)在，3上的2323xx2并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值考点3函数的极值与最值的综合应用2x2233最小值；(2)若函数f(x)在区间(0，)上既有极大值又有极小值，求a的取值范围23【解析】(1)f(x)ax2x，fa1，2（x1）（x2）故f(x)x3lnx，则f(x).由f(x)0得x1或x2.当x变化时，f(x)，f

7、(x)的变化情况如下表：32，2xf(x)3220(2，3)3f(x)13ln232(2)f(x)a2(x0)，从而在，3上，f(x)有最小值，且最小值为f(2)13ln2.23ax23x2xxx2由题设可得方程ax23x20有两个不等的正实根，不妨设这两个根为x1，x2，并令h(x)ax23x2，2axx20a则398a0，98a0，xx12a0，或30，解得0a9.8h（0）0，1298故所求a的取值范围为0，.【小结】求函数f(x)在a，b上的最大值和最小值3步骤：(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f

8、(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值【能力提升】e111当0tG(x)minG2ln2时，x1，x2存在，且x2x1的值随a的增大而增大而当x2x1ln2时，由题意得lnx22x2a10.x两式相减可得ln22(x2x1)2ln2，得x24x1，4代入x2x1ln2得x24x13ln2，此时实数aln2ln所以实数a的取值范围为aln2ln方法总结【p42】21a1求函数的极值可分为以下几步：求出可疑点，即f(x)0的解x0与不可导的点；用求极值的方法确定极值；计算求值2函数的最值连续函数f(x)在闭区间a，b上必有最大值与最小值；最值的求法：先求f(x)在(a，b)上的极值

9、，再将各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值3极值与最值的区别和联系函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的整体情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较；函数的极值不一定是最值，须与端点函数值作比较方可确定是否为最值；如果连续函数在区间a，b内只有一个极值(单峰函数)，则极大值即是a，b上的最大值，极小值即是a，b上的最小值走进高考【p42】1(2018北京)设函数f(x)ax2(3a1)x3a2ex.(1)若曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线斜率为0，求a；(2)若f(x)在x1处取得极小值，求a

10、的取值范围【解析】(1)因为f(x)ax2(3a1)x3a2ex，所以f(x)ax2(a1)x1ex.f(2)(2a1)e2，1由题设知f(2)0，即(2a1)e20，解得a.(2)方法一：由(1)得f(x)ax2(a1)x1ex(ax1)(x1)ex.若a1，则当x，1时，f(x)0.所以f(x)在x1处取得极小值若a1，则当x(0，1)时，ax1x10.所以1不是f(x)的极小值点综上可知，a的取值范围是(1，)方法二：f(x)(ax1)(x1)ex.当a0时，令f(x)0得x1.f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：xf(x)f(x)(，1)10极大值(1，)f(x)在x1处取得极大值，不合题意1当a0时，令f(x)0得x1a，x21.当x1x2，即a1时，f(x)(x1)2ex0，f(x)在R上单调递增，f(x)的无极值，不合题意当x1x2，即0a1时，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(，1)11a1，1a，1af(x)00f(x)极大值极小值f(x)在x1处取得极大值，不合题意当x11时，f(x)，f(x)随x