7 力矩分配法 --结构力学

1、第7章 力矩分配法 Moment Distribution Method中国地质大学(北京)结构力学课程系列七 工程技术学院土木教研室主要内容:9-1 力矩分配法的根本概念9-2 力矩分配法计算连续梁和无结 点线位移刚架9-3 超静定结构超静定结构小结91 力矩分配法的根本概念一、转动刚度：使A端旋转单位角度时，在A端需加的力矩称为AB 杆在A 端的转动刚度。表示：SABABMAB=1=1lABSAB=1lABSAB=1lABSAB=1lSAB 与 i 和远端支承情况有关，i SAB 。SAB 表示杆端抵抗转动的能力。力矩分配法14532M二、分配系数：力矩平衡方程：1力矩分配法汇交于结点1的

2、各杆在1端转动刚度之和力矩分配法下标 j 为汇交于1点的各杆之远端，j2、3、4、5各杆在1端的弯矩与该杆在1端的转动刚度成正比。各杆在1端的弯矩等于外力矩乘上一个相应的系数 1j分配系数。下标 i 为近端、j 为汇交于 i 点的各杆之远端。力矩分配法各杆的分配弯矩 Mij各杆在i端的分配系数之和等于1。校核分配系数的计算是否正确？力矩分配法三、传递系数：传递系数：远端弯矩与近端转动端弯矩的比值称为近端向远端的传递系数，简称传递系数。用Cij表示。传递弯矩：远端弯矩力矩分配法14532M1远端固定：远端铰支： 定向支承：力矩分配法四、力矩分配法的概念ABCP1P2EIEIMABMBAMBCMC

3、BABCP1P2EIEIMBMABMBAMBCMCBFFFFBMBMBAFMBCF杆端弯矩：MABMBAMBCMCB固端弯矩：MABFMBAFMBCFMCBF约束反力矩：MB点B的平衡条件：MBAFMBCFMB 不平衡力矩：MB顺时钟为正。力矩分配法在连续梁的B结点，本来没有转动约束，也没有不平衡力矩作用，因此固端弯矩并不是构件实际状态下的杆端变矩。修正放松B处的约束ABCP1P2EIEIMBMABMBAMBCMCBMCBMBAMBCMAB分配弯矩：传递弯矩：杆端弯矩固端弯矩分配弯矩传递弯矩按各杆的分配系数求出近端弯矩近端弯矩乘以传递系数求远端弯矩力矩分配法力矩分配法五、单结点力矩分配法的解题

4、步骤及举例步骤：1在刚结点处加上附加刚臂，使原结构成为单跨静定梁的组合体，计算分配系数。结构处于锁住状态2计算杆端的固端弯矩，求结点不平衡力矩。3将不平衡力矩反号后，按分配系数、传递系数进行分配、传递。将锁住的结点放松4将各杆的固端弯矩、分配弯矩和传递弯矩相加求得各杆的最后弯矩。5绘内力图。力矩分配法例1：用力矩分配法计算图示连续梁，作弯矩图。ABC40KN16KN/mEIEI3m3m3m解：1计算B结点处各杆的分配系数1. 分配系数0.40.6力矩分配法2计算各杆固端弯矩及结点不平衡力矩P111表51ABC40KN16KN/mEIEI3m3m3m1.分配系数0.40.62.固端弯矩 -30

5、30-18 0力矩分配法3计算分配弯矩和传递弯矩ABC40KN16KN/mEIEI3m3m3m1.分配系数0.40.62.固端弯矩 -30 30-18 03.分配弯矩 传递弯矩 4.8 -2.4 -7.2 0力矩分配法4最后弯矩ABC40KN16KN/mEIEI3m3m3m1.分配系数0.40.62.固端弯矩 -30 30-18 03.分配弯矩 传递弯矩 4.8 -2.4 -7.2 04 .最后弯矩32.4 25.2-25.2 0检验：力矩分配法5作弯矩图ABC40KN16KN/mEIEI3m3m3m4 .最后弯矩32.4 25.2-25.2 0ABC32.425.26018M图：KNm力矩分

6、配法例2：用力矩分配法计算图示刚架，作弯矩图。解：1计算B结点处各杆的分配系数ABC100KN40KN/mDi=24m2.5m4m2.5mi=2i=1.5力矩分配法2计算固端弯矩及结点B的不平衡力矩P111表51ABC100KN40KN/mDi=24m2.5m4m2.5mi=2i=1.5力矩分配法3计算分配弯矩和传递弯矩ABC100KN40KN/mDi=24m2.5m4m2.5mi=2i=1.5力矩分配法4最后弯矩结点ABCD杆端ABBABDBCCBDB分配系数0.30.40.3检验：力矩分配法最后弯矩074.75-7-67.7559.8753.5固端弯矩 0800-62.562.50分配、传

7、递弯矩 0-5.25-7-5.25-2.6253.5 5作弯矩图结点ABCD杆端ABBABDBCCBDB最后弯矩074.75-7-67.7559.8753.5ABC100KN40KN/mDi=24m2.5m4m2.5mi=2i=1.5774.75125C80M图：KNmABCD67.7559.8753.5力矩分配法小结当结构只有一个刚结点时，且结点只能转动时用力矩分配法可得到精确的解答。用力矩分配法计算超静定结构时，关于杆端弯矩和角位移的正负号规定与位移法相同。力矩分配法的关键是求杆端弯矩，分两部进行：1分配弯矩近端弯矩。2传递弯矩远端弯矩。计算分配弯矩时用不平衡力矩的相反数MB。 力矩分配法

8、92 力矩分配法计算连续梁和无结点线位移刚架一、力矩分配法计算连续梁：ABC40KN15KN/mi=23m3m4m30KNi=3i=4D4m8m当结构具有多个刚结点，且结点只能转动时，逐次对每个节点运用单结点力矩分配法计算，可得到各杆的杆端弯矩。1. 在各结点按各杆的转动刚度计算其分配系数ABC40KN15KN/mi=23m3m4m30KNi=3i=4D4m8m力矩分配法2. 计算各杆的固端弯矩及各结点不平衡力矩(表51ABC40KN15KN/mi=23m3m4m30KNi=3i=4D4m8m力矩分配法逐次循环放松各结点使弯矩平衡： 将所计算结点的不平衡力矩反号后，按分配系数分配给该结点的各杆

9、端，求出分配弯矩。 再将分配弯矩乘以传递系数，求出远端的传递弯矩。 将此步骤循环运用，直到不平衡弯矩小到可以忽略不计为止。先放松不平衡力矩绝对值较大的结点B。计算方法与单结点力矩分配法相同。力矩分配法ABC40KN15KN/mi=23m3m4m30KNi=3i=4D4m8m分配系数0.40.6 0.50.5力矩分配法C结点一次分配、 传递-12.5 -25-25 0固端弯矩 -30 30-80 80-45 0B结点一次分配、 传递10 20 30 15 分配系数0.40.6 0.50.5固端弯矩 -30 30-80 80-45 0B结点一次分配、 传递10 20 30 15 C结点一次分配、

10、传递-12.5 -25-25 0力矩分配法C结点三次分配-0.094-0.094 B结点二次分配、 传递2.5 5 7.5 3.75 C结点二次分配、 传递-0.938 1.875-1.875 0B结点三次分配、 传递0.188 0.375 0.563 0.188 4. 最后弯矩：将各杆端的固端弯矩与历次分配弯矩和传递弯矩相加得到杆端的最后弯矩。固端弯矩 -30 30-80 80-45 0B一次分传10 20 30 15 C一次分传-12.5 -25-25 0B二次分传2.5 5 7.5 3.75 C二次分传-0.938 1.875-1.875 0B三次分传0.188 0.375 0.563

11、0.188 C三次分配-0.094-0.094 力矩分配法杆 端 AB BABC CBCD DC最后弯矩-17.31 55.38-55.38 71.97-71.97 05. 作弯矩图ABC40KN15KN/mi=23m3m4m30KNi=3i=4D4m8m最后弯矩-17.31 55.38-55.38 71.97-71.97 0ACBD17.3155.3871.976060120( KNm )力矩分配法讨论力矩分配法的计算过程是依次放松各结点以消去结点上出现的不平衡力矩，求得各杆端弯矩的修正值，使结点上出现的不平衡力矩逐渐减小，直至可以忽略，所以它是一种渐近法。为了使计算收敛较快，通常从不平衡力

12、矩绝对值较大的结点开始计算。多结点力矩分配，实际上是重复进行单结点力矩分配的根本运算。 力矩分配法例1：用力矩分配法计算图示连续梁，作弯矩图。ABC30KN15KN/mi=14m2m3m20KNi=1i=2D3m6m2mE15KN15KNE15KNABC30KN15KN/mi=14m2m3m20KNi=1i=2D3m6m15KN30KNm解：力矩分配法1. 计算其分配系数，并确定其传递系数。ABC30KN15KN/mi=14m2m3m20KNi=1i=2D3m6m15KN30KNm力矩分配法2. 计算各杆的固端弯矩及各结点不平衡力矩ABC30KN15KN/mi=14m2m3m20KNi=1i=

13、2D3m6m15KN30KNm力矩分配法3. 逐次循环放松各结点，求分配弯矩、传递弯矩。ABC30KN15KN/mi=14m2m3m20KNi=1i=2D3m6m15KN30KNm固端弯矩 -13.33 26.67-45 45-7.5 30力矩分配法分配系数0.50.5 0.40.6B一次分、传6.46 12.9212.92 6.46C一次分、传-7.5 -15-22.5 0分配系数0.50.5 0.40.6固端弯矩 -13.33 26.67-45 45-7.5 30C一次分、传-7.5 -15-22.5 0B一次分、传6.46 12.9212.92 6.46力矩分配法杆 端 AB BABC

14、CBCD DCC三次分、传 -0.13-0.20 0B二次分、传0.33 0.650.65 0.33C二次分、传-1.29 -2.58-3.88 04. 最后弯矩：分配系数0.50.5 0.40.6固端弯矩 -13.33 26.67-45 45-7.5 30C一次分、传-7.5 -15-22.5 0B一次分、传6.46 12.9212.92 6.46C二次分、传-1.29 -2.58-3.88 0B二次分、传0.33 0.650.65 0.33C三次分配 -0.13-0.20 0力矩分配法杆 端 AB BABC CBCD DC最后弯矩-6.5 40.2-40.2 34.1-34.1 305.

15、作弯矩图ABC30KN15KN/mi=14m2m3m20KNi=1i=2D3m6m2mE15KNABCDE6.540.234.1303067.540( KNm )最后弯矩-6.5 40.2-40.2 34.1-34.1 30-30力矩分配法例2：用力矩分配法计算图示连续梁，作弯矩图。E=2104KN/cm2, I=40000cm4 .ABC0.75EI6m2cmD6m8m1.5EIEI =0.125EI =0.1875EI i=EI/6力矩分配法1. 计算其分配系数，并确定其传递系数。ABC0.75EI6m2cmD6m8m1.5EIEI力矩分配法2. 计算各杆的固端弯矩及各结点不平衡力矩ABC

16、0.75EI6m2cmD6m8m1.5EIEI力矩分配法3. 逐次循环放松各结点，求分配弯矩、传递弯矩。ABC0.75EI6m2cmD6m8m1.5EIEI分配系数0.40.6 0.60.4固端弯矩 0 0-236.3 -236.3140 0力矩分配法B一次分、传47.3 94.5141.8 70.9C一次分、传7.6 15.210.2 0ABC0.75EI6m2cmD6m8m1.5EIEI分配系数0.40.6 0.60.4固端弯矩 0 0-236.3 -236.3140 0B一次分、传47.3 94.5141.8 70.9C一次分、传7.6 15.210.2 0力矩分配法C三次分配 0.10

17、.1 0B三次分、传-0.2 -0.3-0.4 -0.2C二次分、传0.7 1.40.9 0B二次分、传-1.5 -3.0-4.6 -2.3ABC0.75EI6m2cmD6m8m1.5EIEI4. 最后弯矩：分配系数0.40.6 0.60.4固端弯矩 0 0-236.3 -236.3140 0B一次分、传47.3 94.5141.8 70.9C一次分、传7.6 15.210.2 0B二次分、传-1.5 -3.0-4.6 -2.3C二次分、传0.7 1.40.9 0B三次分、传-0.2 -0.3-0.4 -0.2C三次分、传 0.10.1 0力矩分配法最后弯矩45.6 91.2 -91.2 -1

18、51.2 151.2 05. 作弯矩图ABC0.75EI6m2cmD6m8m1.5EIEIABCD45.691.2151.2( KNm )最后弯矩45.6 91.2 -91.2 -151.2 151.2 0力矩分配法二、力矩分配法计算无侧移刚架：ABC100KN12KN/mD2m2m4m4mE力矩分配法1. 在各结点按各杆的转动刚度计算其分配系数，并确定其传递系数。2. 计算各杆的固端弯矩及各结点不平衡力矩。3. 逐次循环放松各结点使弯矩平衡，即将所计算结点的不平衡力矩反号后，按分配系数分配给该结点的各杆端，求出分配弯矩。再将分配弯矩乘以传递系数，求出远端的传递弯矩。将此步骤循环运用，直到不平

19、衡弯矩小到可以忽略不计为止。4. 最后弯矩：将各杆端的固端弯矩与历次分配弯矩和传递弯矩相加得到杆端的最后弯矩。5. 作弯矩图力矩分配法解：1. 计算分配系数。ABC100KN12KN/mD2m2m4m4mE例3：用力矩分配法计算图示刚架，作弯矩图。EI=常数力矩分配法2. 计算各杆的固端弯矩及各结点不平衡力矩ABC100KN12KN/mD2m2m4m4mE力矩分配法3. 逐次循环放松各结点，求分配弯矩、传递弯矩。ABC100KN12KN/mD2m2m4m4mE力矩分配法结点ABCED杆端ABBA BCCB CD CEECDC力矩分配法B三次分配-0.01 -0.01C二次分传0.020.05

20、0.04 0.01-0.01B二次分传-0.10-0.19 -0.19 -0.10C一次分传 0.380.75 0.56 0.19-0.190B一次分传12.525 25 12.5固端弯矩 00 -5050 0 -64-320分配系数0.5 0.50.5 0.375 0.1254. 最后弯矩：结点ABCED杆端ABBA BCCB CD CEECDC分配系数0.5 0.50.5 0.375 0.125固端弯矩 00 -5050 0 -64-320B一次分传12.525 25 12.5C一次分传 0.380.75 0.56 0.19-0.190B二次分传-0.10-0.19 -0.19 -0.10

21、C二次分传0.020.05 0.04 0.01-0.01B三次分配-0.01 -0.01力矩分配法最后弯矩12.424.8 -24.863.2 0.6 -63.8-32.205. 作弯矩图ABC100KN12KN/mD2m2m4m4mEABCDE12.424.863.263.832.21000.6杆端ABBA BCCB CD CEECDC最后弯矩12.424.8 -24.863.2 0.6 -63.8-32.20力矩分配法93 超静定结构小结一、静定结构的内力 只用静力平衡条件即可确定，内力值与结构的材料性质和截面尺寸无关。超静定结构的内力和全部支座反力仅用平衡条件不能确定，还必须考虑变形条件才能全部确定。所以超静定结构的内力与结构的材料性质及截面形状尺寸有关。在载荷作用下，超静定结构