北京北大附中2022年高三第二次联考数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1执行下面的程序框图，如果输入，则计算机输出的数是（ ）ABCD2将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则“”是“是偶函数”的（ ）A充分不必要条件B必要不充

2、分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3定义：表示不等式的解集中的整数解之和.若，则实数的取值范围是ABCD4已知集合，则中元素的个数为( )A3B2C1D05阅读下面的程序框图，运行相应的程序，程序运行输出的结果是（ ）A11B1C29D286中，角的对边分别为，若，则的面积为（ ）ABCD7已知为虚数单位，若复数，则ABCD8设，则（ ）ABCD9已知双曲线的左、右焦点分别为，P是双曲线E上的一点，且.若直线与双曲线E的渐近线交于点M，且M为的中点，则双曲线E的渐近线方程为( )ABCD10已知平面向量，满足：，则的最小值为( )A5B6C7D811已知数列 是公比为 的等比数列，且

3、， ， 成等差数列，则公比 的值为（ ）ABC 或 D 或 12各项都是正数的等比数列的公比，且成等差数列，则的值为()ABCD或二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相切于点，是上一点(不与重合)，若以线段为直径的圆恰好经过，则点到抛物线顶点的距离的最小值是_.14已知向量满足，且，则 _15某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是_cm2，体积是_cm3.16若满足约束条件，则的最大值为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）设抛物线的焦点为，准线为，为过焦点且垂直于轴的抛物线的弦，已知

4、以为直径的圆经过点.（1）求的值及该圆的方程；（2）设为上任意一点，过点作的切线，切点为，证明：.18（12分）已知等差数列满足，.（l）求等差数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.19（12分）选修4-5：不等式选讲设函数f(x)=|x-a|,a0（1） 证明:f(x)+f(-1x)2；（2）若不等式f(x)+f(2x)12的解集非空，求a的取值范围20（12分）甲、乙两班各派三名同学参加知识竞赛，每人回答一个问题，答对得10分，答错得0分，假设甲班三名同学答对的概率都是，乙班三名同学答对的概率分别是，且这六名同学答题正确与否相互之间没有影响（1）记“甲、乙两班总得分之和是60分”为事件

5、，求事件发生的概率；（2）用表示甲班总得分，求随机变量的概率分布和数学期望21（12分）已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：.22（10分）如图，在矩形中，点是边上一点，且，点是的中点，将沿着折起，使点运动到点处，且满足.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1B【解析】先明确该程序框图的功能是计算两个数的最大公约数，再利用辗转相除法计算即可.【详解】本程序框图的功能是计算，中的最大公约数，所以，故当输入，则计算机输出的数是57.故选：B.【点睛】本题考查

6、程序框图的功能，做此类题一定要注意明确程序框图的功能是什么，本题是一道基础题.2A【解析】求出函数的解析式，由函数为偶函数得出的表达式，然后利用充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】将函数的图象沿轴向左平移个单位长度，得到的图象对应函数的解析式为，若函数为偶函数，则，解得，当时，.因此，“”是“是偶函数”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用图象变换求三角函数解析式以及利用三角函数的奇偶性求参数，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题.3D【解析】由题意得，表示不等式的解集中整数解之和为6.当时，数形结合（如图）得的解集中的整数解有无数多个，解集

7、中的整数解之和一定大于6.当时，数形结合（如图），由解得.在内有3个整数解，为1，2，3，满足，所以符合题意.当时，作出函数和的图象，如图所示. 若，即的整数解只有1，2，3.只需满足，即，解得，所以.综上，当时，实数的取值范围是.故选D.4C【解析】集合表示半圆上的点，集合表示直线上的点，联立方程组求得方程组解的个数，即为交集中元素的个数.【详解】由题可知：集合表示半圆上的点，集合表示直线上的点，联立与，可得，整理得，即，当时，不满足题意；故方程组有唯一的解.故.故选：C.【点睛】本题考查集合交集的求解，涉及圆和直线的位置关系的判断，属基础题.5C【解析】根据程序框图的模拟过程，写出每执行一

8、次的运行结果，属于基础题.【详解】初始值， 第一次循环：，；第二次循环：，；第三次循环：，；第四次循环：，；第五次循环：，；第六次循环：，；第七次循环：，；第九次循环：，；第十次循环：，；所以输出.故选：C【点睛】本题考查了循环结构的程序框图的读取以及运行结果，属于基础题.6A【解析】先求出，由正弦定理求得，然后由面积公式计算【详解】由题意，由得，故选：A【点睛】本题考查求三角形面积，考查正弦定理，同角间的三角函数关系，两角和的正弦公式与诱导公式，解题时要根据已知求值要求确定解题思路，确定选用公式顺序，以便正确快速求解7B【解析】由可得，所以，故选B8C【解析】试题分析：，故C正确考点：复合函

9、数求值9C【解析】由双曲线定义得，OM是的中位线，可得，在中，利用余弦定理即可建立关系，从而得到渐近线的斜率.【详解】根据题意，点P一定在左支上.由及，得，再结合M为的中点，得，又因为OM是的中位线，又，且，从而直线与双曲线的左支只有一个交点.在中.由，得. 由，解得，即，则渐近线方程为.故选：C.【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程，涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识，是一道中档题.10B【解析】建立平面直角坐标系，将已知条件转化为所设未知量的关系式，再将的最小值转化为用该关系式表达的算式，利用基本不等式求得最小值.【详解】建立平面直角坐标系如下图所示，设，且，由于，所以.所以，即.当且仅当

10、时取得最小值，此时由得，当时，有最小值为，即，解得.所以当且仅当时有最小值为.故选：B【点睛】本小题主要考查向量的位置关系、向量的模，考查基本不等式的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.11D【解析】由成等差数列得，利用等比数列的通项公式展开即可得到公比q的方程.【详解】由题意，2aq2=aq+a，2q2=q+1，q=1或q= 故选：D【点睛】本题考查等差等比数列的综合，利用等差数列的性质建立方程求q是解题的关键，对于等比数列的通项公式也要熟练12C【解析】分析：解决该题的关键是求得等比数列的公比，利用题中所给的条件，建立项之间的关系，从而得到公比所满足的等量关系式，解方程即可得结果.

11、详解：根据题意有，即，因为数列各项都是正数，所以，而，故选C.点睛：该题应用题的条件可以求得等比数列的公比，而待求量就是，代入即可得结果.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】根据抛物线，不妨设，取 ，通过求导得， ，再根据以线段为直径的圆恰好经过，则 ，得到，两式联立，求得点N的轨迹，再求解最值.【详解】因为抛物线，不妨设，取 ，所以，即，所以 ，因为以线段为直径的圆恰好经过，所以 ，所以，所以，由 ，解得，所以点在直线 上，所以当时， 最小，最小值为.故答案为：2【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系直线的交轨问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.14【解析】

12、由数量积的运算律求得，再由数量积的定义可得结论【详解】由题意，即，故答案为：【点睛】本题考查求向量的夹角，掌握数量积的定义与运算律是解题关键1520+45，8.【解析】试题分析：由题意得，该几何体为三棱柱，故其表面积S=21242+22+42+225=20+45，体积V=12422=8，故填：20+45，8.考点：1.三视图；2.空间几何体的表面积与体积.164【解析】作出可行域如图所示：由，解得.目标函数，即为，平移斜率为-1的直线，经过点时，.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1），圆的方程为：.（2）答案见解析【解析】（1）根据题意，可知点的坐标为，即可

13、求出的值，即可求出该圆的方程；（2）由题易知，直线的斜率存在且不为0，设的方程为，与抛物线联立方程组，根据，求得，化简解得，进而求得点的坐标为，分别求出，利用向量的数量积为0，即可证出.【详解】解：（1）易知点的坐标为，所以，解得.又圆的圆心为，所以圆的方程为.（2）证明易知，直线的斜率存在且不为0，设的方程为，代入的方程，得.令，得，所以，解得.将代入的方程，得，即点的坐标为.所以，.故.【点睛】本题考查抛物线的标准方程和圆的方程，考查直线和抛物线的位置关系，利用联立方程组、求交点坐标以及向量的数量积，考查解题能力和计算能力.18 (1)；(2).【解析】试题分析：（1）设等差数列满的首项为

14、，公差为，代入两等式可解。（2）由（1），代入得，所以通过裂项求和可求得。试题解析：（1）设等差数列的公差为，则由题意可得，解得.所以.（2）因为，所以.所以 .19 (1)见解析.(1) (-1,0).【解析】试题分析：（1）直接计算f(x)+f(-1x)=|x-a|+|1x+a|，由绝对值不等式的性质及基本不等式证之即可；（1）f(x)+f(2x)=|x-a|+|2x-a|，分区间讨论去绝对值符号分别解不等式即可.试题解析： （1）证明：函数f（x）=|xa|，a2，则f（x）+f（）=|xa|+|a|=|xa|+|+a|（xa）+（+a）|=|x+|=|x|+1=1（1）f（x）+f（1

15、x）=|xa|+|1xa|，a2当xa时，f（x）=ax+a1x=1a3x，则f（x）a；当ax时，f（x）=xa+a1x=x，则f（x）a；当x时，f（x）=xa+1xa=3x1a，则f（x）则f（x）的值域为，+）.不等式f（x）+f（1x）的解集非空，即为，解得，a1，由于a2，则a的取值范围是(-1,0)考点：1.含绝对值不等式的证明与解法.1.基本不等式.20（1）（2）分布列见解析，期望为20【解析】利用相互独立事件概率公式求解即可;由题意知,随机变量可能的取值为0，10，20，30,分别求出对应的概率,列出分布列并代入数学期望公式求解即可.【详解】（1）由相互独立事件概率公式可得

16、, （2）由题意知,随机变量可能的取值为0，10，20，30.，,所以，的概率分布列为0102030所以数学期望.【点睛】本题考查相互独立事件概率公式和离散型随机变量的分布列及其数学期望;考查运算求解能力;确定随机变量可能的取值,求出对应的概率是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.21（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）求得的导函数，对分成两种情况，讨论的单调性.（2）由（1）判断出的取值范围，根据韦达定理求得的关系式，利用差比较法，计算，通过构造函数，利用导数证得，由此证得，进而证得不等式成立.【详解】（1）.当时，此时在上单调递减；当时，由解得或，是增函数，此时在和单调递减，在单调递增.（2）由（1）知.，不妨设，令，在上是减函数，即.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.22（1）见解析；（2）【解析】（1）取的中点，连接，由，进而，由，得. 进而平面,进而结论可得证（2）（方法一）过点作的平行线交于点，以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面平面的法向量，由二面角公式求解即可（方法二）取的中点，上的点，使，连接，得，得二面角的平面角为，再求解即可【详解】（1）证明：取的中点，连接，由已知得，所以，又点是的