北京石景山北京市2022年高三最后一卷数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若（），则（ ）A0或2B0C1或2D12已知函数的图像上有且仅有四个不同的关于直线对称的点在的图像上，则的取值范围是( )ABCD3设 ,则()A10B11C12D134已知数列

2、中， ，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD5设集合，则 ()ABCD6已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD7若函数的定义域为Mx|2x2，值域为Ny|0y2,则函数的图像可能是（ ）ABCD8已知函数与的图象有一个横坐标为的交点，若函数的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍后，得到的函数在有且仅有5个零点，则的取值范围是( )ABCD9由曲线围成的封闭图形的面积为（ ）ABCD10执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出属于（ ）ABCD11设曲线在点处的切线方程为，则（ ）A1B2C3D412已知圆M:x2+y2-2ay=0a0截直

3、线x+y=0所得线段的长度是22，则圆M与圆N:x-12+y-12=1的位置关系是（ ）A内切B相交C外切D相离二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若函数在区间上恰有4个不同的零点，则正数的取值范围是_.14已知集合，则_.15若，则_.16若点在直线上，则的值等于_ .三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为和，右顶点为，且，短轴长为.（1）求椭圆的方程；（2）若过点作垂直轴的直线，点为直线上纵坐标不为零的任意一点，过作的垂线交椭圆于点和，当时，求此时四边形的面积.18（12分）在平面直角坐标系xOy中，以O

4、为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为；直线l的参数方程为（t为参数）.直线l与曲线C分别交于M，N两点.（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若点P的极坐标为，求的值.19（12分）第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项.共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技.前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民.武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，

5、在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下：组别频数5304050452010（1）若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设，分别为这200人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），求，的值（，的值四舍五入取整数），并计算；（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于的可以获得1次抽奖机会，得分不低于的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A的概率为，抽中价值为30元的纪念品B的概率为.现有市

6、民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额.（参考数据：；.）20（12分）已知函数的定义域为，且满足，当时，有，且.（1）求不等式的解集；（2）对任意，恒成立，求实数的取值范围.21（12分）如图，在直三棱柱中，D，E分别为AB，BC的中点.（1）证明：平面平面；（2）求点到平面的距离.22（10分）在直角坐标系中，曲线的标准方程为.以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求直线的直角坐标方程；（2）若点在曲线上，点在直线上，求的最小值.参考答案一、选择题：本题共12小

7、题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1A【解析】利用复数的模的运算列方程，解方程求得的值.【详解】由于（），所以，解得或.故选：A【点睛】本小题主要考查复数模的运算，属于基础题.2D【解析】根据对称关系可将问题转化为与有且仅有四个不同的交点；利用导数研究的单调性从而得到的图象；由直线恒过定点，通过数形结合的方式可确定；利用过某一点曲线切线斜率的求解方法可求得和，进而得到结果.【详解】关于直线对称的直线方程为：原题等价于与有且仅有四个不同的交点由可知，直线恒过点当时，在上单调递减；在上单调递增由此可得图象如下图所示：其中、为过点的曲线的两条切线，切点分别

8、为由图象可知，当时，与有且仅有四个不同的交点设，则，解得：设，则，解得：，则本题正确选项：【点睛】本题考查根据直线与曲线交点个数确定参数范围的问题；涉及到过某一点的曲线切线斜率的求解问题；解题关键是能够通过对称性将问题转化为直线与曲线交点个数的问题，通过确定直线恒过的定点，采用数形结合的方式来进行求解.3B【解析】根据题中给出的分段函数，只要将问题转化为求x10内的函数值，代入即可求出其值【详解】f（x），f（5）ff（1）f（9）ff（15）f（13）1故选：B【点睛】本题主要考查了分段函数中求函数的值，属于基础题4B【解析】先根据题意，对原式进行化简可得，然后利用累加法求得，然后不等式恒成

9、立转化为恒成立，再利用函数性质解不等式即可得出答案.【详解】由题，即 由累加法可得： 即对于任意的，不等式恒成立即 令 可得且即 可得或故选B【点睛】本题主要考查了数列的通项的求法以及函数的性质的运用，属于综合性较强的题目，解题的关键是能够由递推数列求出通项公式和后面的转化函数，属于难题.5B【解析】直接进行集合的并集、交集的运算即可【详解】解：； 故选：B【点睛】本题主要考查集合描述法、列举法的定义，以及交集、并集的运算，是基础题.6B【解析】由题意可知函数为上为减函数，可知函数为减函数，且，由此可解得实数的取值范围.【详解】由题意知函数是上的减函数，于是有，解得，因此，实数的取值范围是故选

10、：B.【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数，一般要分析每支函数的单调性，同时还要考虑分段点处函数值的大小关系，考查运算求解能力，属于中等题.7B【解析】因为对A不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除；对B满足函数定义，故符合；对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定；对D因为值域当中有的元素没有原象，故可否定故选B8A【解析】根据题意，求出，所以，根据三角函数图像平移伸缩，即可求出的取值范围.【详解】已知与的图象有一个横坐标为的交点，则，若函数图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍， 则，所以当时，在有且仅有5个零点， ，.故选：A.

11、【点睛】本题考查三角函数图象的性质、三角函数的平移伸缩以及零点个数问题，考查转化思想和计算能力.9A【解析】先计算出两个图像的交点分别为，再利用定积分算两个图形围成的面积.【详解】封闭图形的面积为.选A.【点睛】本题考察定积分的应用，属于基础题.解题时注意积分区间和被积函数的选取.10B【解析】由题意，框图的作用是求分段函数的值域，求解即得解.【详解】由题意可知，框图的作用是求分段函数的值域，当；当综上：.故选：B【点睛】本题考查了条件分支的程序框图，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.11D【解析】利用导数的几何意义得直线的斜率，列出a的方程即可求解【详解】因为，且在点

12、处的切线的斜率为3，所以，即.故选：D【点睛】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题12B【解析】化简圆M:x2+(y-a)2=a2M(0,a),r1=aM到直线x+y=0的距离d=a2 (a2)2+2=a2a=2M(0,2),r1=2，又N(1,1),r2=1|MN|=2|r1-r2|MN| |r1+r2|两圆相交. 选B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13；【解析】求出函数的零点，让正数零点从小到大排列，第三个正数零点落在区间上，第四个零点在区间外即可【详解】由，得， ，解得故答案为：【点睛】本题考查函数的零点，根据正弦函数性质求出函数零点，然后题意，把正数零点

13、从小到大排列，由于0已经是一个零点，因此只有前3个零点在区间上由此可得的不等关系，从而得出结论，本题解法属于中档题14【解析】利用交集定义直接求解【详解】解：集合奇数，偶数，故答案为：【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题15【解析】由已知利用两角差的正弦函数公式可得，两边平方，由同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可计算得解【详解】，得，在等式两边平方得，解得.故答案为：.【点睛】本题主要考查了两角差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题16【解析】根据题意可得，再

14、由，即可得到结论.【详解】由题意，得，又，解得，当时，则，此时；当时，则，此时，综上，.故答案为：.【点睛】本题考查诱导公式和同角的三角函数的关系，考查计算能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）（2）【解析】（1）依题意可得，解方程组即可求出椭圆的方程；（2）设，则，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，消去，设，列出韦达定理，即可表示，再根据求出参数，从而得出，最后由点到直线的距离得到，由即可得解；【详解】解：（1），解得，椭圆的方程为.（2），可设，.，设直线的方程为，显然恒成立.设，则，.，解得，解得，.此时直线的方程为，点到直线的距离为

15、，即此时四边形的面积为.【点睛】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的综合应用，考查计算能力，属于中档题18（1），；（2）2.【解析】（1）由得，求出曲线的直角坐标方程.由直线的参数方程消去参数，即求直线的普通方程；（2）将直线的参数方程化为标准式（为参数），代入曲线的直角坐标方程，韦达定理得，点在直线上，则，即可求出的值.【详解】（1）由可得，即，即，曲线的直角坐标方程为，由直线的参数方程（t为参数），消去得，即直线的普通方程为.（）点的直角坐标为，则点在直线上.将直线的参数方程化为标准式（为参数），代入曲线的直角坐标方程，整理得，直线与曲线交于两点，即.设点所对应的参数分别为

16、，由韦达定理可得，.点在直线上，.【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化及应用，属于中档题.19（1），；（2）详见解析.【解析】（1）根据频率分布表计算出平均数，进而计算方差，从而XN（65，142），计算P（51X93）即可；（2）列出Y所有可能的取值，分布求出每个取值对应的概率，列出分布列，计算期望，进而可得需要的总金额【详解】解：（1）由已知频数表得：，由，则，而，所以，则X服从正态分布，所以；（2）显然，所以所有Y的取值为15，30，45，60，所以Y的分布列为：Y15304560P所以，需要的总金额为：.【点睛】本题考查了利用频率分布表计算平均数，方差，考查了正态分布

17、，考查了离散型随机变量的概率分布列和数学期望，主要考查数据分析能力和计算能力，属于中档题20（1）；（2）.【解析】（1）利用定义法求出函数在上单调递增，由和，求出，求出，运用单调性求出不等式的解集；（2）由于恒成立，由（1）得出在上单调递增，恒成立，设，利用三角恒等变换化简，结合恒成立的条件，构造新函数，利用单调性和最值，求出实数的取值范围.【详解】（1）设，所以函数在上单调递增，又因为和，则，所以得解得，即， 故的取值范围为；（2） 由于恒成立，恒成立，设， 则， 令， 则，所以在区间上单调递增， 所以，根据条件，只要 ，所以.【点睛】本题考查利用定义法求函数的单调性和利用单调性求不等式的解集，考查不等式恒成立问题，还运用降幂公式、两角和与差的余弦公式、辅助角公式，考查转化思想和解题能力.21（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）通过证明面，即可由线面垂直推证面面垂直；（2）根据面，将问题转化为求到面的距离，利用等体积法求点面距离即可.【详解】（1）因为棱柱是直三棱柱，所以又， 所以面 又，分别为AB，BC的中点所以/即面 又面