几何与代数2考试样题参考答案

1、代数与几何 (2)样题May 30, 2006一. 填空题1 q(x) = x2 x 2，r(x) = 7x 3.2 k = 1 或 33 L(1, 2), L(1, 4), L(3, 4)4 (, )5 k = 16 ker = L ?(0, , 0, 1)T ?，dimIm = n 1 2 2221 1 117 2.，1 111111二. 解答题8W1 = L(1, 2, 3)其中：1 = (0, 0, 1, 0)T ，2 = (2, 1, 0, 0)T ，3 = (1, 0, 0, 1)T .R4易证 1, 2, 3, 1 线性无关，它们的一个基，于是W1 + W2 = R4基为 1,

2、2, 3, 1，维数是 4.W2 中元素的一般形式为 x1 + y2 = (x + y, x, 2y, x + 3y)T ，若它属于 W1，则x + y + 2(x) (x + 3y) = 0解得 x + y = 0. 即 W1 W2 中元素的一般形式为12ANSWERSx1 + y2 = x(0, 1, 2, 2)T所以，?W W = L (0, 1, 2, 2)T12基为 (0, 1, 2, 2)T ，维数是 1.W2 中元素的一般形式为 x1 + y2 = (x + y, x, 2y, x + 3y)T ，若它属于 W1，则x + y + 2(x) (x + 3y) = 0解得 x +

3、y = 0. 即 W1 W2 中元素的一般形式为x1 + y2 = x(0, 1, 2, 2)T所以，?W W = L (0, 1, 2, 2)T12基为 (0, 1, 2, 2)T ，维数是 1.dim(W1 + W2) + dim(W1 W2) = dimW1 + dimW2得 dim(W1 + W2) = 4即 W1 + W2 = R4，取基为自然基 (1, 0, 0, 0)T , (0, 1, 0, 0)T , (0, 0, 1, 0)T (0, 0, 0, 1)T .9|I A| = ( 2)4特征值 2 为 4 重根.0 01 00 00 000000 a00A 2I = 若 a

4、= 0，则 r(A 2I) = 1，特征向量为 (0, 1, 0, 0)T , (0, 0, 1, 0)T , (0, 0, 0, 1)T .Jordan 标准形为2 0 0 00 2 0 00 0 2 10 0 0 2J1 = 求广义特征向量(A 2I)x = (0, 1, 0, 0)T解得：x = (1, 0, 0, 0)T ，令0 00 00 11 00 11 00 00 0= P3ANSWERS则有 P 1AP = J1.若 a 6= 0，则 r(A 2I) = 2，特征向量为 (0, 1, 0, 0)T , (0, 0, 1, 0)T .又 (A 2I)2 = 0，极小多项式为 mA

5、(x) = (x 2)2，所以 Jordan 标准形为2 1 0 00 2 0 00 0 2 10 0 0 2J2 = 求广义特征向量(A 2I)x = (0, 1, 0, 0)T解得：x = (1, 0, 0, 0)T ，(A 2I)x = (0, 0, 1, 0)T解得：x = (0, 0, 0, 1 )T ，令a0100100000100001a= P则有 P 1AP = J2.注：若 a = 0，本题已是 Jordan 标准形；若 a 6= 0，则只需将 a 化为 1，只要作相应的初等变换即可，可直接写出可逆矩阵.10 (1) 设 ker，则 () = 0，于是 = ()， ()| V

6、 ，即 ker ()| V .又 ( () = 0，即 ()| V ker. 所以ker = ()| V (2) V ， = () + ()由于 ( () = () 2() = () () = 0，所以其中 () ker，() Im. 所以V = ker + Im假设 ker Im，由 Im，则 V ，使得 = ().又 ker，于是 () = 2() = () = = 0，即ker Im = 0所以V = ker Im.4ANSWERS(3) 充分性：设 = ，则 ker， () = () = 0，所以 () ker，ker 是 的不变子空间. Im， V 使得 () = ，于是 = ()

7、= () Im，Im是 的不变子空间.必要性：设 ker, Im 都是 的不变子空间.由 (2), V ， = () + ()，其中 () ker，() Im.由题设 Im 是 的不变子空间，() = ()又 ker 是 的不变子空间， () = ( () + () = ( () = () = () () = ().所以 = .11 (1) x, y R, , V(x + y) = x + y + k(x + y, 0)0= x + k(x, 0)0 + y + k(y, 0)0= x( + k(, 0)0 + y( + k(, 0)0)= x() + y()所以， 是 V 上的线性变换. (2)k + 1 2k2k nk2nk4k + 1 (1, 2, , n) = (1, 2, , n) 2 2nkn k + 1nk (3)(), () = ( + k(, 0)0, + k(, 0)0)= (, ) + k(, 0)(0, ) + (, k(, 0)0) + (k(, 0)