2022年广西南宁市兴宁区南宁高三最后一卷数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡

2、一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若集合M1，3，N1，3，5，则满足MXN的集合X的个数为()A1B2C3D42已知函数是定义在上的奇函数，函数满足，且时，则（ ）A2BC1D3已知函数，若时，恒成立，则实数的值为（ ）ABCD4已知，那么是的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5已知，则的大小关系为（ ）ABCD6已知为虚数单位，若复数满足，则（ ）ABCD7已知双曲线的左、右顶点分别是，双曲线的右焦点为，点在过且垂直于轴的直线上，当的外接圆面积达到最小时，点恰好在双曲线上，则

3、该双曲线的方程为（ ）ABCD8命题“”的否定是（ ）ABCD9已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为A240，18B200，20C240，20D200，1810在平面直角坐标系中，锐角顶点在坐标原点，始边为x轴正半轴，终边与单位圆交于点，则（ ）ABCD11已知双曲线的左焦点为，直线经过点且与双曲线的一条渐近线垂直，直线与双曲线的左支交于不同的两点，若，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD12在中，点D是线段BC上任意一点，则（ ）AB-2CD

4、2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知集合，则_14已知函数的图象在处的切线斜率为，则_15在三棱锥中，三角形为等边三角形，二面角的余弦值为，当三棱锥的体积最大值为时，三棱锥的外接球的表面积为_.16在平面直角坐标系xOy中，A，B为x轴正半轴上的两个动点，P（异于原点O）为y轴上的一个定点若以AB为直径的圆与圆x2(y2)21相外切，且APB的大小恒为定值，则线段OP的长为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数，不等式的解集为.（1）求实数，的值；（2）若，求证：.18（12分）健身馆某项目收费标准为每次60元，现推出会员优

5、惠活动：具体收费标准如下：现随机抽取了100为会员统计它们的消费次数，得到数据如下：假设该项目的成本为每次30元，根据给出的数据回答下列问题：（1）估计1位会员至少消费两次的概率（2）某会员消费4次，求这4次消费获得的平均利润；（3）假设每个会员每星期最多消费4次，以事件发生的频率作为相应事件的概率，从会员中随机抽取两位，记从这两位会员的消费获得的平均利润之差的绝对值为，求的分布列及数学期望19（12分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.（1）求B；（2）若，AD为BC边上的中线，当的面积取得最大值时，求AD的长.20（12分）已知椭圆的短轴长为，离心率，其右焦点为.（1）求

6、椭圆的方程；（2）过作夹角为的两条直线分别交椭圆于和，求的取值范围.21（12分）已知矩阵的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量.22（10分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，是边长为2的正三角形，为线段的中点（1）求证：平面平面；（2）若为线段上一点，当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1D【解析】可以是共4个，选D.2D【解析】说明函数是周期函数，由周期性把自变量的值变小，再结合奇偶性计算函数值【详解】由知函数的周期为4，又是奇函数，又，故选：D【点睛】本题考查函数的

7、奇偶性与周期性，掌握周期性与奇偶性的概念是解题基础3D【解析】通过分析函数与的图象，得到两函数必须有相同的零点，解方程组即得解.【详解】如图所示，函数与的图象，因为时，恒成立，于是两函数必须有相同的零点，所以，解得故选：D【点睛】本题主要考查函数的图象的综合应用和函数的零点问题，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4B【解析】由，可得，解出即可判断出结论【详解】解：因为，且，解得是的必要不充分条件故选：【点睛】本题考查了向量数量积运算性质、三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5A【解析】根据指数函数与对数函数的单调性，借助特殊值即可比

8、较大小.【详解】因为，所以.因为，所以，因为，为增函数，所以所以，故选：A.【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题.6A【解析】分析：题设中复数满足的等式可以化为，利用复数的四则运算可以求出.详解：由题设有，故，故选A.点睛：本题考查复数的四则运算和复数概念中的共轭复数，属于基础题.7A【解析】点的坐标为，展开利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案.【详解】不妨设点的坐标为，由于为定值，由正弦定理可知当取得最大值时，的外接圆面积取得最小值，也等价于取得最大值，因为，所以，当且仅当，即当时，等号成立，此时最大，此时的外接圆面积取最小值，点的坐

9、标为，代入可得，所以双曲线的方程为故选：【点睛】本题考查了求双曲线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.8D【解析】根据全称命题的否定是特称命题,对命题进行改写即可.【详解】全称命题的否定是特称命题，所以命题“,”的否定是：，故选D【点睛】本题考查全称命题的否定,难度容易.9A【解析】利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量，利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数【详解】样本容量为：（150+250+400）30%240，抽取的户主对四居室满意的人数为：故选A【点睛】本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意统计图的性质的合理运用10A【解析

10、】根据单位圆以及角度范围，可得，然后根据三角函数定义，可得，最后根据两角和的正弦公式，二倍角公式，简单计算，可得结果.【详解】由题可知：，又为锐角所以，根据三角函数的定义：所以由所以故选：A【点睛】本题考查三角函数的定义以及两角和正弦公式，还考查二倍角的正弦、余弦公式，难点在于公式的计算，识记公式，简单计算，属基础题.11A【解析】直线的方程为，令和双曲线方程联立，再由得到两交点坐标纵坐标关系进行求解即可.【详解】由题意可知直线的方程为,不妨设.则，且将代入双曲线方程中，得到设则由，可得，故则，解得则所以双曲线离心率故选：A【点睛】此题考查双曲线和直线相交问题，联立直线和双曲线方程得到两交点坐

11、标关系和已知条件即可求解，属于一般性题目.12A【解析】设，用表示出，求出的值即可得出答案.【详解】设由，.故选：A【点睛】本题考查了向量加法、减法以及数乘运算，需掌握向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】解一元二次不等式化简集合，再进行集合的交运算，即可得到答案.【详解】，.故答案为：.【点睛】本题考查一元二次不等式的求解、集合的交运算，考查运算求解能力，属于基础题.14【解析】先对函数f（x）求导，再根据图象在（0，f（0）处切线的斜率为4，得f（0）4，由此可求a的值.【详解】由函数得，函数f（x）的图象在（0

12、，f（0）处切线的斜率为4，.故答案为4【点睛】本题考查了根据曲线上在某点切线方程的斜率求参数的问题，属于基础题15【解析】根据题意作出图象,利用三垂线定理找出二面角的平面角,再设出的长,即可求出三棱锥的高,然后利用利用基本不等式即可确定三棱锥的体积最大值,从而得出各棱的长度,最后根据球的几何性质,利用球心距,半径,底面半径之间的关系即可求出三棱锥的外接球的表面积.【详解】如图所示：过点作面,垂足为,过点作交于点,连接.则为二面角的平面角的补角,即有.易证面,而三角形为等边三角形, 为的中点.设, .故三棱锥的体积为当且仅当时,即.三点共线.设三棱锥的外接球的球心为,半径为.过点作于,四边形为

13、矩形.则,在中,解得.三棱锥的外接球的表面积为.故答案为：【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球的表面积的求法,涉及二面角的运用,基本不等式的应用,以及球的几何性质的应用,意在考查学生的直观想象能力,数学运算能力和逻辑推理能力,属于较难题.16【解析】分析：设O2（a，0），圆O2的半径为r（变量），OP=t（常数），利用差角的正切公式，结合以AB为直径的圆与圆x2+（y-2）2=1相外切且APB的大小恒为定值，即可求出线段OP的长详解：设O2（a，0），圆O2的半径为r（变量），OP=t（常数），则APB的大小恒为定值，t，|OP|=故答案为点睛：本题考查圆与圆的位置关系，考查差角的正切公式，考

14、查学生的计算能力，属于中档题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1），.（2）见解析【解析】（1）分三种情况讨论即可（2）将，的值代入，然后利用均值定理即可.【详解】解：（1）不等式可化为.即有或或.解得，或或.所以不等式的解集为，故，.（2）由（1）知，即，由，得，当且仅当，即，时等号成立.故，即.【点睛】考查绝对值不等式的解法以及用均值定理证明不等式，中档题.18（1）（2）22.5（3）见解析，【解析】（1）根据频数计算频率，得出概率；（2）根据优惠标准计算平均利润；（3）求出各种情况对应的的值和概率，得出分布列，从而计算出数学期望【详解】解：（1）估计1

15、位会员至少消费两次的概率；（2）第1次消费利润；第2次消费利润；第3次消费利润；第4次消费利润；这4次消费获得的平均利润：（3）1次消费利润是27，概率是；2次消费利润是，概率是；3次消费利润是，概率是；4次消费利润是，概率是；由题意：故分布列为： 0 期望为: 【点睛】本题考查概率、平均利润、离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查古典概型、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题19（1）；（2）.【解析】（1）利用正弦定理及可得，从而得到；（2）在中，利用余弦定可得，而，故当时，的面积取得最大值，此时，在中，再利用余弦定理即可解决.【详解】（1）由正弦定理及已

16、知得，结合，得，因为，所以，由，得.（2）在中，由余弦定得，因为，所以，当且仅当时，的面积取得最大值，此时.在中，由余弦定理得.即.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算能力，是一道容易题.20（1）；（2）.【解析】（1）由已知短轴长求出，离心率求出关系，结合，即可求解；（2）当直线的斜率都存在时，不妨设直线的方程为，直线与椭圆方程联立，利用相交弦长公式求出，斜率为，求出，得到关于的表达式，根据表达式的特点用“”判别式法求出范围，当有一斜率不存在时，另一条斜率为，根据弦长公式，求出，即可求出结论.【详解】（1）由得，又由得，则，故椭圆的方程为.（2）由（1

17、）知，当直线的斜率都存在时，由对称性不妨设直线的方程为，由，设，则，则，由椭圆对称性可设直线的斜率为，则，.令，则，当时，当时，由得，所以，即，且.当直线的斜率其中一条不存在时，根据对称性不妨设设直线的方程为，斜率不存在，则，此时.若设的方程为，斜率不存在，则，综上可知的取值范围是.【点睛】本题考查椭圆标准方程、直线与椭圆的位置关系，注意根与系数关系、弦长公式、函数最值、椭圆性质的合理应用，意在考查逻辑推理、计算求解能力，属于难题.21另一个特征值为，对应的一个特征向量【解析】根据特征多项式的一个零点为3，可得，再回代到方程即可解出另一个特征值为，最后利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量.【详解】矩阵的特征多项式为：，是方程的一个根，解得，即 方程即，可得另一个特征值为：，设对应的一个特征向量为： 则由，得得，令，则，所以矩阵另一个特征值为，对应的一个特征向量【点睛】本题考查了矩阵的特征值以及特征向量，需掌握特征多项式的计算形式，属于基础题.22（1）见解析； （2）.【解析】（1）先证明，可证平面，再由可证平面，即得证；（2）以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，设，求解面的法向量，