广东第二师范学院第三届数学建模竞赛试题及参考解答

1、广东第二师范学院第三届数学建模竞赛试题及参考解答一、最大收益某食品厂生产I型和n型饼干 .在每种饼干的生产过程中，都需要使用搅拌机 A、成 型机B和烘箱C三种设备.已知每生产一吨I n I、n型饼干均可获得利润7百元.这些饼干在市场上都很畅销 .但由于条彳限制，A、B、C每天可供利用的工时不能超过 24、 20、24小时，试问应如何安排每天I、n型饼干的生产量，才能使该厂获得最大的收益？解：设每天I、n型饼干的生产量分别为x1,x2吨，每天的利润为Z,则此问题的数学模型为:maxZ 7 x1 7x24x1 6x22410 分5x1 4x2 20s.t.8x1 3x2 24 x1, x2 0这是

2、一个整线性规划问题，现用图解法进行求解可行域为：由直线11:4x16x224,12：5斗4x220,13:8斗3x224以及x 0, y 0 1 : 7x1 7x2 c在可行域内平行移动18 分易知：当1过11与I2的交点时，Z取最大值.,4x1 6x224- ,口 x1由 12解得15x1 4x2 20 x212-720-7此时Zmax122032（百元）.25 分故每天生产I型饼干12/7吨，n型饼干2017吨，相应的收益最大是 3200元.、快件派送如图，快递员从 C3骑车出发往A2、C1、E2三处送快件，然后回到 C3.图中数字单位为 hm（百米），假设车速为15km/h,送快件时每处

3、耽误 5min30min内该快递员能否回到出发地点？解:第一步：先找出 G到达 A C、E2各点间最短距离如下表：（单位hm）C3ACEC309810A901116G81108E210168010 分第二步：将第一步中表格转化为各地点间的加权无向图G（见下列图）第三步，按最优邻近法求最正确线路的具体过程如下:开始于顶点1,组成闭回路11,在下一阶段最邻近1的顶点为顶点3,建立闭回路131, 顶点4最邻近顶点3,建立闭回路1341.将顶点2插入上面闭回路， 得到6个闭回路是 13421、13241、14321、14231、12341、12431,它们的长度分别为 41、45、38、45、38、4

4、1.在这些闭回路中长度最短的回路14321、12341为最正确线路，即C3AC1 一巳一C3或C3E2CAC3,距离均为3800m.按所给数据，骑车和派件耽误时间共380015000605 330. 2 (min)故从出发算起半小时内该快递员不能回到出发地点.-25分三、雪球融化设雪球在融化时体积的变化率与外表积成比例，且在融化过程中它始终为球体，该雪球在开始时的半径为 6cmi经过2小时后，其半径缩小为3cm,试推导雪球的体积随时间变化的关系式，并求3个小时后雪球的体积.解：设t时刻雪球的体积为v(t),外表积为s(t),则dvSks(t), - 10分dt TOC o 1-5 h z 21

5、22432 3v 一 一一二二二根据球体的体积(v = R)和外表积(s=4 R =4 ()3)的关系得s(t)= (4 )333v3 , HYPERLINK l bookmark38 o Current Document 342rv 3 ,v(0)=288,v(2)=3620 分12dv引入新吊数r = (4 )333k ,再利用题中的条件得dt15 分别离变量积分得方程的通解为Wt)= (c-rt) 327利用条件v(0)=288和 v(2)=36 得 c=36 3 1 6,r=9 睚.代入得雪球体积随时间变化的关系式为v(t)= (12 3t)3实际问题要求te 6 25 分90,4.

6、3个小时后雪球的体积为：v(3)二 2四、宠物食谱一名兽医推荐宠物狗每天的食谱中应该包含100个单位的蛋白质，200个单位的卡路里，50个单位的脂肪.一个商店的宠物食物部有4种食物，分别为 A B、C D.每千克食物所含的营养成分如下:食品蛋白质卡路里脂肪A5202B4252C71010D1056假设单从该商店的这四种食物中取材，是否存在某种方案满足兽医推荐的食谱？解：此问题是对食物 A、B、C、D进行混合，使得混合物中各种营养成分的含量与兽医推荐的量相等，故可列出线性方程组对此问题进行求解设宠物狗一天食谱中食物 A B、C D的量分别为x1、X2、X3、X4千克.为保证其食谱满足兽医的推荐，

7、可得如下线性方程组:5x1 4x2 7x3 10 x4 10020 x1 25x2 10 x3 5x4 20010 分2x1 2x2 10 x3 6x4 50同解方程组为:X1X25x33x425x2 18x3 11x46036x3 16x4 8515 分通过回代的方法确定上述方程组的非负解实际问题的需要 TOC o 1-5 h z 185令 X4 t,则 t 0.于是，X3 (85 16t) 0,此时要求 t 一.一 20 分3616心35,35将x4与x3回代，求得x2 3t 一 0 ,此时要求t 一26，一 35 853585然而 ,故 t 无解.这就说明，不可能找到方程组的非负解，也即

8、，该商店 6 16616中的这四种食物无论如何配比，都不能完成兽医的配方要求. 25分五、最优生产甲车间为乙车间生产某种原料，已知乙车间平均每月需要100件，而甲车间平均每月生产500件，因此甲车间要进行等周期分批有间断的生产.另外甲车间的产品运到乙车间时要包装，平均每批的包装费为4元.，每月按30天计算，请通过建立数学模型给出甲车间的最优生产周期. TOC o 1-5 h z 1R(汪：据倜查知在一个生广周期 T天的存贮费用为 (P R)TT0C ,其中T0 T为生广时 2P间，P为甲车间的生产速度，R为乙车间的需求速度，C为每天每件产品的存贮费.)解：设一个生产周期 T天的包装费为 D,每

9、个月生产的批数为30/T,因此每个月内的总费F(T) 30 D ；(P R)TTC10 分用F(T)为30 T1R(P R)-TC2P利用微积分求极值方法可得从而F (T) 30D 1 P R-c2RCT 2 P2PD(P R)RC15 分已知：P=500/30, R=100/30, D=4, C=0.4/30,于是可得T 2PD(P R)RC2 50 4 315 ,50 10.10 0.4 ()33 330因此，甲车间的最优生产策略为每隔15天生产一批.25 分六、鱼雷轨迹位于坐标原点的我舰向位于x轴上距离我舰1公里处的敌舰发射制导鱼雷.假设敌舰以速度W沿着平行于y轴的直线行进，鱼雷始终对准敌舰且速度为 2v0.请建立数学模型确定鱼雷的轨迹方程.y解：设鱼雷航行轨迹方程为y y(x).在时刻t鱼雷的坐标为 P(x, y),敌舰的坐标为votyQ(1,vot).因鱼雷始终对准敌舰，所以有5分而弧线OP的长度为1 y 2dx 2v0t(2)8分由(1)、(2)两式消去v0t得12 分(1 x)y /l y2(3)根据题意，初始条件为y(0) 0, y (0) 0令y p,方程化为由方程(4)解得y 1 y2将y(0) 0代入(5)式得Gy ,121 y y1y 2 (1 x积分得 y将y(0) 0