平面直角坐标系及伸缩变换课件

1、1.1 平面直角坐标系与曲线方程(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么,这个方程叫做曲线的方程; 这条曲线叫做方程的曲线.定义:f(x,y)=00 xy 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:常见公式：直线方程，平行，垂直，中点，中心，距离，标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率 a、b、c的关系|x| a,|y| b关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴

2、长为a,短半轴长为b. aba2=b2+c2|x| b,|y| a同前(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0 , c)、(0, -c)同前同前同前关于x轴、y轴、原点对称图形方程范围对称性顶点离心率A1（- a，0），A2（a，0）A1（0，-a），A2（0，a）关于x轴、y轴、原点对称渐进线.yB2A1A2 B1 xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)准线方程焦点坐标标准方程图 形xFOylxFOylxFOylxFOyly2=2px(p0)x2=-2py(p0)二抛物

3、线的标准方程例1 :判断下列命题是否正确解:(1)不正确，应为x=3,(2)不正确, ，应为y=1.(3)正确.(4)不正确, 应为x=0(-3y0).(1)过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程为x=3(2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1(3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方程为xy=1 (4) ABC的顶点A(0,-3)，B(1,0)，C(-1,0)，D为BC中点，则中线AD的方程x=0练习2:下述方程表示的图形分别是下图中的哪一个？ - =0|x|-|y|=0 x-|y|=011OXY11OXY11OXY-1-111OXY-1ABCD解:练习1.2.BB3.4.到F(

4、2，0)和y轴的距离相等的动点的轨迹方程是_ 解:设动点为(x，y)，则由题设得化简得:y2=4(x-1)这就是所求的轨迹方程.y2=4(x-1)直接法求轨迹方程xyO直接法求轨迹方程xyO定义法求轨迹方程由|O1O2|4,得O1(-2, 0),O2(2, 0)xyO定义法求轨迹方程 求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量xyO相关点法求轨迹方程 xy 【2】若曲线 上有一动点P，O点为坐标原点，M为线段OP的中点，求点M的轨迹方程.举一反三解: 设点M的坐标是(x , y),点P的坐标是(x0 ,

5、y0),由于点M是线段OP 的中点,于是有x0=2x, y0=2y. 把代入, 得动点P在曲线 上运动,所以有 整理, 得所以点M的轨迹方程是平面直角坐标系建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系。（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；（3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。课堂小结2.若点P到直线x=-1的距离比它到点(2,0)的距离小1,则点P的轨迹为( )A.圆 B.椭圆C.双曲线 D.抛物线答案:D解析:由题意知,点P到点(2,0)的距离与P到直线x=-2的距离相等,由抛物线定义得点P的轨迹是以(2,0)为焦点,以直线x

6、=-2为准线的抛物线,故选D.3.方程 的曲线是( )A.两条直线 B.一个点C.一条射线和一条直线 D.两条射线答案:C5.已知两定点A(-2,0),B(1,0) ,如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )A. B.4C.8 D.9答案:B288.一动点在圆x2+y2=1上移动,它与定点(3,0)连线的中点的轨迹方程是_.答案:(2x-3)2+4y2=1共 12 页22共 12 页23解析:(1)方程 ,表示的曲线是以(2,0)为对称中心,焦点在x轴上,长轴长为6,焦距为 的椭圆.(2)方程(x+2)2+(y-2)2=16表示的曲线是以(-2,2)为圆心,

7、4为半径的圆.(3)方程(2x+3y-5) =0表示直线2x+3y-5=0与射线x=4(x3).(4)方程 ,可以看作点(x,y)到(2,0)的距离与到直线x=4的距离之比为2,故此方程表示以(2,0)为焦点,离心率为2的双曲线.1.2 平面直角坐标系中的伸缩变换O 1 2 3 4 5 6 710987654321引例:cc cA(2,1)A(4,4)B(1)将点A(2,1)先向右平移2个单位,再向上平移3个单位, 得A(1)(2)将抛物线C:y=x2先向右平移2个单位,再向下平移2个单位, 得抛物线Coxy(2)2-223P(x,y)P (x,y)aaaaxoyFF设F是坐标平面内的一个图形

8、,将F上所有点按照同一方向,移动同一长度，得到图形F.称这一过程是图形的平移.一、平移概念 设P(x,y)是图形F上的任意一点，它在平移后图形F上的对应点为P(x,y), 且 =(h,k),二、平移公式新标=原标 + 平移向量的坐标得平移公式:xyOFF注: (1)平移后点的坐标等于平移前点的坐标加上平移向量的坐标. (2)从方程的角度看平移公式(知二求一)三、公式应用(x,y)是平移前的点， P(x,y)是平移后的点例题讲解例 1. 把(-2，1)按a=（3,2) 平移，求对应点 的坐标 . 2. 点M（8,-10）,按 平移后的对应点 的坐标为（-7，4）求 .解（1）由平移公式得即对应点

9、 的坐标（1，3）.（2）由平移公式得即a 的坐标 （-15,14）.解得例题讲解代入y=2x中即函数的解析式为解：设P(x, y)为l 的任意一点，它在 上的对应点 ，由平移公式得xyO 例 将函数y=2x 的图象 l 按 =（0，3）平移到 ，求 的函数解析式练习：1.分别将点A(3,5) B(7,0）按向量平移 ，求平移后各对应点的坐标。2.把函数 的图像l 按 平移到 ，求 的函数解析式。 3.若把点A(3，2)平移后得到对应点 , 按上面的平移方式，若点A(1，3)，求 。（1，4） 4.将抛物线 经过怎样的平移，可以得到 。 按向量 平移即抛物线的顶点 的坐标为（-2，3） 设 是

10、抛物线 上的任意一点，平移后的对应点为 ,由平移公式得代入原解析式得平移后函数的解析式为:按向量 平移方法:(1)待定系数法(2)配方法练习：xO2y=sinxy=sin2x思考：（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x? 在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y), 保持纵坐标不变,将横坐标x缩为原来的1/2 , 就得到正弦曲线y=sin2x. 上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即： 设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点, 保持纵坐标不变, 将横坐标x缩为原来1/2,得到点 坐标对应关系为:通常把 上式 叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。也可以称为曲线按伸缩系数为1/2向着y轴的压缩变换 （当k1时，表示伸长，当k1时，表示伸长，当k0,0 （2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到； （3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。练习：1.在直角坐标系中, 求下列方程所对应的图形经过伸缩变换 后的图形. （1）2x+3y=0; (2)x2+y2=12.在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：曲线 变为曲线3.在同一直角坐标系下, 经过伸缩变换 后，曲线C变为x