数理方程与特殊函数：行波法与积分变换法习题课_第1页
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1、1本次课主要内容(一)、行波法(二)、积分变换法行波法与积分变换法习题课2(一)、行波法1、要点回顾(1)行波法的适用范围是什么？答：波动方程的初值问题。(2)行波法求解波动方程定解问题的要领是什么？答：引入变量替换，将方程化为变量可积的形式，从而求出其通解；用定解条件确定通解中的任意函数(或常数)，从而求出其特解。3(3)无限长弦的自由振动问题的达朗贝尔公式是什么？公式的物理意义是什么？答：(a) 公式为：(b) 物理意义：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向弦的两个方向传播出去，传播速度正好是弦振动方程中的系数a。(4)如何求解无限长弦的纯强迫振动问题和一般强迫振动问题？4答(a)纯强迫振动

2、定解问题为：求解方法：齐次化原理(b)一般强迫振动定解问题为：5求解方法：利用函数分解方法对定解问题进行拆分答：(a)公式为：(5)三维自由振动的泊松公式是什么？公式的物理意义是什么？(b) 物理意义：1)空间任意一点M在任意时刻t0的状态完全由以该点为心，at为半径的球面上的初始扰动决定；2) 当初始扰动限制在空间某局部范围内时，扰动有清晰的“前锋”与“阵尾”，即惠更斯原理成立。6答：(a)公式为：(5)二维齐次波动方程柯西问题的泊松公式是什么？公式的物理意义是什么？(b) 物理意义：1)空间任意一点M在任意时刻t0的状态完全由以该点为心，at为半径的圆盘域上的初始扰动决定；2)局部初始扰动

3、对二维空间上任意一点的扰动有持续后效，波的传播有清晰的前锋而无后锋，惠更斯原理不成立。72、典型题型(1)利用行波法求解例1、求下面柯西问题的解：解：特征方程为：特征线方程为： 8令：变换原方程化成标准型： 通解为 : 代入条件得：9例2、求波动方程的古沙问题10解：方程通解为：由(2)得：又由(3)得：由(4)与(5)得：11所以：又由(4)得：所以：(2)半无界问题的求解采用延拓或行波方法求解12例3、半无限长杆的端点受到纵向力F(t)=Asint的作用，求解杆的振动。解：定解问题为：Fun|x=0.YS0 x13解：方法1：延拓法首先，当xat时，端点的影响没有传到，所以有：其次，当xat时，端点的影响已经传到，所以定解问题必须考虑边界影响。将定解问题作延拓：延拓后的定解问题的解为：14欲使延拓后的解限制在x0上时为原定解问题的解，只需让延拓解满足边界条件，即：为此：令只要：又令15得到：所以有：所以当x0时：(2) 求像函数(3) 求原像函数当0时：像函数为：41由卷积定理 ：这里：42于是得定解为： 43例14、求解如下定解问题：解:(1)作针对于时间变量的Laplace变换 44 (2)、求像函数： (3)、求原像函数：45 所以原像函数：例15、求解如下定解问题(习题5.4第5题)：46解:(1)作针对于时间变量的Lapl

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