数理方程与特殊函数：拉普拉斯变换的应用

1、1本次课主要内容(一)、常微分方程求解(二)、积分方程求解拉普拉斯变换的应用(三)、偏微分方程定解问题求解2内容回顾1、Laplace变换与逆变换的定义2、常用函数的Laplace变换 33、Laplace变换的几个主要性质 (1). 线性性质4(2). 延迟定理 (3). 位移定理 (4） . 微分定理 5(5). 积分定理(6). 象函数的微分定理 (7).象函数的积分定理 6 (8).卷积定理 关于卷积的说明：74. 展开定理 (1) 极点z0的阶：若则极点z0的阶为m。8 (2)，留数公式 若z0为f(x)的m阶极点，则：(一)、常微分方程求解 例1、求解常微分方程：9 (1)、对方程

2、两边作拉氏变换： 由线性性质有： 由像函数微分定理得： 又由微分定理得： 所以：10 所以，得变换后的方程为： (2)、求像函数： (3)、求原像函数： 对像函数作幂级数展开：11 因为： 所以： 于是由展开定理得方程通解为： 由初始条件得：12例2 求解积分方程： 解：由卷积定义，将方程写成： (二)、积分方程求解13 (1)、对方程两边作拉氏变换： (2)、求像函数： (3)、由展开定理可求出原像函数：14 首先指出：利用积分变换求解偏微分方程定解问题时，如果是初值问题，常采用针对空间变量的傅立叶变换求解，而如果是带有边界条件的定解问题，则常采用针对时间变量的拉氏变换求解。(三)、偏微分方

3、程定解问题求解例3、 求解硅片的恒定表面浓度扩散问题，在恒定表面浓度扩散中，包围硅片的气体中含有大量杂质原子，它们源源不断穿过硅片表面向硅片内部扩散。由于气体中杂质原子供应充分，硅片表面浓度得以保持某个常数 N0 ，这里所求的是半无限空间x0中定解问题 .解：定解问题为：15 (1)、对定解问题作针对于时间变量的拉氏变换： (2)、求像函数： 注意到：16 所以有： (3)、求原像函数： 查逆变换表得： 所以得：17问题：有同学认为：在上面定解问题中，x与t的变化范围都是(0,+)，所以，求解时，对x与t均可以作拉氏变换，对吗？为什么？解：所提问题归结为解定解问题 答：不能！因为方程中含有ux

4、x，而在x=0处，只给出了u(0,t)的值，而没有给出ux(0,t)的值，所以，不能作针对空间变量x的拉氏变换。例4 一条半无限长的杆，端点的温度变化为已知，杆的初始温度为零。求杆上的温度分布规律。18 (1)、对定解问题作针对于时间变量的拉氏变换： (2)、求像函数： (3)、求原像函数：19由卷积定理下面求由查表得：所以：20令：则：由于：注意到：21所以：由微分定理：所以：22即：所以,由卷积定理得到：23例5 求解半无界弦的纯强迫振动定解问题： 解:(1)作针对于时间变量的Laplace变换 (2)、求像函数：24由条件： (3)、求原像函数：2526 所以原像函数为：例6、求解如下定解问题：27解:(1)作针对于时间变量的Laplace变换 (2)、求像函数：28 (3)、求原像函数：例7、求解如下定解问题(习题5.4第5题)：29解:(1)作针对于时间变量的Laplac