数理方程与特殊函数：非齐次边界条件定解问题求解

1、1 非齐次边界条件定解问题求解本次课主要内容(一)、边界条件齐次化方法(二)、分离变量法总结2(一)、边界条件齐次化方法1、一般方法讨论如下定解问题边界条件齐次化：采用未知函数代换法：即：选择适当的W(x,t)，使关于V(x,t)定解问题边界条件是齐次的。3具体过程：(1)、作代换：(2)、将代换式代入定解问题中得：4(3)、选择W(x,t)，使关于V(x,t)定解问题边界条件齐次！由(2)、只要W(x,t)满足如下条件即可：W(x,t)如何选取？W(x,t)的选取方式很多！下面采用多项式函数待定法选择W(x,t)令：由*可得：5于是得W(x,t)的一种选择式为：将下式代入原定解问题中：6其中

2、：(*)属于齐次边界条件下的非齐次方程定解问题，可用齐次化原理或级数法进一步求解！注：上面定解问题边界条件是第一类的，如果是其它情形，只需恰当设置待定多项式的形式，也可以求出需要的W(x,t),具体过程如下：7(1)、若边界条件为：作代换：得W(x,t)需要满足的条件为：可令：8(2)、若边界条件为：作代换：得W(x,t)需要满足的条件为：可令：9(3)、若边界条件为：作代换：得W(x,t)需要满足的条件为：可令：10(4)、若边界条件为：作代换：得W(x,t)需要满足的条件为：可令：11 例1、设弦的一端（x=0）固定，另一端（x=L）以sint 作周期振动，这里na/L(n=1,2)且初值

3、为零。试研究弦的自由振动。解：依题意，得定解问题 令：12由边界条件齐次化的多项式待定法可得：代入原定解问题得：该问题可用齐次化原理或级数法求解!13 但是，是否可以恰当选择W(x,t)，使关于V(x,t)的定解问题成为齐次方程和齐次边界条件的定解问题？ 由原定解问题边界条件特点，欲使边界条件齐次化，可假定： 将u(x,t)=V(x,t)+X(x)sint代入定解问题中分析，要使关于V(x,t)的定解问题成为齐次方程和齐次边界条件，只需X(x)满足：14求出X(x)的解为：于是将代入原定解问题中得：15由分离变量得：原定解问题解为：162、特殊情形下齐次化方法如果方程自由项和边界条件表达式均与

4、t无关，则可以令：可以把关于V(x,t)的定解问题直接化为齐次方程和齐次边界条件。17例2 求如下定解问题 解：令 将其代入定解问题中得：18可将其分解为：于是得：19由分离变量得一般解为：由初值条件得：由傅立叶级数展开得：20所以，原定解问题的解为：211、适用范围 :(二)、分离变量法总结有界域上的波动、热传导定解问题和一些特殊区域上的稳态场方程定解问题；2、基本要求 :叠加原理要能够使用，并能够定出固有值问题.3、主要方法 :(1)、最基本的分离变量求解(要求齐次方程和齐次边界条件或园域上的周期性条件);(2)、固有函数展开法(要求齐次边界条件或园域上的周期性条件)。224、主要步骤 :

5、(1)、根据边界的形状选取适当的坐标系 。原则是使边界条件表达式最简单。若边界是圆、扇形，柱形，球形，要使用极坐标，柱面坐标和球坐标表示定解问题；(2)、若边界非齐次, 作函数代换化为齐次边界问题 ；(3)、若定解问题是非齐方程、齐次边界条件，采用函数分解方法将定解问题进行分解。分解后考虑采用齐次化原理或固有函数值方法求解。23应用举例解：令 将其代入定解问题中得：例3 求如下定解问题 24可将其分解为：于是得：25由分离变量得一般解为：由初值条件得：由傅立叶级数展开得：2627所以，定解问题的解为：原定解问题的解为：28解：令 取：例4 求如下定解问题 29得定解问题为：其中：30对于(*),采用固有函数值法求解可令：代入(*)中得：31于是由傅立叶余弦展开公式有：其中：32当n0时有：其中：33通过计算，得到微分方程的解为：和把它们代入所令一般解表达式即可得定解。34例5 解环形域内的定解问题： 分析：定解问题属于环形域内的泊松方程定解问题，因此，不能直接分离变量求解。但是，通过观察方程特征，很容易发现其泛定方程的特解形式为： 35因此可采用特解化简方法化泊松方程为拉普拉斯方程 解：设方程特解形式为： 得：又令代入定解问题并采用极坐标得：36极坐标系