简单几何体体积课件

1、3 定积分的简单应用赣州市第三中学 廖暑芃普通高中课程标准实验教科书 数学 选修2-2 第四章 定积分3.2 简单几何体的体积一、回顾旧知 4 求平面图形的面积1一、回顾旧知 4 求平面图形的面积1思考1 求直线 和 轴所围成的平面图形绕着 轴旋转一周所得几何体的体积.解：如图所示，所得圆锥体底面半径和高均为1，故该圆锥体的体积为 解法一： 解法二：引例1 求直线 和 轴所围成的平面图形的面 积.一、回顾旧知引例2 求由曲线 ， 轴、 轴以及直线 所围成的平 面图形面积.解：所围成平面图形的面积为思考2 求由曲线 ， 轴、 轴以及直线 所围成的平 面图形绕 轴旋转一周得到的旋转体的体积. 如何

2、求此旋转体的体积呢？二、探究新知 分割 近似代替 求和 取极限4 在解决平面图形的面积问题时，我们利用了定积分的思想： 猜想：是否能将定积分思想类比运用到旋转体体积的求解过程中呢？ 这节课我们就来解决简单几何体的体积问题.二、探究新知分析：利用定积分思想 如图(1),在区间 内插入 个分点，使 ，把这个几何体分割成 个垂直于 轴的曲边小圆台 ，设第 个曲边小圆台的厚度是 ， .思考2 求由曲线 ， 轴、 轴以及直线 所围成的平 面图形绕 轴旋转一周得到的旋转体的体积.1.分割： 二、探究新知 当 很小时，第 个曲边小圆台近似于底面半径为 的小圆柱，因此，第 个曲边小圆台的体积 近似为 几何体的

3、体积 就等于所有曲边小圆台的体积和 几何体的体积为 2.近似代替： 3.求和： 4.取极限： 二、探究新知解：对截面面积积分求解，圆锥体的体积为 思考1 求直线 和 轴所围成的平面图形绕着 轴旋转一周所得几何体的体积.三、知识归纳2. 简单旋转体体积求解步骤 画出所要旋转的平面图形； 确定积分变量的范围，即确定积分的上、下限； 确定旋转体体积的表达式（用定积分表示）； 求出定积分，即旋转体的体积.1. 旋转体的体积 计算由区间 上的连续曲线 和两直线 与 和 轴所围平面图形绕 轴旋转一周所成的旋转体的体积.三、知识归纳3. 旋转体体积公式（1） 如图，若旋转轴是轴，则旋转体体积公式为四、巩固训

4、练【训练1】如图，求由抛物线 与直线 及 所围成的图形绕 轴旋转一周所得几何体的体积.解：解方程 ，得 所以，抛物线 和直线 的交点坐标为 .故所求几何体的体积为： 1、确定几何体构造2、确定积分上、下限3、确定被积函数，表达定积分四、巩固训练【训练2】如图，求由曲线 与 所围成的平面图形绕 轴旋转一周所得旋转体的体积.解：如图，设所求旋转体的体积为 ，由图像可看出 等于曲线 ，直线 和 轴围成平面图形绕 轴旋转一周所得体积（设为 ）减去曲线 ，直线 和 轴围成平面图形绕 轴旋转一周所得体积（设为 ）. 四、巩固训练规律方法： 解决组合体的体积问题，关键是对其构造进行剖析，分解成几个简单几何体体积的和或差，然后分别利用定积分求其体积五、新知拓展思考3 求由曲线 ， 轴、 轴以及直线 所围成的区域绕 轴旋转一周得到的旋转体的体积.解：旋转体的体积五、新知拓展4. 旋转体体积公式（2） 如图，若旋转轴是 轴，则旋转体体积公 式为六、拓展训练【训练3】如图所示，给定直角边为 的等腰直角三角形，绕 轴旋转一周，求形成的几何体的体积解：形成的几何体体积为一圆柱的体积减去一圆锥的体积。七、课堂小结 定积分的简单应用3组