投资的风险和收益的建模

1、投资的风险和收益摘要： 本题是一个优化问题，对市场上的多种风险投资和一种无风险资产（存银行）进行组合投资策略的的设计需要考虑好多因素。投资问题中的投资收益和风险问题，我们总希望 利润获要尽可能大而总体风险尽可能小，但是，他并不是意随人愿，在一定意义上是对立的。模型一应用多目标决策方法建立模型，以投资效益没目标，对投资问题建立个一个优化 模型，不同的投资方式具有不同的风险和效益，该模型根据优化模型的原理，提出了两个准 则，并从众多的投资方案中选出若干个，使在投资额一定的条件下，经济效益尽可能大，风 险尽可能小。在实际投资中，投资者承受风险的程度不一样，若给定风险一个界B即，使最 大的一个风险qx

2、/MWa,可找到相应的投资方案.这样把多目标规划变成一个目标的线性规 划模型二若投资者希望总盈利至少达到水平k以上，在风险最小的情况下寻找相应的投资 组合.固定盈利水平，极小化风险模型三给出了组合投资方案设计的一个线性规划模型，主要思想是通过线性加权综合两 个设计目标：假设在投资规模相当大的基础上，将交易费函数近似线性化，通过决策变量化 解风险函数的非线性。【关键字】：多目标规划模型有效投资方案赋权一 问题的提出投资的效益和风险（1998年全国大学生数学建模竞赛A题）市场上有n种资产（如股票、债券、）SJ 1=16供投资者选择，某公司有数 额为M的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务

3、分析人员对这n种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买Si的平均收益率为r并预测出购买Sii的风险损失率为q。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金i购买若干种资产时，总体风险用所投资的Si中最大的一个风险来度量。购买Si要付交易费，费率为P ,并且当购买额不超过给定值匕时，交易费按购买匕计算。另外，假定同期银行存款利率是0,且既无交易费又无风险。（r0=5%）已知n = 4时的相关数据如下：Sir(%)q（%）P (%)沅（元）Si28i 2.5i 1i 103S2211.52198S3235.54.552S4252.66.540试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金

4、M,有选择地购买若干种资 产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。二 模型的假设和符号说明2.1模型的假设：（1）在短时期内所给出的平均收益率,损失率和交易的费率不变。（2）在短时期内所购买的各种资产（如股票，证券等）不进行买卖交易。即在买入后就不 再卖出。（3）每种投资是否收益是相互独立的。（4）在投资的过程中，无论盈利和否必须先付交易费。2.2符号说明：参数范围说明Sii=1,2 n欲购买的第i种资产的种类M相当大公司现有的投资总额xii=1,2 n公司购买Si的金额rii=1,2 n公司购买Si的平均收益率qii=1,2 n公司购买Si的平均损失率Pii=1,2 n公司购买

5、Si超过ui时所付的交易费uii=1,2 nxi ui交易费=1Piuixiw %而题目所给定的定值ui（单位:元）相对总投资M很小,piui更小， TOC o 1-5 h z 可以忽略不计，这样购买Si的净收益为亿-pi）x.3要使净收益尽可能大,总体风险尽可能小,这是一个多目标规划模型:目标函数max, minmax qixi约束条件I = M1 1x,三 0i=0,1,., na.在实际投资中，投资者承受风险的程度不一样，若给定风险一个界限。，使最大的一个 风险qxJ.MWa，可找到相应的投资方案.这样把多目标规划变成一个目标的线性规划.模型1 固定风险水平,优化收益目标函数：Q=max

6、约束条件：1qx WaM-工（1 + P ）x M ,xi 三 0i=0,1，niib.若投资者希望总盈利至少达到水平k以上，在风险最小的情况下寻找相应的投资组合.模型2 固定盈利水平,极小化风险目标函数：R = minmax qixi约束条件：三k，X (1+p )% = M，xi三 0i=0，1，niic.投资者在权衡资产风险和预期收益两方面时，希望选择一个令自己满意的投资组合因此对风险、收益赋予权重s (01c=-0.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.185;Aeq=1 1.01 1.02 1.045 1.065;beq=1;A=0 0.025 0 0 0;0 0 0.0

7、15 0 0;0 0 0 0.055 0;0 0 0 0 0.026;b=a;a;a;a;vlb=0,0,0,0,0;vub=;x,val=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);ax=xQ=-valplot(a,Q,.),axis(0 0.1 0 0.5),hold ona=a+0.001;endxlabel(a),ylabel(Q)计算结果：a =0.0030 x = 0.49490.12000.20000.05450.1154Q =0.1266a =0.0060 x = 00.24000.40000.10910.2212Q =0.2019a =0.0080 x =

8、0.00000.32000.53330.12710.0000Q =0.2112a =0.0100 x = 00.40000.584300Q =0.2190a =0.0200 x = 00.80000.188200Q =0.2518a =0.0400 x = 0.00000.99010.000000Q =0.2673结果分析.风险大，收益也大.当投资越分散时，投资者承担的风险越小，这和题意一致即：冒险的投资者会出现集中投资的情况，保守的投资者则尽量分散投资.曲线上的任一点都表示该风险水平的最大可能收益和该收益要求的最小风险.对于不同风 险的承受能力，选择该风险水平下的最优投资组合.在许0.006

9、附近有一个转折点，在这一点左边，风险增加很少时，利润增长 很快.在这一点右边，风险增加很大时，利润增长很缓慢，所以对于风险和 收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择曲线的拐点作为最优投资组合， 大约是a*=0.6%，Q*=20%，所对应投资方案为：风险度 收益0 x 1%2x 3x40.00600.201900.24000.40000.10910.22124.2模型2的求解令x5= max%,则有x5大于或等于%,中的任意一个，可得模型2为：min f=x5f x +1.01x +1.02x +1.045x +1.065x = 1 TOC o 1-5 h z 012340.05x + 0.27

10、x + 0.19x + 0.185x + 0.185x k012340.025xx 0.tj0.015x - x 00.055x3- x5 00.026x .x 0 x.三0 (i = 0, 1,，4)由于k是任意给定的收益，到底怎样给定没有一个准则，不同的投资者有不同的收益我们从k=0开始，以步长k=0.002进行循环搜索，编制程序如下：k=0;while k0.5c=0 0 0 0 0 1;Aeq=1 1.01 1.02 1.045 1.065 0;beq=1;A=-0.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.185 0;0 0.025 0 0 0 -1;0 0 0.015 0

11、0 -1;0 0 0 0.055 0 -1;0 0 0 0 0.026 -1; b=-k;0;0;0;0;vlb=0,0,0,0,0,0;vub=;x,val=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub); k x=xR=valplot(k,R .) axis(0 0.25 0 0.015) hold onk=k+0.002;endxlabel(k),ylabel(R);计算结果：kRx0 x1x2x3x40.20000.00590.01070.23500.39170.10680.22600.20200.00600.00000.24080.40130.10940.21890.2

12、0400.00640.00000.25780.42970.11720.16800.02060.00690.00000.27480.45810.12490.11710.02080.00730.00000.29190.48640.13270.0662结果分析：有实验结果和图可得以下结论：1 收益越大，风险也越大。2当投资越分散时，投资者承担的风险越小3曲线上任意一点都表示该投资下的最小风险，选择该投资下的最优组合。4在k=0.206附近有一个转折点，在它的右边，风险随投资的变化明显比左边的快得多，所 以对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择曲线的拐点作为最优投资组合， 大约是R*=0.6

13、%，k*=20%，所对应投资方案为：收益风险度x0 x1x2x3x40.20600.00690.00000.27480.45810.12490.11714.3模型3的求解令x5= max%xj则有x5大于或等于3,中的任意一个，可得模型为：Min f=0.05(s-1) 0.25(s-1) 0.15(s-1) 0.55(s-1) 0.26(s-1) s(x0 x1 x2 x3 x4 x5)f x +1.01x +1.02x +1.045x +1.065x = 1012340.025x x 0t 0.015x2-x5 00.055xx 0350.026x .一 x 0各个投资者的投资偏好不一，所

14、以s没有一个定值，就从s=0开始，以步长k=0.001进行 循环搜索，编制程序如下：i=1;for s=0.1:0.1:1;f=-0.05*(1-s) -0.27*(1-s) -0.19*(1-s) -0.185*(1-s) -0.185*(1-s) s; A=0 0.025 0 0 0 -1;0 00.015 0 0 -1; 0 0 0 0.055 0 -1;0 0 0 00.026-1;b=0 0 0 0;aeq=1 1.01 1.02 1.045 1.065 0;beq=1;lb=zeros(6,1);x,fval,exitflag,options,output=linprog(f,A,

15、b,aeq,beq,lb);xy(i)=-fval;i=i+1;endk=0.1:0.1:1;figure(1);plot(k,y,g-);xlabel(s 权因子)；ylabel(y收益)；title(净收益和风险关于权因子的函数,)计算结果：使用线性加权法分别求解当s=0.11.0时的最优决策及风险和收益如下表：Sis=0.1.0.7s=0.8s=0.9s=1.0S10.99010.36900.23760.0000S20.00000.61500.39600.0000S30.00000.00000.10800.0000S40.00000.00000.22840.0000存银行0.00000.00000.00001.0000净收益0.26730.21650.20140.0500风险0.02480.00920.00590.0000结果分析1净收益和风险是s（权因子）的单调下降函数，即谨慎程度越强，风险越小，但是收益也越 小，具有明确的实际意义。五模型评价模型优点（1）本文通过将风险函数转化为不等式约束，建立了线性规划模型，直接采用程序进行计 算，得出优化决策方案，并且给出了有效投资曲线，根据投资者的主观偏好，选择投资方向。（2）模型一采用线性规划模型，将多目标规划转化为单目标规划，选取了风险上限值来决 定收益，根据收益风险图，投资者可根据自己的喜好来选择投资方向。（3）