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文档简介
1、2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意:1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知函数,其中为自然对数的底数,若存在实数,使成立,则实数的值为( )ABCD2以下四个命题:两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近1;在回归分析中,可用相关指数的值判断
2、拟合效果,越小,模型的拟合效果越好; 若数据的方差为1,则的方差为4;已知一组具有线性相关关系的数据,其线性回归方程,则“满足线性回归方程”是“ ,”的充要条件;其中真命题的个数为( )A4B3C2D13设a,b(0,1)(1,+),则a=b是logab=logba的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4在中,分别为所对的边,若函数有极值点,则的范围是( )ABCD5已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,平面,若球的表面积为,则三棱锥的体积的最大值为( )ABCD6在明代程大位所著的算法统宗中有这样一首歌谣,“放牧人粗心大意,三畜偷偷吃苗青,苗主扣住牛马羊,要求
3、赔偿五斗粮,三畜户主愿赔偿,牛马羊吃得异样马吃了牛的一半,羊吃了马的一半”请问各畜赔多少?它的大意是放牧人放牧时粗心大意,牛、马、羊偷吃青苗,青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食(1斗=10升),三畜的主人同意赔偿,但牛、马、羊吃的青苗量各不相同马吃的青苗是牛的一半,羊吃的青苗是马的一半问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食?( )ABCD7已知双曲线()的渐近线方程为,则( )ABCD8已知双曲线的一条渐近线经过圆的圆心,则双曲线的离心率为( )ABCD29把函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再将图象向右平移个单位,那么所得图象的一个对称中心为( )A
4、BCD10已知函数是上的偶函数,是的奇函数,且,则的值为( )ABCD11记个两两无交集的区间的并集为阶区间如为2阶区间,设函数,则不等式的解集为( )A2阶区间B3阶区间C4阶区间D5阶区间12复数的模为( )AB1C2D二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13若变量x,y满足:,且满足,则参数t的取值范围为_.14已知三棱锥,是边长为4的正三角形,分别是、的中点,为棱上一动点(点除外),若异面直线与所成的角为,且,则_.15已知数列是等比数列,则_.16已知双曲线的左右焦点为,过作轴的垂线与相交于两点,与轴相交于.若,则双曲线的离心率为_.三、解答题:共70分。解答应写出文字说
5、明、证明过程或演算步骤。17(12分)已知直线的参数方程为(,为参数),曲线的极坐标方程为.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,并说明曲线的形状;(2)若直线经过点,求直线被曲线截得的线段的长.18(12分)已知椭圆:()的左、右顶点分别为、,焦距为2,点为椭圆上异于、的点,且直线和的斜率之积为.(1)求的方程;(2)设直线与轴的交点为,过坐标原点作交椭圆于点,试探究是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由.19(12分)分别为的内角的对边.已知.(1)若,求;(2)已知,当的面积取得最大值时,求的周长.20(12分)已知,函数的最小值为1(1)证明:(2)若恒成立,求实数的最大
6、值21(12分)设为抛物线的焦点,为抛物线上的两个动点,为坐标原点.()若点在线段上,求的最小值;()当时,求点纵坐标的取值范围.22(10分)已知各项均为正数的数列的前项和为,且,(,且)(1)求数列的通项公式;(2)证明:当时,参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1A【解析】令f(x)g(x)=x+exa1n(x+1)+4eax,令y=xln(x+1),y=1=,故y=xln(x+1)在(1,1)上是减函数,(1,+)上是增函数,故当x=1时,y有最小值10=1,而exa+4eax4,(当且仅当exa=4eax,即x
7、=a+ln1时,等号成立);故f(x)g(x)3(当且仅当等号同时成立时,等号成立);故x=a+ln1=1,即a=1ln1故选:A2C【解析】根据线性相关性与r的关系进行判断, 根据相关指数的值的性质进行判断,根据方差关系进行判断,根据点满足回归直线方程,但点不一定就是这一组数据的中心点,而回归直线必过样本中心点,可进行判断.【详解】若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r的绝对值越接近于1,故正确;用相关指数的值判断模型的拟合效果,越大,模型的拟合效果越好,故错误;若统计数据的方差为1,则的方差为,故正确;因为点满足回归直线方程,但点不一定就是这一组数据的中心点,即,不一定成立,而回归直
8、线必过样本中心点,所以当,时,点 必满足线性回归方程 ;因此“满足线性回归方程”是“ ,”必要不充分条件.故 错误;所以正确的命题有.故选:C.【点睛】本题考查两个随机变量的相关性,拟合性检验,两个线性相关的变量间的方差的关系,以及两个变量的线性回归方程,注意理解每一个量的定义,属于基础题.3A【解析】根据题意得到充分性,验证a=2,b=12得出不必要,得到答案.【详解】a,b0,11,+,当a=b时,logab=logba,充分性;当logab=logba,取a=2,b=12,验证成立,故不必要.故选:A.【点睛】本题考查了充分不必要条件,意在考查学生的计算能力和推断能力.4D【解析】试题分
9、析:由已知可得有两个不等实根.考点:1、余弦定理;2、函数的极值.【方法点晴】本题考查余弦定理,函数的极值,涉及函数与方程思想思想、数形结合思想和转化化归思想,考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力,综合性较强,属于较难题型. 首先利用转化化归思想将原命题转化为有两个不等实根,从而可得.5B【解析】由题意画出图形,设球0得半径为R,AB=x, AC=y,由球0的表面积为20,可得R2=5,再求出三角形A BC外接圆的半径,利用余弦定理及基本不等式求xy的最大值,代入棱锥体积公式得答案.【详解】设球的半径为,由,得如图:设三角形的外心为,连接,可得,则在中,由正弦定理可得:,即,由余弦定理
10、可得,则三棱锥的体积的最大值为故选:【点睛】本题考查三棱锥的外接球、三棱锥的侧面积、体积,基本不等式等基础知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力,考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法,是中档题6D【解析】设羊户赔粮升,马户赔粮升,牛户赔粮升,易知成等比数列,结合等比数列的性质可求出答案.【详解】设羊户赔粮升,马户赔粮升,牛户赔粮升,则成等比数列,且公比,则,故,.故选:D.【点睛】本题考查数列与数学文化,考查了等比数列的性质,考查了学生的运算求解能力,属于基础题.7A【解析】根据双曲线方程(),确定焦点位置,再根据渐近线方程得到求解.【详解】因为双曲线(),所以,又因为渐近
11、线方程为,所以,所以.故选:A.【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质,还考查了运算求解的能力,属于基础题.8B【解析】求出圆心,代入渐近线方程,找到的关系,即可求解.【详解】解:,一条渐近线,故选:B【点睛】利用的关系求双曲线的离心率,是基础题.9D【解析】试题分析:把函数图象上各点的横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变),可得的图象;再将图象向右平移个单位,可得的图象,那么所得图象的一个对称中心为,故选D.考点:三角函数的图象与性质.10B【解析】根据函数的奇偶性及题设中关于与关系,转换成关于的关系式,通过变形求解出的周期,进而算出.【详解】为上的奇函数,而函数是上的偶函数,故为周期函数,且周期
12、为故选:B【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性,函数的周期性的应用,属于基础题.11D【解析】可判断函数为奇函数,先讨论当且时的导数情况,再画出函数大致图形,将所求区间端点值分别看作对应常函数,再由图形确定具体自变量范围即可求解【详解】当且时,.令得.可得和的变化情况如下表:令,则原不等式变为,由图像知的解集为,再次由图像得到的解集由5段分离的部分组成,所以解集为5阶区间. 故选:D【点睛】本题考查由函数的奇偶性,单调性求解对应自变量范围,导数法研究函数增减性,数形结合思想,转化与化归思想,属于难题12D【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数模的计算公式求解【详解】解:,复数的模为故选
13、:D【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法,属于基础题二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13【解析】根据变量x,y满足:,画出可行域,由,解得直线过定点,直线绕定点旋转与可行域有交点即可,再结合图象利用斜率求解.【详解】由变量x,y满足:,画出可行域如图所示阴影部分,由,整理得,由,解得,所以直线过定点,由,解得,由,解得,要使,则与可行域有交点,当时,满足条件,当时,直线得斜率应该不小于AC,而不大于AB,即或,解得,且,综上:参数t的取值范围为.故答案为:【点睛】本题主要考查线性规划的应用,还考查了转化运算求解的能力,属于中档题.14【解析】取的中点,连
14、接,取的中点,连接,直线与所成的角为,计算,根据余弦定理计算得到答案。【详解】取的中点,连接,依题意可得,所以平面,所以,因为,分别、的中点,所以,因为,所以,所以平面,故,故,故两两垂直。取的中点,连接,因为,所以直线与所成的角为,设,则,所以,化简得,解得,即.故答案为:.【点睛】本题考查了根据异面直线夹角求长度,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.15【解析】根据等比数列通项公式,首先求得,然后求得.【详解】设的公比为,由,得,故.故答案为:【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算,属于基础题.16【解析】由已知可得,结合双曲线的定义可知,结合 ,从而可求出离心率.【详解】解
15、:,,又,则.,即解得,即.故答案为: .【点睛】本题考查了双曲线的定义,考查了双曲线的性质.本题的关键是根据几何关系,分析出.关于圆锥曲线的问题,一般如果能结合几何性质,可大大减少计算量.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 (1) 曲线表示的是焦点为,准线为的抛物线;(2)8.【解析】试题分析:(1)将曲线的极坐标方程为两边同时乘以,利用极坐标与直角坐标之间的关系即可得出其直角坐标方程;(2)由直线经过点,可得的值,再将直线的参数方程代入曲线的标准方程,由直线参数方程的几何意义可得直线被曲线截得的线段的长.试题解析:(1)由可得,即, 曲线表示的是焦点为,准线
16、为的抛物线. (2)将代入,得, , , ,直线的参数方程为 (为参数).将直线的参数方程代入得,由直线参数方程的几何意义可知,. 18(1)(2)是定值,且定值为2【解析】(1)设出点坐标并代入椭圆方程,根据列方程,求得的值,结合求得的值,进而求得椭圆的方程.(2)设出直线的方程,联立直线的方程和椭圆方程,求得点的横坐标,联立直线的方程和椭圆方程,求得,由此化简求得为定值.【详解】(1)已知点在椭圆:()上,可设,即,又,且,可得椭圆的方程为.(2)设直线的方程为:,则直线的方程为.联立直线与椭圆的方程可得:,由,可得,联立直线与椭圆的方程可得:,即,即.即为定值,且定值为2.【点睛】本小题
17、主要考查本小题主要考查椭圆方程的求法,考查椭圆中的定值问题的求解,考查直线和椭圆的位置关系,考查运算求解能力,属于中档题.19(1)(2)【解析】(1)根据正弦定理,将,化角为边,即可求出,再利用正弦定理即可求出;(2)根据,选择,所以当的面积取得最大值时,最大,结合(1)中条件,即可求出最大时,对应的的值,再根据余弦定理求出边,进而得到的周长【详解】(1)由,得,即.因为,所以.由,得.(2)因为,所以,当且仅当时,等号成立.因为的面积.所以当时,的面积取得最大值,此时,则,所以的周长为.【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形,涉及到基本不等式的应用,意在考查学生的转化能力和数学
18、运算能力20(1)2;(2)【解析】分析:(1)将转化为分段函数,求函数的最小值(2)分离参数,利用基本不等式证明即可详解:()证明:,显然在上单调递减,在上单调递增,所以的最小值为,即()因为恒成立,所以恒成立,当且仅当时,取得最小值,所以,即实数的最大值为点睛:本题主要考查含两个绝对值的函数的最值和不等式的应用,第二问恒成立问题分离参数,利用基本不等式求解很关键,属于中档题21()()【解析】(1)由抛物线的性质,当轴时,最小;(2)设点,分别代入抛物线方程和得到三个方程,消去,得到关于的一元二次方程,利用判别式即可求出的范围.【详解】解:(1)由抛物线的标准方程,根据抛物线的性质,当轴时,最小,最小值为,即为4.(2)由题意,设点,其中,.则,因为,所以.由,得,由,且,得,解不等式,得点纵坐标的范围为.【点睛】本题主要考查抛物线的方程和性质和二次方程的解的问题,考查运算能力,此类问
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