吉林省长春市普通高中2018届高三质量监测数学(理)试卷

1、22长春市普通高中2018届高三质量监测（三）数学理科一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合Ax|x|1，Bx|x(x3)0，则AUBA.(1,0)B.(0,1)C.(1,3)D.(1,3)2.若复数z1i，则|z|1iB.0C.A.11D.3.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”其中的“筹”原意是指孙子算经中记载的算筹.古代用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行计算，算筹的摆放形式有横纵两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵

2、横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推.例如3266用算筹表示就是123456789，则8771用算筹可表示为纵式横式中国古代的算筹数码A.B.C.D.4.函数f(x)1x2tanxx的部分图象大致为3)的图象向右平移a个单位得到函数g(x)cos2x的图象,则a的值可5.将函数f(x)sin(2x以为A.51117B.C.D.121212126.如图所示的程序框图是为了求出满足2nn228的最小偶数n,那么空白框中的语句及最后输出的n值分别是开始输入n0A2nn2A28是否输出n结束A.nn1和6B.nn2和6C.nn1和8D.nn2和87.6本不同的书

3、摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（）种A.24B.36C.48D.608.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是132侧视图3C.2342正视图2主视图A.43B.103D.8339.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若2bcosBacosCccosA，b2，则ABC面积的最大值是A.1B.3C.2D.410.已知边长为2的等边三角形ABC，D为BC的中点，以AD为折痕，将ABC折成直二面角，则过A,B,C,D四点的球的表面积为A.2B.3C.4D.511.已知双曲线x2y2m2m

4、211的左右两个焦点分别为F和F，若其右支上存在一点P满足12PFPF，使得PFF的面积为3，则该双曲线的离心率为1212B.C.2D.3A.5722213.设实数x,y满足约束条件4xy0，则zx2y的最大值为_.画散点图分析可知：y与x线性相关，且求得回归方程为yx1，则m的值为_.（精确1x15.已知函数f(x)2，若f(a)2，则实数a的取值范围是_.16.r已知腰长为uuur的uuur腰直角uuurABCr中，M为斜边AB的中点，点P为该平面内一动点，若uuu等uuuu12.已知定义域为R的函数f(x)的图象经过点(1,1)，且对xR，都有f(x)2，则不等式f(log|3x1|)3

5、log|3x1|的解集为2A.(0,)B.(,0)U(0,1)C.(,1)D.(1,0)U(0,3).二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上0yxy514.已知x、y取值如下表：x01456y1.3m3m5.67.4$到0.1）(),x0log2x,x02|PC|2，则(PAPB4)(PCPM)的最小值_.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）已知数列a的前n项和为S，且Sn2n，在正项等比

6、数列b中，ba,ba.nnnn2245（1）求a和b的通项公式；nn（2）设cab，求数列c的前n项和T.nnnnn18.（本小题满分12分）树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组15,25)，第2组25,35)，第3组35,45)，第4组45,55)，第5组55,65，得到的频率分布直方图如图所示频率/组距a0.0300.0150.010O

7、152535455565年龄（岁）(1)求a的值(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人进行问卷调查，求在第1组已被抽到1人的前提下，第3组被抽到2人的概率；（3）若从所有参与调查的人中任意选出3人，记关注“生态文明”的人数为X，求X的分布列与期望.19.（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA平面ABCD，E,F分别是线段AD,PB的中点，PAAB1.DEPACFB（1）求证：EF平面DCP；（2）求平面EFC与平面PDC所成锐二面角的余弦值.20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知圆C的方程为(x

8、1)2y29，圆C的方程为(x1)2y21，12动圆C与圆C内切且与圆C外切.12(1)求动圆圆心C的轨迹E的方程；(2)已知P(2,0)与Q(2,0)为平面内的两个定点，过(1,0)点的直线l与轨迹E交于A,B两点，求四边形APBQ面积的最大值.21.（本小题满分12分）已知函数f(x)x24x5aex.23（1）若f(x)在R上是单调递增函数，求a的取值范围；1（2）设g(x)exf(x)，当m时，若g(x)g(x)2g(m)，其中xmx，求证：1212xx2m.12（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4

9、4：坐标系与参数方程选讲.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：14cos(0)，C：cos3.2uuur2uuur（1）求C与C的交点的极坐标；（2）设点Q在C上，OQQP，求动点P的极坐标方程.12123.（本小题满分10分）选修45：不等式选讲.已知函数f(x)|2x|2x3|m,mR.(1)当m2时，求不等式f(x)3的解集；(2)对于x(,0)，都有f(x)x2x恒成立，求m的取值范围.2)，tanx0.故选D.12k,kZ.故选C.长春市普通高中2018届高三质量监测（三）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小

10、题5分，共60分）1.C【命题意图】本题考查集合的运算.【试题解析】CAx|1x1,Bx|0 x3,AUB(1,3).故选C.2.A【命题意图】本题考查复数.【试题解析】Azi,|z|1.故选A.3.C【命题意图】本题考查中华传统文化中的数学问题【试题解析】C由算筹含义.故选C.4.D【命题意图】本题主要考查函数的图象及性质.【试题解析】D由函数是偶函数，排除A，C，当x(0,.5.C【命题意图】本题考查三角函数的相关知识【试题解析】C由题意知，a6.D【命题意图】本题主要考查算法的相关知识.【试题解析】D根据程序框图.故选D7.A【命题意图】本题考查计数原理的应用.【试题解析】A由题意知A2

11、A3A224.故选A.232.8.B【命题意图】本题主要考查三视图问题【试题解析】B由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥，110V43233.故选B.339.B【命题意图】本题主要考查解三角形的相关知识.【试题解析】B由题意知B60，由余弦定理，aca2c24，故aca2c242ac4，有ac4，故SABC12acsinB3.故选B.10.D【命题意图】本题主要考查球的相关问题【试题解析】D折后的图形可放到一个长方体中，其体对角线长为1+1+3=5，接球的半径为5，其表面积为5.故选D.211.B【命题意图】本题考查双曲线的相关知识.故其外【试题解析】B由双曲线可知S1PFF2m213

12、,m24，从而e72.故选B.12.B【命题意图】本题是考查导数在研究函数单调性上的应用.【试题解析】B令F(x)f(x)2x，有F(x)f(x)20，所以F(x)在定义域内单调递增，由f(1)1，得F(1)f(1)23，因为f(log|3x1|)3log22|3x1|等价于【试题解析】当x0,()x2,x1，当x0,logx2,x4，故(,1U4,).22n1，n2bf(log|3x1|)2log|3x1|3，令tlog|3x1|，有f(t)2t3，则有t1，即222log|3x1|1，2从而0|3x1|2，解得x1,且x0.故选B.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.9

13、【命题意图】本题考查线性规划问题.【试题解析】由可行域可确定目标函数在(1,4)处取最大值9.14.1.7【命题意图】本题考查回归方程的相关知识.【试题解析】将x3.2代入回归方程为yx1可得y4.2，则4m6.7，解得m1.675，即精确到0.1后m的值约1.7.15.(,1U4,)【命题意图】本题考查分段函数的相关知识.1216.48322【命题意图】本题考查平面向量的相关知识.【试题解析】由题意可知其最小值为48322.三、解答题17.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查数列的基本方法及数列求和.【试题解析】解：（1）QSn2n，令n1，a0n1aSSnnn1a2n1又Q数列b为等比

14、，ba2，ba8nn2245b4q24，又各项均为正q2，b2n1n22212n1PABC3PB|A（2）由（1）得：cn12nnT021223123Ln12n122223Ln12nn2T123224Ln22nn12n1nT222324L2nn12n1nn12n12n1n12n1412Tn22n14n18.(本小题满分12分).【命题意图】本小题主要考查学生对频率分布直方图的理解以及分布列的相关知识【试题解析】解：（1）由100.0100.015a0.0300.0101，得a0.035，（2）第1，2，3组的人数分别为20人，30人，70人，从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，则第1

15、，2，3组抽取的人数分别为2人，3人，7人.设从12人中随机抽取3人，第1组已被抽到1人为事件A，第3组抽到2人为事件B，则C1C2272112.P(A)C1C2C2C150210210C312（3）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注“生态文明”的概率为P45,X的可能取值为0，1，2，3.PX0C0(1)35125，PX1C1()1(1)23414412355125PX2C2()2(1)1，PX3C3()3551255125444846433所以X的分布列为X2103QXB(3,)，EXnp3.E为DA中点，ABCD为矩形，DE/CB,DECB，P11248641251251251254

16、41255519.(本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识.本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】答案：（1）取PC中点M，连接DM,MF1M,F分别是PC,PB中点，MF/CB,MFCB，212MF/DE,MFDE，四边形DEFM为平行四边形EF/DM,EF平面PDC，DM平面PDC，EF/平面RDC则P1,0,0,D0,0,1,C0,1,1,E(0,0,),F(,0)uruuuruuur设平面EFC法向量为n(x,y,z)，EF(,)，FC(,1)22222EFn02x2yz0FCn0uuruuuruuur则，即，取n1,0

17、,1PDn0 xz0 xyz0PCn0uruururuur31102157nn|n|n|14214（2）PA平面ABC，且四边形ABCD是正方形，AD,AB,AP两两垂直，以A为原点，AP，AB，AD所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系Axyz111222111111xyz01则，即11，取n3,1,211则设平面PDC法向量为n(x,y,z)，PD(1,0,1)，PC(1,1,1)22222cosn,nur1uur.1212平面EFC与平面PDC所成锐二面角的余弦值为5714.20.(本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，考查学生的逻辑思维能力和

18、运算求解能力.【试题解析】解：(1)设动圆C的半径为r，由题意知|CC|3r,|CC|1r12从而有|CC|CC|4，故轨迹E为以C,C为焦点，长轴长为4的椭圆，1212并去除点(2,0)，从而轨迹E的方程为x2y21(x2).43（2）设l的方程为xmy1，联立4x2y231，xmy1消去x得(3m24)y26mx90，设点A(x,y),B(x,y)，1122,yy,则|AB|1m23m243m24有yy126m912121m212(1m2)3m243m24，点P(2,0)到直线l的距离为，点Q(2,0)到直线l的距离为，311m21m2112(1m2)4241m2从而四边形APBQ的面积S

19、1m223m243m243t1令t1m2,t1，有S24t243t21t1，函数y3t在1,)上单调递增，t6，即四边形APBQ面积的最大值为6.有3t14，故St24t243t3t211t21.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：（1）Qfx的定义域为xR且单调递增，在xR上，f(x)2x4aex0恒成立，即：a(42x)exx4x5ex1ax24x5ex2a2m24m5em2ax4x5ex1x24x5ex22m24m5emxx24x5exxR，则xx2m，设h(x)(42x)exxR，h(x)(22x)ex，当x(,1)时h(x)0，h(x)在x(,1)上为增函数，当x1,)时h(x)0，h(x)在x1,)上为减函数，h(x)h(1)2eQa(42x)ex，a2e，即a2e,).maxmax（2）Qgxexfxx24x5exaQgxgx2gmm1,，122112221122设12xx12ex0 x在xR上递增且10令x,m，xm,12设Fxmxmx，x0,Fxmx12emxmx12emxQx0emxemx0，mx12mx122m22x0Fx0，Fx在x0,上递增，FxF02m，