中考数学 压轴题一元二次方程精选解析(一)

1、2013中考数学压轴题一元二次方程精选解析(一)例1已知ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x 2( 2k3 )xk 23k20的两个实数根，第三边长为5（1）当k为何值时，ABC是以BC为斜边的直角三角形；（2）当k为何值时，ABC是等腰三角形，并求ABC的周长解析：（1）AB、AC方程x 2( 2k3 )xk 23k20的两个实数根ABAC2k3，ABACk 23k2ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC5AB 2AC 2BC 2，( ABAC )2ABAC25即(2k3)22( k 23k2 )25k 23k100，k15，k,22当k5时，方程为x 27x120，解得x1

2、3，x24（均不合题意，舍去）当k2时，方程为x 27x120，解得x13，x24当k2时，ABC是以BC为斜边的直角三角形（2）若ABC是等腰三角形，则有ABAC；ABBC；ACBC三种情况( 2k3 )24( k 23k2 )10ABAC，故第种情况不成立当ABBC或ACBC时，5是方程x 2( 2k3 )xk 23k20的根5 25( 2k3 )k 23k20即k 27k120，解得k13，k24当k3时，方程为x 29x200，解得x14，x25此时ABC的三边长分别为5、5、4，周长为14当k4时，方程为x 211x300，解得x15，x26此时ABC的三边长分别为5、5、6，周长为

3、16例2已知ABC的三边长为a、b、c，关于x的方程x 22( ab )xc 22ab0有两个相等的实数根，又sinA、sinB是关于x的方程( m5 )x 2( 2m5 )xm80的两个实数根（1）求m的值；（2）若ABC的外接圆面积为25，求ABC的内接正方形的边长解析：（1）关于x的方程x 22( ab )xc 22ab0有两个相等的实数根4( ab )24( c 22ab )0，即a 2b 2c 2ABC是直角三角形sinA、sinB是关于x的方程( m5 )x 2( 2m5 )xm80的两个实数根sinAsinB EQ F(2m5, m5 ) ，sinAsinB EQ F(m8, m

4、5 )在RtABC中，sin2Asin2Bsin2Acos2A1( sinAsinB )22sinAsinB1即( EQ F(2m5, m5 ) )22 EQ F(m8, m5 ) 1m 224m800，解得m14，m220当m4时，方程为9x 23x40，解得x1 EQ F(3 eq r(,153), 18 ) ，x2 EQ F(3 eq r(,153), 18 )0在RtABC中，sinA0，sinB0m4不合题意，舍去当m20时，方程为25x 235x120，解得x1 EQ F(3, 5 ) ，x2 EQ F(4, 5 ) ，符合题意ABCttm20（2）ABC的外接圆面积为25外接圆半

5、径为5，c10由（1）知，sinA EQ F(3, 5 ) 或sinA EQ F(4, 5 )ABC的两条直角边长分别为6，8ABCttt设ABC的内接正方形的边长为t若正方形的两边在ABC的两直角边上，则 EQ F(8t, 8 ) EQ F(t, 6 )解得t EQ F(24, 7 )若正方形的一条边在ABC的斜边上，易得斜边上的高为 EQ F(24, 5 ) ，则 EQ F(t, 10 ) EQ F( EQ F(24, 5 ) t, EQ F(24, 5 ) )解得t EQ F(120, 37 )例3已知关于x的方程x 2( mn1)xm0（n0）的两个实数根为、，且（1）试用含有、的代数

6、式表示m和n；（2）求证：1；（3）若点P（，）在ABC的三条边上运动，且ABC顶点的坐标分别为A（1，2），B（ EQ F(1, 2 ) ，1），C（1，1），问是否存在点P，使mn EQ F(5, 4 ) ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解析：（1）解：、为方程x 2( mn1)xm0（n0）的两个实数根( mn1)24m( mn1)24n0，且mn1，mm，nm11 2分（2）证明：( 1 )( 1 )1( )n0（n0），又1 4分（3）解：要使mn EQ F(5, 4 ) 成立，只需mn1 EQ F(9, 4 )当点P（，）在BC边上运动时由B（ EQ F(1, 2 )

7、 ，1），C（1，1），得 EQ F(1, 2 )1，1而 EQ F(9, 4 ) EQ F(9, 4 ) 1 EQ F(5, 4 ) 1在BC边上不存在满足条件的点 6分当点P（，）在AC边上运动时由A（1，2），C（1，1），得1，12此时 EQ F(9, 4 ) EQ F(9, 4 ) 1 EQ F(5, 4 ) ，又1 EQ F(5, 4 ) 2在AC边上存在满足条件的点，其坐标为（1， EQ F(5, 4 )）8分当点P（，）在AB边上运动时由A（1，2），B（ EQ F(1, 2 ) ，1），得 EQ F(1, 2 )1，12由对应线段成比例得 EQ F(1, 1 EQ F(1, 2 ) ) EQ F(2, 21 )，2由 eq blc( eq aalco1vs4( EQ F(9, 4 ),2) 解得 EQ F(3, 4 ) ， EQ F(3, 2 )又 EQ F(1, 2 ) EQ F(3, 4 ) 1，1 EQ F(3, 2 ) 2在AB边上存在满足条件的点，其坐标为（ EQ F(