福建省高考数学试卷(理科)及解析

1、 2012年福建省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出分四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（2012福建）若复数z满足zi=1i，则z等于（）A1iB1iC1+iD1+i2（2012福建）等差数列an中，a1+a5=10，a4=7，则数列an的公差为（）A1B2C3D43（2012福建）下列命题中，真命题是（）Ax0R，0BxR，2xx2Ca+b=0的充要条件是=1Da1，b1是ab1的充分条件4（2012福建）一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（）A球B三棱锥C正方体D圆柱5（2012福建）下列不等式一定成立的是

2、（）Alg（x2+）lgx（x0）Bsinx+2（xkx，kZ）Cx2+12|x|（xR）D（xR）6（2012福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）ABCD7（2012福建）设函数则下列结论错误的是（）AD（x）的值域为0，1BD（x）是偶函数CD（x）不是周期函数DD（x）不是单调函数8（2012福建）已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）ABC3D59（2012福建）若函数y=2x图象上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为（）AB1CD210（2012福建）函数f（x）在a

3、，b上有定义，若对任意x1，x2a，b，有则称f（x）在a，b上具有性质P设f（x）在1，3上具有性质P，现给出如下命题：f（x）在1，3上的图象是连续不断的；f（x2）在1，上具有性质P；若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x1，3；对任意x1，x2，x3，x41，3，有f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）其中真命题的序号是（）ABCD二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置11（2012福建）（a+x）4的展开式中x3的系数等于8，则实数a=_12（2012福建）阅读图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的s值等于_13（2012

4、福建）已知ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_14（2012福建）数列an的通项公式an=ncos+1，前n项和为Sn，则S2012=_15（2012福建）对于实数a和b，定义运算“”：a*b=设f（x）=（2x1）（x1），且关于x的方程为f（x）=m（mR）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是_三、解答题：本大题共5小题，共80分，解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤16（2012福建）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已

5、售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下：品牌 甲 乙首次出现故障时间x（年）0 x11x2x20 x2x2轿车数量（辆）2345545每辆利润（万元）1231.820.9将频率视为概率，解答下列问题：（I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；（II）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；（III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由17（2012福建）某同学在一次

6、研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数（1）sin213+cos217sin13cos17（2）sin215+cos215sin15cos15（3）sin218+cos212sin18cos12（4）sin2（18）+cos248sin2（18）cos48（5）sin2（25）+cos255sin2（25）cos55（）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数（）根据（）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论18（2012福建）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中AA1=AD=1，E为CD中点（）求证：B1EAD1；（）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平

7、面B1AE？若存在，求AP的行；若存在，求AP的长；若不存在，说明理由（）若二面角AB1EA1的大小为30，求AB的长19（2012福建）如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=过F1的直线交椭圆于A、B两点，且ABF2的周长为8（）求椭圆E的方程（）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相较于点Q试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由20（2012福建）已知函数f（x）=ex+ax2ex，aR（）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；（

8、）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P四、选考题（题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分。如果多做，则按所做的前两题计分。）21（2012福建）（1）选修42：矩阵与变换设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵A=（）（a0）对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1（）求实数a，b的值（）求A2的逆矩阵22（2012福建）选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（），圆C的参数方程（为参数）

9、（）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；（）判断直线l与圆C的位置关系23（2012福建）选修45：不等式选讲已知函数f（x）=m|x2|，mR，且f（x+2）0的解集为1，1（）求m的值；（）若a，b，cR，且，求证：a+2b+3c92012年福建省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出分四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（2012福建）若复数z满足zi=1i，则z等于（）A1iB1iC1+iD1+i考点：复数代数形式的乘除运算。专题：计算题。分析：由复数z满足zi=1i，可得z=，运算求得结果解答：解：复数z

10、满足zi=1i，z=1i，故选A点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题2（2012福建）等差数列an中，a1+a5=10，a4=7，则数列an的公差为（）A1B2C3D4考点：等差数列的通项公式。专题：计算题。分析：设数列an的公差为d，则由题意可得 2a1+4d=10，a1+3d=7，由此解得d的值解答：解：设数列an的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得 2a1+4d=10，a1+3d=7，解得 d=2，故选B点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题3（2012福建）下列命题中，真

11、命题是（）Ax0R，0BxR，2xx2Ca+b=0的充要条件是=1Da1，b1是ab1的充分条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；全称命题；特称命题；命题的真假判断与应用。专题：计算题。分析：利用指数函数的单调性判断A的正误；通过特例判断，全称命题判断B的正误；通过充要条件判断C、D的正误；解答：解：因为y=ex0，xR恒成立，所以A不正确；因为x=5时25（5）2，所以xR，2xx2不成立a=b=0时a+b=0，但是没有意义，所以C不正确；a1，b1是ab1的充分条件，显然正确故选D点评：本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，全称命题，特称命题，命题的真假判断与应用，考查基本知

12、识的理解与应用4（2012福建）一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（）A球B三棱锥C正方体D圆柱考点：由三视图还原实物图。专题：作图题。分析：利用简单几何体的结构特征以及三视图的定义，容易判断圆柱的三视图不可能形状相同，大小均等解答：解：球的三视图均为圆，且大小均等；正四面体的三视图可以形状都相同，大小均等；正方体的三视图可以是三个大小均等的正方形；圆柱的三视图中必有一个为圆，其他两个为矩形故一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是圆柱故选 D点评：本题主要考查了简单几何体的结构特征，简单几何体的三视图的形状大小，空间想象能力，属基础题5（2

13、012福建）下列不等式一定成立的是（）Alg（x2+）lgx（x0）Bsinx+2（xkx，kZ）Cx2+12|x|（xR）D（xR）考点：不等式比较大小。专题：探究型。分析：由题意，可对四个选项逐一验证，其中C选项用配方法验证，A，B，D三个选项代入特殊值排除即可解答：解：A选项不成立，当x=时，不等式两边相等；B选项不成立，这是因为正弦值可以是负的，故不一定能得出sinx+2；C选项是正确的，这是因为x2+12|x|（xR）（|x|1）20，D选项不正确，令x=0，则不等式左右两边都为1，不等式不成立综上，C选项是正确的故选C点评：本题考查不等式大小的比较，不等式大小比较是高考中的常考题，

14、类型较多，根据题设选择比较的方法是解题的关键6（2012福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）ABCD考点：定积分在求面积中的应用；几何概型。专题：计算题。分析：根据题意，易得正方形OABC的面积，观察图形可得，阴影部分由函数y=x与y=围成，由定积分公式，计算可得阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得答案解答：解：根据题意，正方形OABC的面积为11=1，而阴影部分由函数y=x与y=围成，其面积为01（x）dx=（）|01=，则正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为=；故选C点评：本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积

15、中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积7（2012福建）设函数则下列结论错误的是（）AD（x）的值域为0，1BD（x）是偶函数CD（x）不是周期函数DD（x）不是单调函数考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法。专题：证明题。分析：由函数值域的定义易知A结论正确；由函数单调性定义，易知D结论正确；由偶函数定义可证明B结论正确；由函数周期性定义可判断D结论错误，故选D解答：解：A显然正确；=D（x），D（x）是偶函，B正确；D（x+1）=D（x），T=1为其一个周期，故C错误；D（）=0，D（2）=1，D（）=0，显然函数D（x）不是单调函数，D正确；故选 C点评：本题主要考查了函数的定义，偶

16、函数的定义和判断方法，函数周期性的定义和判断方法，函数单调性的意义，属基础题8（2012福建）已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）ABC3D5考点：双曲线的简单性质；抛物线的简单性质。专题：计算题。分析：确定抛物线y2=12x的焦点坐标，从而可得双曲线的一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，即可求双曲线的焦点到其渐近线的距离解答：解：抛物线y2=12x的焦点坐标为（3，0）双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合4+b2=9b2=5双曲线的一条渐近线方程为，即双曲线的焦点到其渐近线的距离等于故选A点评：本题考查抛物线的性质，考查时却显

17、得性质，确定双曲线的渐近线方程是关键9（2012福建）若函数y=2x图象上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为（）AB1CD2考点：简单线性规划。专题：计算题；数形结合。分析：根据题意，由线性规划知识分析可得束条件确定的区域，由指数函数的性质分析可得函数y=2x与边界直线x+y=3交与点（1，2），结合图形分析可得m的最大值，即可得答案解答：解：约束条件确定的区域为如图阴影部分，即ABC的边与其内部区域，分析可得函数y=2x与边界直线x+y=3交与点（1，2），若函数y=2x图象上存在点（x，y）满足约束条件，即y=2x图象上存在点在阴影部分内部，则必有m1，即实数m的最大值为1，

18、故选B点评：本题考查线性规划的应用与指数函数的性质，关键是得到函数y=2x与阴影部分边界直线的交点10（2012福建）函数f（x）在a，b上有定义，若对任意x1，x2a，b，有则称f（x）在a，b上具有性质P设f（x）在1，3上具有性质P，现给出如下命题：f（x）在1，3上的图象是连续不断的；f（x2）在1，上具有性质P；若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x1，3；对任意x1，x2，x3，x41，3，有f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）其中真命题的序号是（）ABCD考点：利用导数求闭区间上函数的最值；抽象函数及其应用；函数的连续性。专题：新定义。分析：根据题设条件，

19、分别举出反例，说明和都是错误的；同时证明和是正确的解答：解：在中，反例：f（x）=在1，3上满足性质P，但f（x）=在1，3上不是连续函数，故不成立；在中，反例：f（x）=x在1，3上满足性质P，但f（x2）=x2在1，上不满足性质P，故不成立；在中：在1，3上，f（2）=f（），故f（x）=1，对任意的x1，x21，3，f（x）=1，故成立；在中，对任意x1，x2，x3，x41，3，有=f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4），f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4），故成立故选D点评：本题考查的知识点为函数定义的理解，说明一个结论错误时，只需举出反例即可说明一个结论正确时，要证

20、明对所有的情况都成立二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置11（2012福建）（a+x）4的展开式中x3的系数等于8，则实数a=2考点：二项式定理的应用。专题：计算题。分析：根据（a+x）4的展开式的通项公式为 Tr+1= a4r xr，令r=3可得（a+x）4的展开式中x3的系数等于 a=8，由此解得a的值解答：解：（a+x）4的展开式的通项公式为 Tr+1= a4r xr，令r=3可得（a+x）4的展开式中x3的系数等于 a=8，解得a=2，故答案为 2点评：本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题12（2012福

21、建）阅读图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的s值等于3考点：循环结构。专题：计算题。分析：直接利用循环框图，计算循环的结果，当k=4时，推出循环，输出结果解答：解：由题意可知第1次判断后，s=1，k=2，第2次判断循环，s=0，k=3，第3次判断循环，s=3，k=4，不满足判断框的条件，推出循环，输出上故答案为：3点评：本题考查循环结构的作用，注意判断框的条件以及循环后的结果，考查计算能力13（2012福建）已知ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为考点：余弦定理；等比数列的性质。专题：计算题。分析：根据三角形三边长成公比为的等比数列，根据等比数列的性质设出三角形的三边为a

22、，a，2a，根据2a为最大边，利用大边对大角可得出2a所对的角最大，设为，利用余弦定理表示出cos，将设出的三边长代入，即可求出cos的值解答：解：根据题意设三角形的三边长分别为a，a，2a，2aaa，2a所对的角为最大角，设为，则根据余弦定理得：cos=故答案为：点评：此题考查了余弦定理，等比数列的性质，以及三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键14（2012福建）数列an的通项公式an=ncos+1，前n项和为Sn，则S2012=3018考点：数列的求和。专题：计算题。分析：先求出cos的规律，进而得到ncos的规律，即可求出数列的规律即可求出结论解答：解：因为cos=0，1，0

23、，1，0，1，0，1；ncos=0，2，0，4，0，6，0，8；ncos的每四项和为2；数列an的每四项和为：2+4=6而20124=503；S2012=5036=3018故答案为 3018点评：本题主要考察数列的求和，解决本题的关键在于求出数列各项的规律15（2012福建）对于实数a和b，定义运算“”：a*b=设f（x）=（2x1）（x1），且关于x的方程为f（x）=m（mR）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是考点：根的存在性及根的个数判断；分段函数的解析式求法及其图象的作法。专题：新定义。分析：根据所给的新定义，写出函数的分段形式的解析式，画出函数的图象，

24、在图象上可以看出当直线与函数的图象有三个不同的交点时m的取值，根据一元二次方程的根与系数之间的关系，写出两个根的积和第三个根，表示出三个根之积，根据导数判断出函数的单调性，求出关于m的函数的值域，得到结果解答：解：2x1x1时，有x0，根据题意得f（x）=即f（x）=画出函数的图象从图象上观察当关于x的方程为f（x）=m（mR）恰有三个互不相等的实数根时，m的取值范围是（0，），当x2+x=m时，有x1x2=m，当2x2x=m时，由于直线与抛物线的交点在y轴的左边，得到，x1x2x3=m（）=，m（0，）令y=，则，又在m（0，）上是增函数，故有h（m）h（0）=10在m（0，）上成立，函数y

25、=在这个区间（0，）上是一个减函数，函数的值域是（f（），f（0），即故答案为：点评：本题考查分段函数的图象，考查新定义问题，这种问题解决的关键是根据新定义写出符合条件的解析式，本题是一个综合问题，涉及到导数判断函数的单调性，本题是一个中档题目三、解答题：本大题共5小题，共80分，解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤16（2012福建）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下：品牌 甲 乙首次出现故障时间x（年）0 x11x2x20

26、 x2x2轿车数量（辆）2345545每辆利润（万元）1231.820.9将频率视为概率，解答下列问题：（I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；（II）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；（III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列。专题：计算题。分析：（I）根据保修期为2年，可知甲品牌轿车首次

27、出现故障发生在保修期内的轿车数量为2+3，由此可求其功率；（II）求出概率，可得X1、X2的分布列；（III）由（II），计算期为E（X1）=1+2+3=2.86（万元 ），E（X2）=1.8+2.9=2.79（万元 ），比较期望可得结论解答：解：（I）设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P（A）=（II）依题意得，X1的分布列为 X1 1 23 PX2的分布列为 X2 1.8 2.9 P（III）由（II）得E（X1）=1+2+3=2.86（万元 ）E（X2）=1.8+2.9=2.79（万元 ）E（X1）E（X2），应生产甲品牌轿车点评：本题考查概率的求解，考查分布列与期望

28、，解题的关键是求出概率，属于基础题17（2012福建）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数（1）sin213+cos217sin13cos17（2）sin215+cos215sin15cos15（3）sin218+cos212sin18cos12（4）sin2（18）+cos248sin2（18）cos48（5）sin2（25）+cos255sin2（25）cos55（）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数（）根据（）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论考点：分析法和综合法；归纳推理。专题：计算题。分析：（）选择（2），由sin215+cos

29、215sin15cos15=1sin30=，可得这个常数的值（）推广，得到三角恒等式sin2+cos2（30）sincos（30）=证明方法一：直接利用两角差的余弦公式代入等式的左边，化简可得结果证明方法二：利用半角公式及两角差的余弦公式把要求的式子化为 +sin（cos30cos+sin30sin），即 1+cos2+sin2sin2，化简可得结果解答：解：选择（2），计算如下：sin215+cos215sin15cos15=1sin30=，故 这个常数为（）根据（）的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式sin2+cos2（30）sincos（30）=证明：（方法一）sin2+cos

30、2（30）sincos（30）=sin2+sin（cos30cos+sin30sin）=sin2+cos2+sin2+sincossincossin2=sin2+cos2=（方法二）sin2+cos2（30）sincos（30）=+sin（cos30cos+sin30sin）=1+（cos60cos2+sin60sin2）sin2sin2=1+cos2+sin2sin2=1+=点评：本题主要考查两角差的余弦公式，二倍角公式及半角公式的应用，考查归纳推理以及计算能力，属于中档题18（2012福建）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中AA1=AD=1，E为CD中点（）求证：B1EAD1；（）在

31、棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的行；若存在，求AP的长；若不存在，说明理由（）若二面角AB1EA1的大小为30，求AB的长考点：用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定。专题：证明题；综合题；数形结合；转化思想。分析：（）由题意及所给的图形，可以A为原点，的方向为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系，设AB=a，给出图形中各点的坐标，可求出向量与的坐标，验证其数量积为0即可证出两线段垂直（II）由题意，可先假设在棱AA1上存在一点P（0，0，t），使得DP平面B1AE，求出平面B1AE法向量，可法向量与直线DP的方向向

32、量内积为0，由此方程解出t的值，若能解出，则说明存在，若不存在符合条件的t的值，说明不存在这样的点P满足题意（III）由题设条件，可求面夹二面角的两个平面的法向量，利用两平面的夹角为30建立关于a的方程，解出a的值即可得出AB的长解答：解：（I）以A为原点，的方向为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，设AB=a，则A（0，0，0），D（0，1，0），D1（0，1，1），E（，1，0），B1（a，0，1）故=（0，1，1），=（，1，1），=（a，0，1），=（，1，0），=11=0B1EAD1；（II）假设在棱AA1上存在一点P（0，0，t），使得DP平面B1AE此时=（0，1，

33、t）又设平面B1AE的法向量=（x，y，z）平面B1AE，B1A，AE，得，取x=1，得平面B1AE的一个法向量=（1，a）要使DP平面B1AE，只要，即有=0，有此得at=0，解得t=，即P（0，0，），又DP平面B1AE，存在点P，满足DP平面B1AE，此时AP=（III）连接A1D，B1C，由长方体ABCDA1B1C1D1及AA1=AD=1，得AD1A1DB1CA1D，AD1B1C由（I）知，B1EAD1，且B1CB1E=B1AD1平面DCB1A1，AD1是平面B1A1E的一个法向量，此时=（0，1，1）设与所成的角为，则cos=二面角AB1EA1的大小为30，|cos|=cos30=即

34、=，解得a=2，即AB的长为2点评：本题考查利用空间向量这一工具求二面角，证明线面平行及线线垂直，解题的关键是建立恰当的坐标系及空间位置关系与向量的对应，此类解题，方法简单思维量小，但计算量大，易因为计算错误导致解题失败，解题时要严谨，认真，利用空间向量求解立体几何题是近几年高考的热点，必考内容，学习时要好好把握19（2012福建）如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=过F1的直线交椭圆于A、B两点，且ABF2的周长为8（）求椭圆E的方程（）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相较于点Q试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过

35、点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程。专题：综合题。分析：（）根据过F1的直线交椭圆于A、B两点，且ABF2的周长为8，可得4a=8，即a=2，利用e=，b2=a2c2=3，即可求得椭圆E的方程（）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m212=0，利用动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0），可得m0，=0，进而可得P（，），由得Q（4，4k+m），取k=0，m=；k=，m=2，猜想满足条件的点M存在，只能是M（1，0），再进行证明即可解答：解：（）过F1的直线交椭圆于A、B两点，且ABF2的周长为84a

36、=8，a=2e=，c=1b2=a2c2=3椭圆E的方程为（）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m212=0动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0）m0，=0，（8km）24（4k2+3）（4m212）=04k2m2+3=0此时x0=，y0=，即P（，）由得Q（4，4k+m）取k=0，m=，此时P（0，），Q（4，），以PQ为直径的圆为（x2）2+（y）2=4，交x轴于点M1（1，0）或M2（3，0）取k=，m=2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x）2+（y）2=，交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）故若满足条件的点M存在，只能是M（1，

37、0），证明如下故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M（1，0）点评：本题主要考查抛物线的定义域性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，考查化归思想，属于中档题20（2012福建）已知函数f（x）=ex+ax2ex，aR（）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；（）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性。专题：综合题。分析：（）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线平行于x轴，可求a的值，令f（x）=

38、exe0，可得函数f（x）的单调减区间；令f（x）0，可得单调增区间；（）设点P（x0，f（x0），曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=f（x0）（xx0）+f（x0），令g（x）=f（x）f（x0）（xx0）+f（x0），曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P等价于g（x）有唯一零点，求出导函数，再进行分类讨论：（1）若a0，g（x）只有唯一零点x=x0，由P的任意性a0不合题意；（2）若a0，令h（x）=，则h（x0）=0，h（x）=ex+2a，可得函数的单调性，进而可研究g（x）的零点，由此可得结论解答：解：（）求导函数，可得f（x）=ex+2axe曲线y=f（x）在点（1，f（1

39、）处的切线平行于x轴，k=2a=0，a=0f（x）=exex，f（x）=exe令f（x）=exe0，可得x1；令f（x）0，可得x1；函数f（x）的单调减区间为（，1），单调增区间为（1，+）（）设点P（x0，f（x0），曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=f（x0）（xx0）+f（x0）令g（x）=f（x）f（x0）（xx0）+f（x0）曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P，g（x）有唯一零点g（x0）=0，g（x）=（1）若a0，当xx0时，g（x）0，xx0时，g（x）g（x0）=0当xx0时，g（x）0，xx0时，g（x）g（x0）=0，故g（x）只有唯一零点x=x0，由P的任

40、意性a0不合题意；（2）若a0，令h（x）=，则h（x0）=0，h（x）=ex+2a令h（x）=0，则x=ln（2a），x（，ln（2a），h（x）0，函数单调递减；x（ln（2a），+），h（x）0，函数单调递增；若x0=ln（2a），由x（，ln（2a），g（x）0；x（ln（2a），+），g（x）0，g（x）在R上单调递增g（x）只有唯一零点x=x0；若x0ln（2a），由x（ln（2a），+），h（x）单调递增，且h（x0）=0，则当x（ln（2a），x0），g（x）0，g（x）g（x0）=0任取x1（ln（2a），x0），g（x1）0，x（，x1），g（x）ax2+bx+c，其中b=e+f（x0）c=a0，必存在x2x1，使得g（x2）0，故g（x）在（x2，x1）内存在零点，即g（x）在R上至少有两个零点；若x0ln（2a），同理利用，可得g（x）在R上至少有两个零点；综上所述，a0，曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P（ln（2a），f（ln（2a）点评：本题考查导数知识的运用，考查函数