初二数学寒假题目与答案

1、第一讲 一次函数选择题（每小题3分，共45分）1下列关系中，不是函数关系的是 （ ）（A）y= (x0) (B)y=- (x0) (C) y= (x0)2.如果点P（-1，2）在过原点的一条直线上，那么这条直线是 （ ） (A)y=-2x (B)y=x (C)y=3x-1 (D)y=1-3x3.下到说法中不正确的是 （ ）（A）一次函数不一定是正比例函数(B)不是一次函数就一定不是正比例函数（C）正比例函数是特殊的一次函数（D）不是正比例函数就不是一次函数4在下列图形中表示的不是y与x的函数关系的是 ( ) y y y y x x x x (A) (B) (C) (D) 5. 函数y=2x+1

2、, y=, y=x, y=, y=3x, y=3x-5中，是一次函数的有 （ ） （A） 5个 （B） 4个 （C） 3个 （D） 2个6下列各点中，不在函数y=2x+1的图象上的是 (_ )(A) ( 0, 1 ) (B) ( 1, 3 ) (C) ( -, 0 ) (D) ( -1, 3 )7.若直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则k,b的取值范围是 （ ） (A) k0, b0 (B) k0,b0 (C) k0 (D) k0,b0的解集是( ）(A) x2 (B) x2 y(C) x为一切实数 (D) 不确定13.已知一次函数y=kx-k,若y随x的减小而减小,则该函数的图象经过 (

3、 ) 0 2 x第一、二、三象限 (B)第一、二、四象限 (C)第一、三、四象限 (D)第二、三、四象限 14.两个一次函数y=ax+b和y=bx+a ,它们在同一坐标系中的图象可能是( ) y y y y x x x x (B) (C) (D)15.已知直线y=ax-3a+5不经过第四象限,则a的取值范围是 ( )(A) 00? y0?x取何值时，-4y2?3如图，直线y=x+2交x轴于点，交y轴于点，点（x , y）是线段AB上一动点（与，不重合），PAO的面积为，求与x的函数关系式。 （14分） Y x P B A 0 （14分） 某种机器A市和B市分别库存有12台和6台,现决定支援给C

4、市10台,D市8台,已知从A市调运一台机器到C市和D市的运费分别为400元和800元;从B市调运一台机器到C市和D市的运费分别为300元和500元,设从B市运往C市机器x台.总运费为W元.(1)求总运费W关于x的函数关系式,并求出自变量x的取值范围;(2)求出总运费最少的调运方案,最少运费是多少?第二讲 整式的乘除与因式分解一、选择题（每小题3分，共24分）1下列计算中正确的是 （ ）A B C D2 的计算结果是 （ ）A B C D3下面是某同学在一次测验中的计算摘录，其中正确的个数有（ ） ； ； A1个 B2个 C3个 D4个4已知被除式是x3+2x21，商式是x，余式是1，则除式是（

5、） A、x2+3x1 B、x2+2x C、x21 D、x23x+15.是完全平方式的是（）A、B、CD、6把多项式分解因式等于（）A、 B、C、m(a-2)(m-1)D、m(a-2)(m+1)7.如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ）A. 3B. 3C. 0D. 18若3x=15，3y=5，则3xy等于（）A、5 B、3 C、15 D、10二、填空题（每空3分，共21分）9_.10_,11当_时，等于_；12若13已知，则的值是 。三、解答题：(共55分)14、计算题（每小题5分，共15分）(1) (2) （x+y）2（xy）2(2xy) (3)简便方法计算 15、因

6、式分解：（每小题5分，共20分）（1）(4分) （2） (4分)（3）9a2(x-y)+4b2(y-x)； （4）(x+y)2(xy)116、先化简，再求值. (10分)，x=117（本题10分）对于任意的正整数n，代数式n(n+7)(n+3)(n-2)的值是否总能被6整除，请说明理由。第三讲 分式一、选择题1在、中分式的个数有 （ ）A2个 B3个 C4个 D5个2下列分式中一定有意义的是 （ ）A B C D3如果=0，则等于 （ ）A2 B2 C2 D34把分式中的都扩大4倍，那么分式的值 （ ）A扩大为原来的4倍 B扩大为原来的2倍 C缩小为原来的 D不变5下列运算正确的是 （ ） 6

7、若分式与的值互为相反数，则 （ ）A24 B C8 D247将这三个数按从小到大的顺序排列，正确的结果是 （ ）A BC D8已知，则的值为 （ ）A B C D9如果关于x的方程无解，则m的值为 （ ）A2 B5 C2 D3 10能使分式的值为零的所有的值是 （ ）A B C 或 D或 11若的值为，则的值为 （ ）A1 B1 C D12某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5 天交货，设每天应多做x件，则x应满足的方程为 （ ）A B C D二、填空题13科学家发现一种病毒的长度约为0000043mm，科学记数法表示0000043的结果为 14不改

8、变分式的值，使分式的分子、分母中各项系数都为整数， 15化简：= 16一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距u，像距v和凸透镜的焦距f满足关系式： eq f(1,u) eq f(1,v) eq f(1,f )若f6厘米，v8厘米，则物距u 厘米17已知：，则_18已知是方程的一个解，那么代数式的值是_三、解答题19计算：（1）； （2）20先化简代数式，然后请你任意先择一组你自己所喜欢的的值代入求值21解方程：（1）； （2）22已知下面一列等式（1）请你按这些等式左边的结构特征写出它的一般性等式：11；（2）验证一下你写出的等式是否成立（3）利用等式计算：23若方程的解是正数，求a的取值范围关于这

9、道题，有位同学做出如下解答： 解 ：去分母得， 化简，得故欲使方程的根为正数，必须0，得a2所以，当a2时，方程的解是正数上述解法是否有误？若有错误请说明错误的原因，并写出正确解答；若没有错误，请说出每一步解法的依据24用价值为100元的甲种涂料与价值为200元的乙种涂料配制成一种新涂料，其每千克的售价比甲种涂料每千克的售价少3元，比乙种涂料每千克的售价多1元，求这种新涂料每千克售价是多少元？25为加快西部大开发，某自治区决定新修一条公路，甲、乙两工程队承包此项工程如果甲工程队单独施工，则刚好如期完成；如果乙工程队单独施工就要超过6个月才能完成现在甲、乙两队先共同施工4个月，剩下的由乙队单独施

10、工，则刚好如期完成问原来规定修好这条公路需多长时间？26为增强市民节水意识，某自来水公司水费计算办法如下：若每户每月用水不超过5m3，则每立方米收费15元；若每户每月用水超过5m3，则超过部分每立方米收取较高的定额费用2月份，小王家用水量是小李家用水量的，小王家当月水费是175元，小李家当月水费是275元，求超过5m3的部分每立方米收费多少元？专题一：“分解变形”在分式计算中的应用在代数运算中，为了某种需要，常把一个式子写成另外几个式的和或积的形式，像这样的变形可称为分解变形，例如： x2-2x-10=(x-5)(x+2)本文就介绍如何根据式子结构的特征，利用“分解变形”的方法，提高分式运算的

11、技能。例1.计算 解：原式 例2.化简 解：原式 例3.解方程 解：原方程变形为 (x-5)(x-6)=(x-8)(x-9)x2-11x+30=x2-17x+726x=42x=7经检验，原方程的解为x=7例4.已知： 且xyz0，求 的值。解：由已知， 同理可得 由(1)(2)(3)，得 练习：1.解方程 解法提示： 原方程化为： x+2+2(x+1)=(x+1)(x+2)3x+4=x2+3x+2x2=2 经检验，原方程的解为 2.化简： 解法提示： 专题二：分式运算中的条件求值一、先将式子化简或变形，再代入求值例1已知：a2-6a-4=0求代数式 解：原式 a2-6a-4=0，a2-4=6a

12、 注意：如何用好a2-6a-4=0这个条件是解题的关键，从题目的设计意图来看，不是希望先求出a的值，而是依据代数式化简的结果，巧妙利用a2-4=6a这个关系代入式子中求值。练习：已知：x+y=12，xy=9，求 解：原式 x+y=12，xy=9 例2.已知： 求 解：原式 设 注意：当已知条件出现 这种连比的情形，可设比值为t(或k)，则可把含x，y，z的式子，转化为含t(或k)的式子，有利于简化计算过程。练习：已知：x+y+z=3y=2z(y0)求： 解：由已知： 从而y=2x，y0，x0 原式 例3.已知： 解： 解法2： 注意：例3的解法1是由已知条件找到a-b与ab之间的一个关系后进行

13、代换，而解法2是设法将原式变形，进行整体代换求值。二、关于轮换对称式的条件求值。对于一个含a、b的式子，如果用a替换b，b替换a后，所得的式子与原式相同，称该式子为关于a、b的轮换对称式，例如a+b、 、a3+b3等。同样，对一个含a、b、c的式子，如果用a替换b，b替换c，c替换a后，所得的式子与原式相同，称该式子为关于a、b、c的轮换对称式，如a+b+c， 等。解这类条件求值问题，一般应认真分析式子的结构，和已知条件的关系，找出对策。例4.已知a+b+c=0且abc0化简 解：a+b+c=0a+b=-c(a+b)2=c2 同理b2+c2-a2=-2bc,c2+a2-b2=-2ac 例5：已

14、知：abc=1求 分析：虽然不能直接通分。那么如何才能将异分母的分式转化为相同的分子呢？只能从依据式子的结构，充分利用abc=1这个条件入手。我们注意到， 如果能将第二项的分母也能化为ca+c+1，就使问题解决，关键要消去b。 =1练习：已知： 求： 解： =1复习练习题1.已知： 2.已知： 3.已知：3x2-10 x+3=0，求 4.已知：x2+4y2-4x+4y+5=0 答案：1. 2. 16 3. 4.第四讲 反比例函数17.1.1反比例函数的意义【自主领悟】1 苹果每千克x元，花10元钱可买y千克的苹果，则y与x之间的函数关系式为 2 某立方体的体积为1000cm，立方体的高h随底面

15、积S的变化而变化，那么h与S之间的函数关系式为 3 下列函数中，是反比例函数的是 （ ） A B C D4 若y与2x成反比例函数关系，x与成正比例，则y与z的关系 （ ）A成正比例函数 B成反比例函数 C成一次函数 D不能确定5 已知y是x的反比例函数，当时，（1）写出y与x的函数关系式；（2）求当 时，y的值6 y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值：x2113y21（1）写出这个反比例函数的表达式；（2）根据函数表达式完成上表【自主探究】问题1 下列等式中，哪些是反比例函数（1） （2） （3）xy21 （4） （5） （6） （7）yx4名师指导根据反比例函数的定义，关键看上面各

16、式能否改写成（k为常数，k0）的形式，容易看出，这里（1）、（7）是整式，（4）的分母不是只单独含x，（6）改写后是，分子不是常数，只有（2）、（3）、（5）能写成定义所给定的形式问题2 当m取什么值时，函数是反比例函数？名师指导要熟悉反比例函数（k0）的另一种表达式是（k0），后一种写法中x的次数是1，因此m的取值必须满足两个条件，即m20且3m21，特别注意不要遗漏k0这一条件，也要防止出现3m21的错误解题示范解：因为是反比例函数，所以有解得即当时，函数是反比例函数问题3 已知函数yy1y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x1时，y4；当x2时，y5（1）求y与x的函数关系式；

17、（2）当x2时，求函数y的值名师指导本题中，函数y是由y1和y2两个函数组成的，要用待定系数法来解答先根据题意分别设出y1、 y2与x的函数关系式，再代入已知条件中的数值，通过解方程或方程组求出待定系数的值这里要注意y1与x和y2与x的函数关系中的待定系数不一定相同，故不能都设为k，为了区分开，要用不同的字母表示解题示范解：（1）由题意，设y1k1x（k10），（k20），则，因为当x1时，y4；当x2时，y5，所以有解得k12，k22因此（2）当x2时，归纳提炼反比例函数的一般式是（k0）的形式，其中为常数且k0，一次函数的另一种表达式是（k0）在运用反比例函数概念解题时，经常要注意两点：一

18、是自变量的系数不为零，二是自变量的指数等于1另外，与一次函数类似，用待定系数法求反比例函数解析式时，关键是先设出反比例函数解析式，再把已知数值代入解方程或者方程组，求出待定系数问题4 下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数式表示？（1）当圆锥的体积是50cm时，它的高h（cm）是底面积S（cm）的函数（2）2kg的二氧化碳气体，它的密度（kg/m）是体积V（m）的函数名师指导（1）圆锥的体积公式是，由此可得（2）由物理学知识可知，物体的密度、质量M、体积V之间的关系是，由此可得与V的函数关系式解题示范（1）（cm）所以，h与S之间的函数关系式为，是反比例函数（2）（kg/m）所以与V之间的

19、函数关系式为，是反比例函数归纳提炼有许多问题都涉及三个数量之间的有关系，如行程问题中的速度、路程和时间的关系，压强、压力和受力面的关系，电流、电压和电阻之间的关系，等等当其中一个数量确定时，另两个变量之间或成正比例关系，或成反比例关系解决这类问题关键是要运用相关公式，并能正确变形【自主检测】1 一个游泳池的容积为2000m，注满游泳池所用的时间t随注水速度v的变化而变化，则t与v的函数关系可表示为 2 一个物体重100牛顿，物体对地面的压力p随物体与地面的接触面积S的变化而变化，则p与S的函数关系可表示为 3 函数中自变量x的取值范围是 4 若函数是反比例函数，则m的值为 5 已知y与x成反比

20、例，且当x2时，y3，则y与x之间的函数关系式是 ，当x3时，y 6 反比例函数的图像经过点（，5）、点（，3）及（10，），则 ， ， 7 已知变量y与x成反比例，当x4时，y8；则当y4时，x的值是 （ ） A8 B8 C12 D128 如果反比例函数的图象经过点（3，8），则 （ ）A B C D9 已知反比例函数的图象过（），则它的图象一定不经过点 （ ）A（） B（） C（） D（）10在某一电路中，保持电压不变，电流I(安培)与电阻R(欧姆)成反比例，当电阻R=5欧姆时，电流I=2安培（1）求I与R之间的函数关系式；（2）当电流I=0.5安培时，求电阻R的值11已知y是x的反比例函

21、数，并且当x=4时，y=9（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）求y=2时x的值【自主评价】一、自主检测提示4必须满足可解方程组得 8设函数解析式为，把已知条件代入可求得，再把y4代入即可 10设函数解析式为，因为反比例函数的图象过（），所以可以得到，那么在图象上的点 二、自我反思1错因分析2矫正错误3检测体会4拓展延伸【例题】如图所示，在平行四边形ABCD中，AB=4cm，BC=1cm，E是CD边上的一动点，AE、BC的延长线交于点F，设DE=xcm，BF=ycm求y（cm）与x（cm）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围【点拨】观察图形特征，利用平行四边形的性质以及所给出的比例式，

22、建立y与x之间的关系式根据平行四边形对边相等，AB=CD=4，所以EC=4x，CF=y1再由题目所给比例式，可得方程，即，所以自变量x的取值范围是0 x4第五讲 反比例函数17.1.2反比例函数的图象和性质（一）【自主领悟】 A B C D1 下列图象中，是反比例函数的图象的是 （ ） 第2题 2 已知反比例函数的图象如图所示，则k 0，在图象的每一支上， y值随x的增大而 3 若函数是反比例函数，那么 ，图象位于 象限4 函数的图象经过点（4，6），则下列各点中在图象上的是 （ ）A（3，8） B（3，8） C（8，3） D（4，6）5 如果反比例函数的图象经过点（2，3），那么函数的图象应

23、该位于 （ ）A第一、三象限 B第一、二象限 C第二、四象限 D第三、四象限6 已知反比例函数，分别根据下列条件求出字母k的取值范围（1）函数图象位于第一、三象限；（2）在第二象限内，y随x的增大而增大【自主探究】问题1 已知反比例函数的图象在第二、四象限，求m值，并指出在每个象限内y随x的变化情况？名师指导解决此题要考虑两个方面，一是反比例函数的定义，即（k0）自变量x的指数是1，二是根据反比例函数的性质：当图象位于第二、四象限时，k0，则m10，不能忽视这个条件，这也是容易导致错误的主要原因之一解题示范解：因为是反比例函数，所以解得又因为图象在第二、四象限，所以m10，所以归纳提炼反比例函

24、数的图象及其性质是解有关反比例函数概念题的重要依据，其主要内容为：（1）反比例函数（k为常数，k0）的图象是双曲线；（2）当k0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小；（3）当k0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大问题2 指出当k0时，下列图象中哪些可能是与在同一坐标系中的图象可能是下面四个中的（ ）名师指导对于正比例函数来说，当k0时，图象经过一、三象限，当k0时，图象经过二、四象限；对于反比例函数来说，当k0时，图象位于第一、三象限，当k0时，图象位于第二、四象限，所以答案应选Byx问题3 如图，经过反比例函数（x0）

25、的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设AOC和BOD的面积分别是S1、S2，比较它们的大小，可得 （ ）AS1S2 BS1S2 CS1S2 D大小关系不能确定名师指导从反比例函数（k0）的图象上任一点P（x，y）向x轴、y轴作垂线段，与x轴、y轴所围成的矩形面积，由此可得S1S2 ，所以答案选B 归纳提炼由反比例函数解析式（0），经过变形可以得到，因为k是一个常数，所以在同一个反比例函数图象上的点的横、纵坐标的乘积是一个定值利用这一结论，可以解决许多与反比例函数图象有关的三角形、矩形等几何图形面积问题【自主检测】1 函数的图象是 ，图象位于 象限，在每一象

26、限内，函数随着的增大而 第3题2 反比例函数，当x2时，y ；当x2时；y的取值范围是 ；当x2时；y的取值范围是 3 如图是反比例函数的图象，则k与0的大小关系是k 04 已知正比例函数与反比例函数的图象都过A（，1）， 则 ，正比例函数的解析式是 5 若函数的图象经过（3，4），则k ，此图象位于 象限，在每一个象限内y随x的减小而 6 在平面直角坐标系内，过反比例函数（k0）的图象上的一点分别作x轴、y轴的垂线段，与x轴、y轴所围成的矩形面积是6，则函数解析式为 7 若反比例函数的图像在第二、四象限，则的值 （ ）A等于1或1 B是小于的任意实数 C等于1 D不能确定8 函数yaxa与（

27、a0）在同一坐标系中的图象可能是 （ ）A B C Dyyyyxxxx yxOOyxyxOyxO A B C D9 如果矩形的面积为12cm，那么它的长cm与宽cm之间的函数关系用图象表示大致为（ ）ABOxy 第10题10如图，A为反比例函数图象上一点，AB垂直轴于B点，则的值 （ ）A6 B3 C D不能确定 11已知，如果点（）在双曲线上，那么的取值范围是什么？12在一个封闭的电路中，当电源电压是6V时，请回答下列问题：（1）写出电路中的电流I（A）与电阻R（）之间的函数关系式；（2）画出该函数的图像；（3）如果一个用电器的电阻是5，其最大允许通过的电流为1A，那么只把这个用电器接在这个

28、封闭电路中，会不会烧坏？试通过计算说明理由【自主评价】自主检测提示 4因为反比例函数图象经过点A，所以把点A（，1）代入解析式可求得又因为正比例函数图象也经过点A，所以再把A（3，1）代入可求得值，从而求出解析式 6由题意，可设双曲线上的一点P坐标为（），因为过点P分别作x轴、y轴的垂线段与x轴、y轴所围成的矩形面积是6，所以有，因为0，从而化得 7 是反比例函数，所以，解得，又因为函数图像在第二、四象限，所以需满足0，从而求得结果 8可先根据各个选项中的直线所经过的象限，判断系数的符号，然后再结合双曲线的分布情况判断是否成立 12根据物理中的电压、电流及电阻之间的关系公式，即，可得，从而完成

29、解题自我反思1错因分析PNMOyx2矫正错误3检测体会4拓展延伸反比例函数（k0）中的比例系数k的几何意义如图，过双曲线上任一点作x轴、y轴的垂线PM、PN，所得的矩形PMON的面积因为，所以，所以，即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得的长方形面积为定值【例题】1如图，P是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形PEOF的面积为8，则反比例函数的表达式是_ _2正比例函数y=x与反比例函数y=的图象相交于A、C两点，ABx轴于B，CDx轴于D，如图所示，则四边形ABCD的面积为_ _yx 第六讲 反比例函数17.1.2反比例函数的图象和性质（二）【自主领悟】yABOxC第2题1 图象位

30、于 象限，在每一象限内，函数值随自变量的增大而 2 如图，A、B是函数y=的图象上关于原点O对称的任意两点，AC平行于y轴，BC平行于x轴，ABC的面积为_.3 函数和函数的图像有个交点4 反比例函数的图象的两个分支分别在第二、四象限内，那么m的取值范围是额( ) Am0 Bm0 Cm5 Dm55 已知一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，则函数y=的图象位于 ( ) A第一、三象限 B第二、四象限 C第三、四象限 D第一、二象限6 已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于B(4，n)，求一次函数的解析式【自主探究】问题1 已知反比例函数的图象经过点A（2，6）（1）这个函

31、数的图象分布在哪些象限？函数值随自变量的增大如何变化？（2）点B（3，4）、C（）和D（2，5）是否在这个函数图象上？名师指导先利用待定系数法，根据图象所经过的已知点的坐标求出函数解析式，确定象限分布及函数值的增减变化情况，然后再把所给点的坐标代入解析式判断是否在这个函数图象上解题示范解：（1）设这个反比例函数为，因为它的图象经过点A，把点A的坐标（2，6）代入函数解析式，得，解得k=12，所以这个反比例函数的表达式为因为k0，所以这个函数的图象在第一、第三象限内，y随x的增大而减小（2）把点B、C和D的坐标代入，通过计算可知点B、点C的坐标满足函数关系式，点D的坐标不满足函数关系式，所以点B

32、、点C在函数的图象上，点D不在函数的图象上归纳提炼求反比例函数解析式常用的方法是待定系数法，即先设反比例函数解析式为，因为其中只有一个待定系数，所以只需要一个能反映其图象上某一点横、纵坐标关系的条件即可确定好函数解析式后，根据反比例函数的性质，便可明确双曲线两支的分布情况，以及函数值随自变量的变化情况问题2 若点A（2，a）、B（1，b）、C（3，c）在反比例函数（k0）的图象上，则a、b、c的大小关系怎样？名师指导由k0可知，双曲线位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，因为A、B在第二象限，且12，故ba0；又C在第四象限，则c0，所以ba0c归纳提炼由于双曲线的两个分支分别

33、位于两个不同的象限内，因此函数值y随自变量x变化的增减性就不是连续的，一定要强调“在每一象限内”，否则，如果笼统说k0时，y随x的增大而增大，本题就会误认为3最大，则c最大，从而出现错误AOyxB另外，此题还可以画出函数图象（草图即可），比较a、b、c的大小，利用图象更加直观易懂，不易出错，应注意掌握并学会使用问题3 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A（2，1）、B（1，n）两点（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围名师指导（1）因为A点在反比例函数的图象上，可先由点A（2，1）求出反比例函数的解析式，又由B点在反比例函数

34、的图象上，把B（1，n）代入解析式即可求出n的值，最后再由A、B两点坐标代入解析式求出一次函数解析式yx1（2）根据图象以及已知条件可得x的取值范围x2或0 x1，这是因为比较两个不同函数的值的大小时，就是看这两个函数图象在同一段x的取值范围内，哪个在上方，哪个在下方归纳提炼对于一次函数图象与反比例函数图象的交点，从形的角度理解，是指交点既在直线上，同时也在双曲线上；从数的角度理解，交点的坐标是一次函数与反比例函数联立所组成的二元方程组的解所以，如果两个函数图象有交点，则联立所成方程组有解；反之，若两个函数图象无交点，则联立方程组无解OCABxy此外，对于某些特殊情况，也可从一次函数图象经过的

35、象限及反比例函数图象的象限分布情形分析两个函数图象有无交点如函数与的图象就不存在交点，因为正比例函数的图象经过一、三象限，反比例函数的图象则位于二、四象限问题4 如图，点A、B在反比例函数的图象上，点A、B的横坐标分别为a，2a（a0），ACx轴，垂足为点C，且AOC的面积为2（1）求该反比例函数的解析式；（2）若点（a，y1），（2a，y2）在该反比例函数的图象上，试比较y1与y2的大小名师指导根据RtAOC的面积，可知又因为点A在双曲线上，所以，由此可求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质，k0，y随x的增大而减小可知，自变量x越大，函数值反而越小，通过比较a与2a的大小可知y1与

36、y2的大小解题示范解：（1）解：因为点A在反比例函数的图象上，设A点的坐标为（，）a0，k0，AC=，OC=又，即反比例函数的解析式为（2）A点，B点横坐标分别为a，2a（a0），2aa，即2aa0由于点（a，y1）、（2a，y2）在双曲线上，根据反比例函数的性质，当k0时，y随x的增大而减小，可知y1y2【自主检测】1 已知点A（2，a）在反比列函数的图像上，则= _2 已知反比例函数，当的取值范围是 时，其图象的两个分支在第一、三象限内；当的取值范围是 时，其图象在每个象限内随的增大而增大3 若直线和双曲线在同一坐标系内的图象无交点，则 、的关系是_ _ _4若反比例函数的图象位于一、三象

37、限内，正比例函数过二、四象限，则的整数值是_ _ _5已知函数的图象有两个交点，其中一个交点的横坐标为1，则这两个函数图象的交点坐标是 6 在函数（为常数）的图象上有三个点（2，），(1，)，（，），那么函数值，的大小为 7 当0,0时，反比例函数的图象在 （ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8 已知反比例函数的图像上有两点A(，)，B(，)，且，则的值 ( )A. 是正数 B. 是负数 C. 是非正数 D.不能确定9 为缓解高层住宅楼居民的用水难问题，某高楼需向高层屋顶的水箱注水，水对水箱底部的压强p与水深h的函数关系的图象是（说明：水箱能容纳的水的最大深度为H） (

38、 )pppp A. B. C. D. 第10题10如图所示，A（，）、B（，）、C（，）是函数的图象在第一象限分支上的三个点，且，过A、B、C三点分别作坐标轴的垂线，得矩形ADOH、BEON、CFOP，它们的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论中正确的是 （ ）A.S1S2S3 BS3 S2 S1 CS2 S3 S1 DS1=S2=S311已知反比例函数，当x0时，y随x的增大而增大，求这个函数关系式 12已知反比例函数的图象在每个象限内函数值y随自变量x的增大而减小，且k的值还满足2k1，若k为整数，求反比例函数的解析式yxOAB13已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，且A

39、点的横坐标和B点的纵坐标都是2（1）求一次函数的解析式； （2）求AOB的面积【自主评价】自主检测提示 3方法一：将两个函数联立为方程组，经过变形可化得，两个函数图象没有交点，所以方程无解，即0，从而得出、的关系是异号 5因为两个函数有一个交点的横坐标为1，把分别代入两个函数解析式，联立而成一个关于和的二元方程组，解方程组 8利用反比例函数图象或根据反比例函数图象性质，比较、大小即可 12因为反比例函数的图象在每个象限内函数值y随自变量x的增大而减小，所以0，再与已知条件中的不等式组成不等式组，求出解集，并取整数值 13（1）根据点A的横坐标和点B的纵坐标都是2，可先由反比例函数解析式求出点A

40、、B的坐标，再由点A、B的坐标求出一次函数解析式；（2）AOB可以由两部分相加得到，以原点和直线与x轴或y轴的交点为端点的线段为底，可分别求出两个同底三角形的面积，然后相加即可二、自我反思1错因分析2矫正错误3检测体会4拓展延伸随着信息技术的迅猛发展，计算机在我们的学习和研究中起的作用越来越大，借助一些电脑软件，如几何画板可以解决许多单纯靠手工无法完成的问题，可以发现一些以往难以发现的新东西利用这种软件，就更容易发现：（1）双曲线关于直线对称；（2）双曲线随着的增大，相对于原点的位置就越来越远ABONMxyy=x【例题】如图，点A（6，m）是双曲线上的一点，过点A作直线y=x的垂线，交双曲线于

41、另一点B，O为坐标原点为，求AOB的面积【点拨】将点A的坐标代入双曲线的解析式，可求出A点的坐标为（6，2）由于双曲线是关于直线对称的，故点B的坐标与点A关于直线对称，从而点B的坐标为（2，6）作AMx轴于M，BNy轴于N，根据可求出AOB的面积答案： AOB的面积为16 第七讲 反比例函数17.2实际问题与反比例函数（一）【自主领悟】1 寒假期间，小明正与几个同伴在结冰的河面上溜冰，突然发现前面有一处冰面出现了裂痕，小明立即告诉同伴分散趴在冰面上，匍匐着离开了危险区你能解释一下小明这样做的道理吗？2 京沈高速公路全长658km，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程所需时间t（h）

42、与行驶的平均速度v（km/h）之间的函数关系式为 3 完成某项任务可获得500元报酬，考虑由x人完成这项任务，试写出人均所得报酬y（元）与人数x（人）之间的函数关系式 4 请回答下列问题：（1）已知某矩形的面积为20cm2，那么它的长y与宽x之间的函数表达式为 （2）当矩形的长为12cm时，求宽为多少？当矩形的宽为4cm，求其长为多少？（3）如果要求矩形的长不小于8cm，其宽至多要多少？5 一定质量的氧气，它的密度（kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，当V10时， 1.43，（1）求与V的函数关系式；（2）求当V2时氧气的密度 【自主探究】问题1 如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容

43、积为1升(1升1立方分米)的圆锥形漏斗 （1）漏斗口的面积S与漏斗的深d有怎样的函数关系？（2）如果漏斗口的面积为100厘米2，则漏斗的深为多少？名师指导（1）根据圆锥体积公式可知，当圆锥体积一定时，；（2）已知漏斗口的面积，欲求漏斗的深，只需将漏斗口面积S直接代入解析式即可解题示范解：(1)根据圆锥体的体积公式，我们可以设漏斗口的面积为Scm，漏斗的深为dcm，则容积为1升l立方分米1000立方厘米 所以， (2)根据题意，把cm2代入中，得 ，解得(cm)所以如果漏斗口的面积为100cm2，则漏斗的深为30cm A（1.5，64）问题2 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气

44、体的气压P（千帕）是气体体积V（立方米）的反比例函数，其图像如图所示（1）求出这个函数的解析式；（2）当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？名师指导（1）题中已知变量P与V是反比例函数关系，并且图象经过点A，利用待定系数法可以求出P与V的解析式，得；（2）直接将体积代入解析式即可；（3）问中当P大于144千帕时，气球会爆炸，即当P不超过144千帕时，是安全范围根据反比例函数的图象和性质，P随V的增大而减小，可先求出气压P144千帕时所对应的气体体积，再分析出最后结果是不小于立方米解题示

45、范解：（1）设函数解析式为，由图象可知，点A（1.5，64）在这个反比例函数图象上，所以有，解得所以（2）当时，（千帕）所以当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是120千帕（3）当时，解得根据反比例函数的图象和性质可知，P随V的增大而减小，因此为安全起见，气球的体积应不小于立方米归纳提炼本节内容是用函数的观点处理实际问题，主要是蕴含着体积、面积这样的实际问题，在解决这些实际问题时，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么和可以是什么等问题，逐步形成会考察实际问题的能力在解决问题时，应充分利用函数的图象和性质，并

46、初步形成数形结合的思想【自主检测】1 华联商场推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑售价1.2万元，首期付款4千元后，分n期还清，每期付款相同则每期的付款数y（元）与期数n的函数关系式为 2 光明中学安排八年级（3）班的同学为校运动会制作小红花1000朵，那么完成的天数y与该班同学每天能制作的朵数x之间的函数关系式为 ，且y是x的 函数3 从含盐10%的20千克盐水中，把水蒸发掉m千克后，盐水浓度变为n，则n与m之间的函数关系式为 4 当路程一定时，速度与时间之间的函数关系是 （ ）A正比例函数 B反比例函数 C一次函数 D二次函数5 一个圆柱的侧面展开图是一个面积为4平方单位的矩形，那么这个圆

47、柱的母线长l和底面半径r之间的函数关系是 （ ） A B C D6 如图，面积为2的ABC，一边长为，这边上的高为，则与的变化规律用函数图象表示大致是 （ ）7 已知一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是厘米，宽是5厘米，高是厘米（1）写出用高表示长的函数关系式；（2）求当长为4厘米时，长方体的高是多少？8 学校锅炉旁建有一个储煤库，开学初购进一批煤，现在知道：按每天用煤0.6吨计算，一学期（按150天计算）刚好用完若每天的耗煤量为x吨，那么这批煤能维持y天（1）则y与x之间有怎样的函数关系？（2）画函数图象；（3）若每天节约0.1吨，则这批煤能维持多少天？【自主评价】自主检测提示 3根据

48、盐水溶液蒸发前后所含盐的量不变，可得等式，整理得 5圆柱的侧面积公式为，将代入后整理即可 8由题意，可得等式，整理变形二、自我反思1错因分析2矫正错误3检测体会4拓展延伸【例题】如图，直线分别交轴，轴于点，点是直线与双曲线在第一象限内的交点，轴，垂足为点，的面积为4（1）求点的坐标；（2）求双曲线的解析式及直线与双曲线另一交点的坐标【点拨】因为点在直线图象上，则可设点的坐标为，再根据，所以可求得点的坐标为（2）通过解直线与双曲线解析式联立所成的方程组即可求得另一交点的坐标为 第十七章反比例函数17.2实际问题与反比例函数（二）【自主领悟】1 一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车以50千米时的

49、平均速度从甲地出发，则经过6小时可到达乙地（1）甲、乙两地相距多少千米？（2）如果汽车把速度提高到v(千米时)那么从甲地到乙地所用时间t(小时)将怎样变化？（3）写出t与v之间的函数关系式；（4）因某种原因，这辆汽车需在5小时内从甲地到达乙地，则此时汽车平均速度至少应是多少？（5）已知汽车的平均速度最大可达80千米时，那么它从甲地到乙地最快需要多长时间？【自主探究】问题1 小王乘坐摩托车以36千米/时的平均速度从小镇赶往县城办事，一共用了1.5小时（1）他乘坐出租车从原路返回，出租车的平均速度与时间t有怎样的函数关系？（2）如果小王因急事必须在40分钟内赶回到镇上，则返程时的速度至少为多少？名

50、师指导根据速度时间=路程，求出小镇与县城两地的距离，再根据速度=路程时间，即可得到平均速度与时间t的函数关系式解题示范解：（1）设小镇到县城两地距离为s千米，由题意得（千米）所以出租车的平均速度与时间t的函数关系式为：（2）40分钟小时，把代入，得（千米/时）因此，如果40分钟正好赶回到镇上，则速度为81千米/时，若少于40分钟赶回，则速度要超过81千米/时，即小王要在40分钟内赶回到镇上，则返程时的速度至少为81千米/时问题2 某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y个之间有如下关系：x(元)3456y(个)20151210（1）根据表中的数据在平面

51、直角坐标系中描出实数对(x，y)的对应点；（2）猜测并确定y与x之间的函数关系式，并画出图象；（3）设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润？名师指导根据题目中所给表格中的数据，把单价x（元）与日销售量y（个）分别看作点的横纵坐标，可在平面直角坐标系中描出各点并连线，由此看出它们之间是反比例函数关系，并通过待定系数法可求出函数解析式第（2）问，可根据反比例函数的图象和性质，同时联系题目中的实际要求，求出可获得最大日销售利润的销售单价解题示范解：（1）根据表中的数据在平面直

52、角坐标系中描出了对应点(3，20)，(4，15)，(5，12)，(6，10) （2）由右图可猜测此函数为反比例函数图象的一支，设，把点(3，20)代入，得所以把点(4，15)(5，12)(6，10)代入上式均成立因此y与x的函数关系式为（3）根据题意，即xAyOBC第1题因为物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元个，即x10由解析式分析可知，当x10时，W有最大值即当日销售单价x定为10元时，才能获得最大利润【自主检测】1 如图，面积为3的矩形OABC的一个顶点B在反比例函数的图象上，另三点在坐标轴上，则= .2 反比例函数与一次函数的图象有一个交点是（2，1），则m的值是 .3 点 A（，

53、）、B(, )均在反比例函数的图象上，若 0，则 _.4 一家品牌服装专卖店4月份的经营目标是盈利10000元，如果每套服装的利润是40元，则该专卖店本月至少要卖服装 （ ） A150套 B250套 C350套 D450套5 在匀速运动过程中，路程s（千米）一定时，速度v（千米/时）关于时间t（小时）的函数关系的图象大致是 （ ）tvOvtOtvOtvO A. B. C. D.6 某蓄水池内装有36m的水，如果从排水管中每小时流出xm的水，那么经过y小时就可以把蓄水池中的水全部放完，当时，x的值为 （ ） A12 B8 C6 D47 小林家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速

54、度为v（米/分），所需时间为t（分钟）（1）则速度v与时间t之间有怎样的函数关系？（2）若小林到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？（3）如果小林骑车的速度最快为300米/分，那他至少需要几分钟到达单位？8 一场暴雨过后，一洼地存雨水20米3，如果将雨水全部排完需t分钟，排水量为a米3/分，且排水时间为510分钟（1）试写出t与a的函数关系式，并指出a的取值范围；（2）请画出函数图象；（3）根据图象回答：当排水量为3米3/分时，排水的时间需要多长？y/mS/mmP（4，32）9 你喜欢吃拉面吗？实际上，在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y（m）是面条

55、的粗细（横截面积）S（mm2）的反比例函数，其图象如图所示：（1）写出y与S的函数关系式；（2）求当面条粗1.6mm2时，面条的总长度是多少米？【自主评价】一、自主检测提示3已知点 A（，）、B(, )均在反比例函数的图象上，因为，所以y随x的增大而减小，因为a（a1），因此. 5行程问题中，路程一定时，速度=路程时间，所以速度与时间是反比例函数关系. 8（1）由题意，得函数关系式，因为排水为510分钟，又由可得，把和分别代入解析式，可求得对应的a分别为和，所以a的取值范围是24米3. 9（1）数形结合，根据图象中所提供的点P（4，32），利用待定系数法可求出函数解析式；（2）把代入解析式即可

56、.二、自我反思1错因分析2矫正错误3检测体会4拓展延伸第八讲 反比例函数17.2实际问题与反比例函数（三）【自主领悟】1 长方形的面积为60cm2，如果它的长是ycm，宽是xcm，那么y是x的 函数关系，y写成用x表示的关系式是 2 A、B两地之间的高速公路长为300km，一辆小汽车从A地去B地，假设在途中是匀速直线运动，速度为vkm/h，到达B地时所用的时间是th，那么t是v的 函数，t与v的函数关系式是 3 三角形的面积为8cm2，这时底边上的高y（cm）与底边x（cm）之间的函数关系可用下面函数图像来表示的是 （ ） A B C D 4 下列各问题中，两个变量之间的关系不是反比例函数的是

57、 （ ）A小明完成100m赛跑时，时间t（s）与他跑步的平均速度v（m/s）之间的关系B菱形的面积为48cm2，它的两条对角线的长为y（cm）与x（cm）的关系C一个玻璃容器的体积为30L时，所盛液体的质量m与所盛液体的体积V之间的关系yxyOyAyByCyD压力为600N时，压强p与受力面积S之间的关系5 如图，A、B、C为反比例函数图像上的三个点，分别从A、B、C向x、y轴作垂线，构成三个矩形，它们的面积分别是S1、S2、S3，则S1、S2、S3的大小关系是 （ ）AS1S2S3 BS1S2S3CS1S2S3 DS1S2S3【自主探究】 问题1 某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度，

58、本年度计划将电价调至0.550.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y（亿度）与（x0.4）（元）成反比例又当x=0.65时，y=0.8（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若每度电的成本价0.3元，电价调至0.6元时，请你预算一下本年度电力部门的纯收入是多少？名师指导（1）由题目提供的信息知y与（x0.4）之间是反比例函数关系，把（x0.4）看成一个变量，于是可设出表达式，再由题目的条件x=0.65时，y=0.8得出字母系数的值；（2）解题依据为：纯收入=总收入总成本，据此列出算式解题示范解：（1）y与（x0.4）成反比例，设把x=0.65，y=0.8.代入，得，解得k=0

59、.2，即y与x之间的函数关系为（2）根据题意，本年度电力部门的纯收入为（亿元）答：本年度的纯收入为0.6亿元问题2 某课外小组在做气体压强实验时，获得气体压强p（Pa）与体积V（cm）之间有有下列对应数据关系：p（Pa）12345V（cm）6321.51.2根据表中提供的信息，回答下列问题：（1）猜想p与V之间的关系，并求函数关系式；（2）当气体的体积是12 cm时，压强是多少？名师指导（1）由表中可以看出p增大V减小，且，即p与V的积是一个常数，所以p与V有可能成反比例关系；（2）将代入函数关系式即可解题示范解：（1）表中p增大V减小，且p与V的积是一个常数，所以p与V成反比例关系设p与V的

60、关系式为（k0），将代入得，即 所以p与V的关系式为（2）将代入，得，即所以当气体的体积是12 cm时，压强是0.5 Pa归纳提炼反比例函数在实际问题中的运用是将数学知识用来解决生活实际问题，解题时一定要审清题意，正确找出题目中的等量关系，根据已知条件求出函数关系式，然后再解决相关问题这类问题一般以综合题型出现，所以要求对反比例函数的性质要非常熟悉，同时具备综合运用函数的思想【自主检测】1 近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例.已知400度近视眼镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式是 .yxOACB第4题2 如果反比例函数的图象过点（2，3），那么= .