北京市届高三数学理科一轮复习专题突破训练：圆锥曲线

1、北京市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练圆锥曲线一、选择、填空题1、（2016年北京高考）双曲线（，）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则_.2、（2015年北京高考）已知双曲线的一条渐近线为，则3、（2014年北京高考）设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，则的方程为_； 渐近线方程为_.4、（朝阳区2016届高三二模）双曲线的渐近线方程是 ；若抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则 5、（东城区2016届高三二模）若点和点分别为双曲线（0）的中心和左焦点，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为_6、（丰台区2016届

2、高三一模）已知双曲线的一条渐近线为，那么双曲线的离心率为_.7、（石景山区2016届高三一模）双曲线的焦距是_，渐近线方程是_8、（西城区2016届高三二模）设双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为，则其离心率为_；若点在C上，则双曲线C的方程为_.9、（朝阳区2016届高三上学期期末）已知点及抛物线上一动点，则的最小值是A B1 C 2 D 310、（大兴区2016届高三上学期期末）双曲线的一条渐近线的方程是（A） （B） （C） （D） 11、（海淀区2016届高三上学期期末）抛物线的准线与轴的交点的坐标为 A. B. C. D.12、（石景山区2016届高三上学期期末）若曲线上只有一个点到

3、其焦点的距离为1，则的值为（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、解答题1、（2016年北京高考）已知椭圆C： （）的离心率为 ，的面积为1.（1）求椭圆C的方程；（2）设的椭圆上一点，直线与轴交于点M，直线PB与轴交于点N.求证：为定值.2、（2015年北京高考）已知椭圆： 的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点（）求椭圆的方程，并求点的坐标（用表示）；（）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由3、（2014年北京高考）已知椭圆，求椭圆的离心率.设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，求直线与圆的位置关系，并证明

4、你的结论.4、（朝阳区2016届高三二模）在平面直角坐标系中，点在椭圆上，过点的直线的方程为（）求椭圆的离心率；（）若直线与轴、轴分别相交于两点，试求面积的最小值；（）设椭圆的左、右焦点分别为，点与点关于直线对称，求证：点三点共线5、（东城区2016届高三二模）已知椭圆过点(，)，且以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形.()求椭圆的标准方程；()设是椭圆上的动点，是轴上的定点，求的最小值及取最小值时点的坐标.6、（丰台区2016届高三一模） 已知椭圆G：的离心率为，短半轴长为1.（）求椭圆G的方程；（）设椭圆G的短轴端点分别为，点是椭圆G上异于点的一动点，直线分别与直线

5、于两点，以线段MN为直径作圆. 当点在轴左侧时，求圆半径的最小值； 问：是否存在一个圆心在轴上的定圆与圆相切？若存在，指出该定圆的圆心和半径，并证明你的结论；若不存在，说明理由.7、（海淀区2016届高三二模）已知点其中是曲线上的两点，两点在轴上的射影分别为点,且. （）当点的坐标为时，求直线的斜率；（）记的面积为，梯形的面积为，求证：. 8、（石景山区2016届高三一模）已知椭圆的短轴长为，离心率为，直线与椭圆交于两点，且线段的垂直平分线通过点（）求椭圆的标准方程；（）求（为坐标原点）面积的最大值9、（西城区2016届高三二模）已知椭圆：的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形，且

6、其周长为.（）求椭圆的方程；（）设过点的直线l与椭圆相交于两点，点B关于原点的对称点为D，若点D总在以线段为直径的圆内，求m的取值范围.10、（东城区2016届高三上学期期末）已知椭圆（）的焦点是，且，离心率为（）求椭圆的方程；（）若过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点，求的取值范围11、（丰台区2016届高三上学期期末）已知定点和直线上的动点，线段MN的垂直平分线交直线 于点，设点的轨迹为曲线. （）求曲线的方程； （）直线交轴于点，交曲线于不同的两点，点关于x轴的对称点为点P.点关于轴的对称点为，求证：A，P，Q三点共线.12、（海淀区2016届高三上学期期末）已知椭圆的离心率为，其左顶点在圆

7、上.（）求椭圆的方程；（）若点为椭圆上不同于点的点，直线与圆的另一个交点为. 是否存在点，使得? 若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.参考答案一、选择、填空题1、【答案】22、解析：渐近线为所以有双曲线的方程得且3、；双曲线的渐近线为，故的渐近线为设： 并将点代入的方程，解得 故的方程为，即 4、，5、6、27、，8、 9、C10、C11、B12、C二、解答题1、【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】.当时，所以.综上，为定值.2、解析:（I）由题意得解得，故椭圆的方程为设因为，所以直线的方程为， 所以，即因为点与点关于轴对称，所以.设，则. “存在点使得”等价于“存在点使得”，即满足

8、.因为，所以或，故在轴上存在点，使得，点的坐标为或.3、椭圆的标准方程为：，则，离心率;直线与圆相切.证明如下：法一：设点的坐标分别为，其中.因为，所以，即，解得.当时，代入椭圆的方程，得,故直线的方程为.圆心到直线的距离.此时直线与圆相切.当时，直线的方程为，即.圆心到直线的距离.又，故.此时直线与圆相切.法二：由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为，当时，易知，此时直线的方程为或，原点到直线的距离为，此时直线与圆相切；当时，直线的方程为，联立得点的坐标或；联立得点的坐标，由点的坐标的对称性知，无妨取点进行计算，于是直线的方程为：，即，原点到直线的距离,此时直线与圆相切。综上知，直线

9、一定与圆相切.法三：当时，易知，此时，原点到直线的距离，、此时直线与圆相切；当时，直线的方程为，设，则，联立得点的坐标或；于是，,，所以,直线与圆相切；综上知，直线一定与圆相切4、解：（）依题意可知， 所以椭圆离心率为 3分（）因为直线与轴，轴分别相交于两点，所以令，由得，则 令，由得，则 所以的面积 因为点在椭圆上，所以 所以即，则 所以 当且仅当，即时，面积的最小值为 9分（）当时，当直线时，易得，此时， 因为，所以三点共线 同理，当直线时，三点共线当时，设点，因为点与点关于直线对称， 所以整理得解得 所以点 又因为， 且 所以所以点三点共线 综上所述，点三点共线 14分5、解:（）由题意

10、,以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形,所以 , , 则椭圆C的方程为.又因为椭圆C:过点A(，1)，所以，故a=2,b=.所以 椭圆的的标准方程为. -4分().因为 M(x,y)是椭圆C上的动点，所以， 故 . 所以 因为M(x,y)是椭圆C上的动点， 所以 .若即，则当时取最小值，此时M. （2）若，则当时，取最小值，此时M. （3）若，则当时，取最小值，此时M. -13分6、解：（）因为的离心率为，短半轴长为1.所以得到所以椭圆的方程为.-3分（） 设，所以直线的方程为：令，得到同理得到，得到所以，圆半径当时，圆半径的最小值为3. -9分 当在左端点时，圆的方程

11、为：当在右端点时，设，所以直线的方程为：令，得到同理得到，圆的方程为：， 易知与定圆相切, 半径由前一问知圆C的半径因为，圆的圆心坐标为圆心距=当时，此时定圆与圆内切；当时，此时定圆与圆外切；存在一个圆心在轴上的定圆与圆相切，该定圆的圆心为和半径.(注: 存在另一个圆心在轴上的定圆与圆相切，该定圆的圆心为和半径.得分相同) -14分7、解：（）因为，所以代入，得到，1分又，所以，所以，2分代入，得到，3分所以. 5分（）法一：设直线的方程为.则7分由, 得,所以9分又,11分又注意到，所以，所以，12分因为，所以,所以.13分法二：设直线的方程为.由, 得,所以7分, 8分点到直线的距离为,

12、所以9分又, 11分又注意到，所以，所以，12分因为，所以,所以. 13分法三：直线的方程为 , 6分所以点到直线的距离为7分又, 8分所以又9分所以10分因为, 所以11分代入得到，12分因为, 当且仅当时取等号，所以. 13分8、解：（）由已知可得解得， 2分故椭圆的标准方程为 3分（）设，联立方程消去得 4分当，即时， 5分， 6分所以，当时，线段的垂直平分线显然过点因为,所以，当时，取到等号. 8分当时，因为线段的垂直平分线过点，所以，化简整理得 9分由得 10分又原点到直线的距离为所以 11分而且，则 12分 所以当，即时，取得最大值 13分综上，最大值为 14分9、（）解：由题意，

13、得： 2分 又因为 解得， 4分 所以椭圆C的方程为. 5分（）解：（方法一） 当直线的斜率不存在时，由题意知的方程为， 此时E，F为椭圆的上下顶点，且， 因为点总在以线段为直径的圆内，且， 所以. 故点B在椭圆内. 6分 当直线的斜率存在时，设的方程为. 由方程组 得， 8分 因为点B在椭圆内， 所以直线与椭圆C有两个公共点，即. 设，则，. 9分 设的中点， 则， 所以. 10分 所以， . 11分 因为点D总在以线段EF为直径的圆内， 所以对于恒成立. 所以 . 化简，得， 整理，得， 13分 而（当且仅当时等号成立）. 所以， 由，得. 综上，m的取值范围是. 14分 （方法二） 则，

14、. 9分 因为点D总在以线段EF为直径的圆内， 所以. 11分 因为， 所以 ， 整理，得. 13分 （以下与方法一相同，略）10、解（）因为椭圆的标准方程为，由题意知解得所以椭圆的标准方程为5分（）因为，当直线的斜率不存在时，则，不符合题意.当直线的斜率存在时，直线的方程可设为由 消得 （*） 设，则、是方程（*）的两个根，所以， 所以，所以所以 当时，取最大值为，所以 的取值范围.又当不存在，即轴时，取值为 所以的取值范围. 13分11、（）有题意可知：，即点到直线和点的距离相等.根据抛物线的定义可知：的轨迹为抛物线，其中为焦点.设的轨迹方程为：，所以的轨迹方程为：. 5分（）由条件可知，则.联立,消去y得，.设，则，.因为 ，所以 ,三点共线 . 13分12、解：（）因为椭圆的左顶点在圆上，令，得，所以.1分又离心率为，所以，所以,.2分所以,.3分所以的方程为.4分（）法一：设点，设直线的方程为，.5分与椭圆方程联立得,化简得到,.6分因为为上面方程的一个根，所以，所以.7分所以.8分因为圆心到直线的距离为，.9分所以,.10分因为，.11分代入得到.13分显然，所以不存在直线，使得.