21-22线性系统数学模型.ppt课件(22页PPT)

1、第二章 线性系统的数学模型第1页，共22页。本章提纲第一节 导论第二节 控制系统的微分方程第三节 控制系统的传递函数第四节 控制系统结构图与信号流图小结第2页，共22页。本章提要 描述系统各变量之间关系的数学表达式，叫做系统的数学模型。实际存在的系统的动态性能都可以通过数学模型来描述（例如微分方程、传递函数等）。 控制系统的数学模型关系到对系统性能的分析结果，所以建立合理的数学模型是控制系统分析中最重要的事情。本章将对系统和元件数学模型的建立、传递函数的概念、结构图和信号流图的建立及简化等内容加以论述。第3页，共22页。第一节 导论 数学模型有动态模型与静态模型之分。控制系统的动态模型，即线性

2、定常微分方程，分析系统的动态特性。 建立系统数学模型时，必须： (1) 全面了解系统的特性，确定研究目的以及准确性要求，决定能否忽略一些次要因素而使系统数学模型简化。 (2) 根据所应用的系统分析方法，建立相应形式的数学模型，有时还要考虑便于计算机求解。 建立系统的数学模型主要有两条途径：第一种途径是采用演绎的方法建立数学模型。第二种途径是根据对系统的观察，通过测量所得到的大量输入、输出数据，推断出被研究系统的数学模型。 第4页，共22页。第二节 控制系统的微分方程 控制系统的运动状态和动态性能可由微分方程式描述，微分方程式就是系统的一种数学模型。建立系统微分方程式的一般步骤如下： (1) 在

3、条件许可下适当简化，忽略一些次要因素。 (2) 根据物理或化学定律，列出元件的原始方程式。 (3) 列出原始方程式中中间变量与其它因素的关系式。这种关系式可能是数学方程式，或是曲线图。 (4) 将上述关系式代入原始方程式，消去中间变量，就得元件的输入输出关系方程式。 (5) 求出其它元件的方程式。 (6) 从所有元件的方程式中消去中间变量，最后得系统的输入输出微分方程式。第5页，共22页。 一、微分方程式的建立 （一）弹簧质量阻尼器系统 图2-1表示一个弹簧质量阻尼器系统。当外力f (t)作用时，系统产生位移y(t)，要求写出系统在外力f (t)作用下的运动方程式。f (t)是系统的输入，y(

4、t)是系统的输出。列出的步骤如下： （1）运动部件质量用M表示. （2）列出原始方程式。根据牛顿第二定律，有：图2-1 弹簧质量阻尼器系统第6页，共22页。（3）f1(t)和f2(t)为中间变量，找出它们与其它因素的关系。阻尼器阻力与运动方向相反，与运动速度成正比，故有：式中 f 1(t)阻尼器阻力； f 2(t)弹簧力。 (2.1) (2.2) 式中B 阻尼系数。 设弹簧为线性弹簧，则有： f2 (t) = Ky(t) (2.3)式中 K 弹性系数。第7页，共22页。 （4）将式(2.2)和式(2.3)代入式(2.1)，得系统的微分方程式 : 式中M、B、K均为常数，此机械位移系统为线性定常

5、系统。 式(2.4)还可写成: (2.4) (2.4a) 则有 (2.4b)令第8页，共22页。 TB和TM是图2-1所示系统的时间常数。1/K为该系统 的传递系数，它的意义是：静止时系统的输出与输入 之比。 列写微分方程式时，输出量及其各阶导数项列写在方程式左端，输入项列写在右端。由于一般物理系统均有质量、惯性或储能元件，左端的导数阶次总比右端的高。第9页，共22页。 （二）R-L-C电路 图2-2所示R-L-C电路中，R、L、C均为常值， ur(t)为输入电压， uc(t)为输出电压，输出端开路。要求列出uc(t)与ur(t)的方程关系式。 （1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式： (2.

6、5) 图2-2 R-L-C电路第10页，共22页。（2）式中i是中间变量，它与输出uc(t)有如下关系： (2.6)（3）消去式(2.5)、式(2.6)的中间变量i后，便得输入输出微分方程式： 或(2.8)(2.7） 式中T1=L/R，T2=RC为电路的两个时间常数。当t的单位为秒时，它们的单位也为秒。图2-2电路的传递系数为1。 式(2.7)或式(2.8)是线性定常系统二阶微分方程式，式中左端导数项最高阶次为2。第11页，共22页。(三）直流电动机1.1.电枢控制的直流电动机 (a)线路原理图 (b)结构图 图2-3 电枢电压控制的直流电动机 磁场固定不变（激磁电流If =常数），用电枢电压

7、来控制的直流电动机。控制输入为电枢电压ua ，输出轴角位移q或角速度w 为输出，负载转矩ML变化为主要扰动。求输入与输出关系微分方程式。第12页，共22页。（1）不计电枢反应、涡流效应和磁滞影响；当If为常值时，磁场不变，电机绕组温度在瞬变过程中不变。（2）列写原始方程式。首先根据克希霍夫定律写出电枢回路方程式如下：式中 La 电枢回路总电感（亨）； Ra 电枢回路总电阻（欧）； Ke 电势系数（伏/弧度/秒）； w 电动机角速度（弧度/秒），； ua 电枢电压（伏）； ia 电枢电流（安)。 (2.9)第13页，共22页。 又根据刚体旋转定律，可写运动方程式 式中 J 转动部分转动惯量（公斤

8、米2）； ML 电动机轴上负载转矩（牛顿米）； Md 电动机转矩（牛顿米）。（3）Md和ia是中间变量。电动机转矩与电枢电流和气隙磁通的乘积成正比，磁通恒定，有: (2.10)(2.11)式中 Km 电动机转矩系数（牛顿米/安）。 （4）将式(2.11)代入式(2.10)，并与式(2.9)联立求解， 整理后得：第14页，共22页。或 (2.12) (2.13)式中 Tm 机电时间常数， （秒）； Ta 电动机电枢回路时间常数，一般要比Tm小，（秒）。 式(2.13)是电枢电压控制的直流电动机微分方程式。其输入为电枢电压ua，输出为角速度w，负载转矩ML扰动输入。ML变化会使w随之变化，对电动机

9、的正常工作产生影响。第15页，共22页。若输出为电动机的转角q ，则按式(2.13)有: 式(2.14)是一个3阶线性定常微分方程。（2.14）第16页，共22页。二、非线性方程的线性化 几乎所有元件或系统的运动方程都是非线性方程。但在比较小的范围运动来说，把这些关系看作是线性关系，是不会产生很大误差的。方程式一经线性化，就可以应用迭加原理。 研究非线性系统在某一工作点（平衡点）附近的性能，（如图2-10，x0为平衡点，受到扰动后，x(t)偏离x 0，产生x(t)，x(t)的变化过程，表征系统在x0附近的性能），可用下述的线性化方法得到的线性模型代替非线性模型来描述系统： 图2-10 小偏差过

10、程第17页，共22页。 磁场控制的直流电动机。电枢电压ua为常值，输出为w ，控制输入为uf 。研究它的小偏差过程，例如控制输入uf改变一个微量uf引起的变化过程。以下是如何求出电动机输出输入偏量的线性化微分方程式。（1）对激磁电路有： （2）找出中间变量j与其它变量的关系，同时线性化。小偏差过程可用以下办法使之线性化。 设在平衡点的邻域内， j 对if的各阶导数（直至n+1）是存在的，它可展成泰勒级数： (2.38) (2.39)第18页，共22页。 式中 为余项， 和 为原平衡点的磁链和激磁电流， 为原平衡点处的一阶、二阶、导数， if =if - if 0 (2.40)为激磁电流的偏量式

11、(2.39)右端第三项及其以后的各项均可忽略不计，式(2.39)变为：原平衡点是已知的，故(2.41)可由电动机的饱和曲线求得，如图2-11。图2-11 的求取第19页，共22页。 (2.42) 称为动态电感，它为常值，在不同平衡点有不同的值。因此式(2.41)可写为：(2.43)或 在平衡点附近，经过线性化处理（忽略偏量的高次项）后，激磁回路偏量间具有线性关系了。偏差愈小，这个关系愈准确。第20页，共22页。 （3）求以偏量表示的微分方程式，即线性化方程式。将uf = u f 0+u f ，j =j 0+Lfif ，if = if 0+if 代入式 (2.44)在平衡点，式(2.38)成为： (2.45)式(2.44)与式(2.45)相减，得激磁回路偏量微分方程式： (2.46)(2.38)，则得：式(2.46)通常可直接对式(2.38)两边取增量求得，从而简化推导过程。第21页，共22页。若令 ，它为激磁回路动态时间常数，则有：(2.47)