132奇偶性 (2)

1、 课题导入 观察它们有什么样的特征？鹦鹉螺壳 我们发现上面几个图形和函数图象都具有对称性，有的关于直线对称，有的关于点呈中心对称，有的有特殊的对称性，那么在我们数学领域里，我们会研究函数图象的某对称性！1.3.2 奇偶性 教学目标 理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇偶性.知识与技能过程与方法 通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想情感态度与价值观 通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力 教学重难点 重点难点函数的奇偶性及其几何意义.判断函数的奇偶性的方法与格式.o3-2221

2、-113观察下图图像有什么共同的特征呢？o3-2221-113 这两个函数的图像都关于y轴对称f(x)=x2x-3-2-101230149149相应的两个函数值对应表是如何体现这些特点的呢？x-3-2-101230123123由此得到f(-x)=(-x)2=x2 ，即f(-x)=f(x)由此得到 ，即f(-x)=f(x) 从函数值对应表可以看到互为相反数的点的纵坐标有什么关系？ 即相应两个函数值相同 对于R内任意的一个x，都有f(-x)=(-x)2=x2 =f(x)，这时我们称函数f(x)=x2 为偶函数.函数的奇偶性的定义 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=

3、f(x),那么称函数y=f(x)偶函数.知识要点o3-2221-113-1-2-3观察下图图像有什么共同的特征呢？o3-2221-113-1-2-3f(x)=x 两个函数的图像都关于原点对称.f(x)=xx-3-2-101230-1-2-3149f(x)=x3x-3-2-101230-1-8-271827相应的两个函数值对应表是如何体现这些特点的呢？由此得到f(-x)=-x=-f(x) ，即f(-x)=-f(x).由此得到f(-x)=- x3 =-f(x),即f(-x)=-f(x).当自变量x取一对相反数时，相应的函数值f(x)也是一对相反数. 从函数值对应表可以看到互为相反数的点的纵坐标有什

4、么关系？ 对于R内任意的一个x，都有f(-x)=-x=-f(x)，这时我们称函数f(x)=x为奇函数.函数的奇偶性的定义 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x),那么称函数y=f(x)奇函数.知识要点 1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质. 2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）注意o3-2221-113o3-2221-113o3-2221-113-2-3o3-2221-11321f(x)=x奇偶函数图象的性质: 奇

5、函数的图象关于原点对称. 反过来,如果一个函数的图象关于原点对称, 那么这个函数为奇函数. 偶函数的图象关于y轴对称.反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数为偶函数.知识要点奇偶函数图象的性质可用于： 判断函数的奇偶性. 简化函数图象的画法.注意（1）判断函数 的奇偶性.（2）如图是函数 图像的一部分，能否根据f(x)的奇偶性画出它在y 轴左边的图像吗？ yx0（1）奇函数（2）根据奇函数的图 像关于原点对称例1 说出下列函数的奇偶性:偶函数奇函数奇函数奇函数f(x)=x4 _ f(x)= x -1 _ f(x)=x _奇函数f(x)=x -2 _偶函数 f(x)=x5 _f(x

6、)=x -3 _ 结论：一般的，对于形如 f(x)=x n 的函数， 若n为偶数，则它为偶函数.若n为奇数，则它为奇函数.例2 判断下列函数的奇偶性： 解：(1) 因为 所以f(x)是奇函数.因为 f(-x)=|-x|+1=|x|+1=f(x),所以f(x)是偶函数.因为 ，所以f(x)是偶函数.判断奇偶性，只需验证f(x)与f(-x)之间的关系.所以就谈不上与f(-3)相等了，由于任意性受破坏。所以它没有奇偶性.（5）函数的定义域为-3,3),故f(3)不存在，同上可知函数没有奇偶性.故函数没有奇偶性.解：（4）当x=-3时，由于，故f(3)不存在， 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要

7、但不充分条件。(1) 先求定义域，看是否关于原点对称.(2) 再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.用定义判断函数奇偶性的步骤：知识要点例3：判定下列函数是否为偶函数或奇函数.解：（1）对于函数f(x)=5x，其定义域为（-，+ ）对于定义域中的每一个x，都有f(-x) = -5x = -f(x)所以函数f(x)=5x为奇函数.（2）对于函数 的定义域为:（-，+ ）对于定义域中的每一个x，都有且所以函数 既不是奇函数也不是偶函数.（3）对于函数 的定义域为xx0 对于定义域中的每一个x，都有 所以函数 是奇函数.（4）对于函数f(x)=3的定义域为（-，+ ） 对于定

8、义域中的每一个x，都有f(-x)=3=f(x)，所以函数f(x)=3是偶函数.奇函数偶函数既奇又偶函数非奇非偶函数（5）f(x)=0.（5）对于函数f(x)=0的定义域为（-，+ ）对于定义域中的每一个x，都有f(-x)=0=f(x)=-f(x)，所以函数f(x)=0既是偶函数也是奇函数.根据奇偶性, 函数可划分为四类:1.一次函数y=kx+b是奇函数吗？2.反比例函数是奇函数吗？3.二次函数一定是定义在R上的偶函数吗？4.函数的定义域对函数有没有影响？5.有没有函数既不是奇函数也不是偶函数，请举出一例？6.有没有一个函数既是奇函数也是偶函数，也请举出一例？课后思考一下，做一做吧！例4 判断函

9、数 是否具有奇偶性？解：当a=0时， 此时函数f(x)为奇函数.当a0时， 此时f(x)=f(-x),f(x)=-f(x)都不能在定义域内恒成立，即函数 既不是奇函数也不是偶函数.例5 已知函数y=f(x)是定义在R上奇函数，当 求（1)f(-1) ； (2)若t0,求f(t).1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x, 如果都有f(x)=-f(x) f(x)为奇函数 如果都有f(x)=f(x) f(x)为偶函数2、两个性质： 一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称 一个函数为偶函数 它的图象关于y轴对称 课堂小结 3.判断函数奇偶性的步骤和方法： 先看定义域是否关于原点对称， 然后在找

10、f(x)与f(-x)间的关系4.奇函数，偶函数作一些简单运算后会出现一些规律： 奇+奇=奇 偶+偶=偶 奇X奇=偶 偶X偶=偶5.已知函数性质，求其它区间上函数的解析式 课堂练习 1.判断函数 的奇偶性.解: 定义域为R f(x)为奇函数.解(1)4-x20 |x+2|1 -2x2 x-1且x-3-2x 2且x -1定义域为-2,-1) (-1,22.判断函数 的奇偶性（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性（2）且f(x) -f(x)，所以说此函数既不是奇函数也不是偶函数oyx3.已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如图，画出y=f(x)在 y轴左边的图象.4.已知函数f(x)既是奇函数又是偶函数.求证：f(x)=0证明：因为 f(x)既是奇函数又是偶函数所以f(-x)=f(x),且f(-x)=-f(x)所以f(x)= -f(x)所以2f(x)=0即f(x)=0. 这样的函数有多少个呢？ 有无数个，因为f(x)只是解析式的特征，若改变其函数的定义域，显然函数就不同了，例如：f(x)=0,x-3,3，与f(x)=0,x -1,1.5.判断函数f(x)=kx+b的奇偶性解：当b=0时，f(-x)=-f(x),则f(x)是奇函数；当b0时，f(x) -f(x)且f(-x)f(x)所以说f(x)不是奇函数也不是偶