【全程复习方略】高中数学推理与证明 阶段复习课课件 新人教A版选修2-2

1、阶段复习课第 二 章【核心解读】1.合情推理(1)归纳推理:由局部到整体、由个别到一般的推理.(2)类比推理:由特殊到特殊的推理.(3)合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜测的推理,我们把它们统称为合情推理.2.演绎推理(1)演绎推理:由一般到特殊的推理.(2)“三段论是演绎推理的一般模式,包括:大前提的一般原理;小前提所研究的特殊情况;结论根据一般原理,对特殊情况做出的判断. 3.综合法(1)实质:由因导果(2)框图表示: PQ1 Q1Q2 QnQ ,P表示条件,Q表示结论.(3)文字语言:因为所以或由得4.分析法(1)实质

2、:执果索因.(2)框图表示: QP1 P1P2 得到一个明显成立的条件Q表示结论.(3)文字语言:要证只需证即证.5.用分析法证明数学问题时的书写格式“要证(欲证),“只需证,“只需证,直到出现一个明显成立的条件P,再说明所要证明的数学问题成立.6.归谬:矛盾的几种类型(1)与公理、定理、定义矛盾.(2)与条件矛盾.(3)自相矛盾.(4)与反设矛盾.主题一 合情推理的应用【典例1】(1)(2021济宁高二检测)观察式子： 由此可归纳出的式子为( )(2)(2021宁波高二检测)两点等分单位圆时，有相应正确关系为sin +sin(+)=0;三点等分单位圆时，有相应正确关系为 由此可以推知，四点等

3、分单位圆时的相应正确关系为_.【自主解答】(1)选C.根据几个不等式的特点，左边应为n项，所以左边=1+ 右边= 故归纳出的不等式为(2)用两点等分单位圆时，关系为sin +sin(+)=0,两个角的正弦值之和为0，且第一个角为,第二个角与第一个角的差为(+)-=,用三点等分单位圆时，关系为此时三个角的正弦值之和为0，且第一个角为,第二个角与第一个角的差与第三个角与第二个角的差相等，即有依此类推，可得当四点等分单位圆时，为四个角正弦值之和为0，且第一个角为,第二个角为 +,第三个角为 =+,第四个角为+ +,即其关系为答案：【方法技巧】1.归纳推理的特点及一般步骤2.类比推理的特点及一般步骤【

4、补偿训练】等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,有如下的性质:(1)通项an=am+(n-m)d,m,nN*,mn.(2)假设m+n=p+q,其中m,n,p,qN*,那么am+an=ap+aq.(3)假设m+n=2p,m,n,pN*,那么am+an=2ap.(4)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等差数列.类比上述性质,在等比数列bn中,写出相类似的性质.【解析】设等比数列bn中,公比为q,前n项和为Tn,(1)通项bn=bmqn-m,m,nN*,mn.(2)假设m+n=p+q,其中m,n,p,qN*,那么bmbn=bpbq.(3)假设m+n=2p,其中m,n,pN*,那么 =bmbn.

5、(4)Tn,T2n-Tn,T3n-T2n构成等比数列.主题二 演绎推理的应用【典例2】(2021厦门高二检测)函数f(x)= x2+alnx(aR).(1)假设f(x)在1,e上是增函数,求a的取值范围.(2)假设a=1,1xe,证明:f(x) x3.【自主解答】(1)因为f(x)=x+ ,且f(x)在1,e上是增函数,所以f(x)=x+ 0在1,e上恒成立,即a-x2在1,e上恒成立,所以a-1.(2)当a=1时,f(x)= x2+lnx,x1,e.令F(x)=f(x)- x3= x2+lnx- x3,又F(x)=x+ -2x2= 0,所以F(x)在1,e上是减函数,所以F(x)F(1)=

6、- 0,所以x1,e时,f(x)0,b0,x(0,+),试确定f(x)的增减性.【解析】方法一:设0 x1x2,那么f(x1)-f(x2)=(x2-x1)当0 x10,b0,所以x2-x10,0 x1x2b,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以f(x)在(0, 上是减函数;当x2x1 时,x2-x10,x1x2 b,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)0,b0,x(0,+),所以令f(x)=- +b=0,得x= ,当0 时,- +b0,即f(x)0,所以f(x)在( ,+)上是增函数.主题三 综合法与分析法【典例3】(1)a,b,c为互不相等的非负数.求证:a2+b

7、2+c2(2)(2021马鞍山高二检测)用分析法证明2cos(-)-【自主解答】(1)因为a2+b22ab,b2+c22bc,a2+c22ac,又因为a,b,c为互不相等的非负数,所以上面三个式子中都不能取“=,所以a2+b2+c2ab+bc+ac,因为ab+bc ,bc+ac ,ab+ac ,又a,b,c为互不相等的非负数,所以ab+bc+ac所以a2+b2+c2(2)要证原等式成立,只需证:2cos(-)sin-sin(2-)=sin.因为左边=2cos(-)sin-sin(-)+=2cos(-)sin-sin(-)cos-cos(-)sin=cos(-)sin-sin(-)cos=sin

8、=右边,所以成立,即原等式成立.【方法技巧】综合法和分析法的特点(1)综合法和分析法是直接证明中最根本的两种证明方法,也是解决数学问题的常用的方法,综合法是由因导果的思维方式,而分析法的思路恰恰相反,它是执果索因的思维方式.(2)分析法和综合法是两种思路相反的推理方法:分析法是倒溯,综合法是顺推,二者各有优缺点.分析法容易探路,且探路与表述合一,缺点是表述易错;综合法条理清晰,易于表述,因此对于难题常把二者交互运用,互补优缺,形成分析综合法,其逻辑根底是充分条件与必要条件.【补偿训练】(0,),求证:2sin2【证明】方法一：(分析法)要证明2sin 2 成立.只要证明4sin cos 因为(

9、0,),所以sin 0.只要证明4cos 上式可变形为4 +4(1-cos ).因为1-cos 0,所以 +4(1-cos )当且仅当cos = ,即= 时取等号.所以4 +4(1-cos )成立.所以不等式2sin 2 成立.方法二：(综合法)因为 +4(1-cos )4,1-cos 0,当且仅当cos = ,即= 时取等号,所以4cos 因为(0,),所以sin 0.4sin cos 所以2sin 2主题四 反证法的应用【典例4】设数列an满足an=n+ ,求证:数列an中任意不同的三项都不能成为等比数列.【自主解答】由an=n+ ,假设an中存在三项ap,aq,ar(p,q,r互不相等)

10、成等比数列,那么 =apar,所以(q+ )2=(p+ )(r+ ),即(q2-pr)+(2q-p-r) =0.由于p,q,rN*,所以消去q得(p-r)2=0.故p=r,这与pr矛盾.那么原假设不成立.所以an中任意不同的三项都不能成为等比数列.【方法技巧】对反证法的认识(1)如果一个命题的结论难以直接证明,可以考虑运用反证法.通过反设结论,经过逻辑推理,得出矛盾,从而肯定原结论成立.(2)反证法着眼于命题的转换,改变了研究的角度和方向,使论证的目标更为明确,由于增加了推理的前提原结论的否认,更易于开拓思路,因此对于直接论证较为困难的时候,往往采用反证法证明.所以反证法在数学证明中有着广泛的

11、应用.(3)反证法是高中数学的一种重要的证明方法,在不等式和立体几何的证明中经常用到,在高考题中也经常表达,它所反映出的“正难那么反的解决问题的思想方法更为重要.反证法主要证明:否认性、唯一性命题;至多、至少型问题;几何问题.【补偿训练】求证:在抛物线y2=2px(p0)上任取四点所组成的四边形不可能是平行四边形.【证明】抛物线y2=2px(p0),在抛物线上任取四点,设点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),那么=2pxi(i=1,2,3,4),于是直线AB的斜率为kAB=同理 假设四边形ABCD是平行四边形,那么有kAB=kCD;kAD=kCB

12、,那么有整理得 所以A,C两点重合,B,D两点重合.这与A,B,C,D是平行四边形的四个顶点矛盾,故假设不成立,即在抛物线y2=2px(p0)上任取四点所组成的四边形不可能是平行四边形.主题五 数学归纳法的应用【典例5】用数学归纳法证明(n2-12)+2(n2-22)+n(n2-n2)= n2(n-1)(n+1)(nN*).【证明】(1)当n=1时，左边=1(12-12)=0，右边= 1202=0，所以左边=右边，n=1时等式成立.(2)假设当n=k(kN*)时等式成立，即1 (k2-12)+2(k2-22)+k(k2-k2)= k2(k-1)(k+1).那么当n=k+1时，1(k+1)2-1

13、2+2(k+1)2-22+k(k+1)2-k2+(k+1)(k+1)2-(k+1)2=1(k2-12)+2(k2-22)+k(k2-k2)+1(2k+1)+2(2k+1)+k(2k+1)= k2(k-1)(k+1)+ (2k+1)= k(k+1)k(k-1)+2(2k+1)= k(k+1)(k2+3k+2)= (k+1)2k(k+2)，即当n=k+1时等式成立.由(1)(2)知对一切nN*，等式成立.【方法技巧】数学归纳法的证题步骤及本卷须知(1)用数学归纳法证明命题的具体步骤是：证明当n取第一值n0(例如，n0=1，n0=2等)时结论正确；假设当n=k(kN*且kn0)时结论正确，证明当n=

14、k+1时结论也正确.在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对从n0开始的所有的正整数n都正确.(2)在用数学归纳法证明与正整数有关的命题时，第一步是递推的根底，缺少第一步，递推就缺乏正确的根底.一方面，第一步再简单，也不能省略；另一方面，第一步只要考查使结论成立的最小正整数就足够了，一般没有必要再多考查几个正整数.第二步是递推的根据，仅有这一步而没有第一步，就失去了递推的根底，这说明了缺少第一步这个根底，第二步的递推也就没有意义了.只有把第一步的结论与第二步的结论结合在一起，才能得出普遍性的结论.【补偿训练】(2021盐城高二检测)设关于正整数n的函数f(n)=122+232+n(n+1)2，

15、(1)求f(1)，f(2)，f(3).(2)是否存在常数a，b，c使得f(n)= (an2+bn+c)对一切正整数n都成立？并证明你的结论.【解析】(1)f(1)=4，f(2)=22，f(3)=70.(2)假设存在a，b，c使题设的等式成立，这时，n=1，2，3得 a+b+c=24， 4a+2b+c=44，解得：a=3，b=11，c=10. 9a+3b+c=70.于是，对n=1，2，3下面等式成立：122+232+n(n+1)2= (3n2+11n+10).记Sn=122+232+n(n+1)2.假设n=k时上式成立，即Sk= (3k2+11k+10)，那么= (k+2)(3k+5)+(k+1

16、)(k+2)2= (3k2+5k+12k+24)= 3(k+1)2+11(k+1)+10，也就是说，等式对n=k+1也成立，综上所述，当a=3，b=11，c=10时，题设的等式对一切正整数n成立.【强化训练】1.用演绎推理证明函数y=x3是增函数时的大前提是()A.增函数的定义B.函数y=x3满足增函数的定义C.假设x1x2,那么f(x1)x2,那么f(x1)f(x2)【解析】选A.根据演绎推理的特点知,演绎推理是一种由一般到特殊的推理,所以函数y=x3是增函数的大前提应是增函数的定义.2.(2021济宁高二检测)“所有9的倍数都是3的倍数,某奇数是9的倍数,故某奇数是3的倍数,上述推理()A

17、.小前提错 B.结论错C.正确 D.大前提错【解析】选C.此三段论推理正确.3.设等比数列an的公比q=2,前n项和为Sn,那么 =()A.2 B.4 C. D.【解析】选C.在等比数列an中,q=21,设首项为a10,那么S4=又a2=a1q=2a1,故4.(2021杭州高二检测) (a,b均为实数),猜测，a=_,b=_.【解析】由 可以求出3=22-1,8=32-1,15=42-1,故在6+ 中,a=6,b=a2-1=62-1=35.答案:6355.(2021东莞高二检测)当n=1时,有(a-b)(a+b)=a2-b2,当n=2时,有(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3,当n=3时

18、,有(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4,当nN*时,你能得到的结论是.【解析】根据题意,由于当n=1时,有(a-b)(a+b)=a2-b2,当n=2时,有(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3,当n=3时,有(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4,当nN*时,左边第二个因式可知为an+an-1b+abn-1+bn,那么对应的表达式为(a-b)(an+an-1b+abn-1+bn)=an+1-bn+1.答案:(a-b)(an+an-1b+abn-1+bn)=an+1-bn+16.|x|1,|y|1,用分析法证明:|x+y|1+xy|.【证明】要证|x+y|1+xy|,即证(x+y)2(1+xy)2,即证x2+y21+x2y2,即证(x2-1)(1-y2)0,因为|x|1,|y|1,所以x2-10,1-y20,所以(x2-1)(1-y2)0,不等式得证.7.在四棱锥P-ABCD