材料力学第九章习题选与其解答

1、9-2.计算图示各杆或桁架的变形能。PMBdsACBEIEIdl/3A2l/3ORb)c)解：（b）方法1：（1）查表得C截面的转角cM(l234l23l2)Ml6EIl999EI（2）由功能原理UW1McM2l218EI方法2（1）列出梁的弯矩方程MACBM/lx1EIM/lx2M(x1)Mx1lM(x2)Mx2Ml（2）求弯曲变形能Ul/3M2(x1)dx1lM2(x2)dx202EIl/32EIM2l8M2lM2l162EI162EI18EIc）1）列出梁的弯矩方程PQ()BM()N()ROM()PRsin（2）求弯曲变形能UM2()ds/2(PRsin)2dsl2EI02EIP2R38

2、EI9-3.传动轴的抗弯刚度为EI，抗扭刚度为GIp。皮带拉力T+t=P，D=2d。试计算轴的变形能。设a=l/4。PDdtTal/2l/2解：（1）将外力向轴线简化(T-t)D/2Pd/2ABCDPT+t（2）扭转变形能CD段发生扭转变形，扭矩为：Pd/2(1Pd)2(al)3P2d2l22U12GIp32GIp（3）水平方向弯曲变形能U21PDH1PPl3P2l32248EI96EI（4）垂直方向弯曲变形能U31(Tt)CV1P(Pa3(Pa)la)223EI3EI5P2l3384EI（5）轴的变形能UU1U23P2d2l9P2l3U3384EI32GIp9-4.试用互等定理求跨度中点C的

3、挠度，设EI=常量。PPACBDACBl/2l/2l/2l/2aa)b)解：（a）（1）将P力移到C截面处，如下图PACBD21（2）由位移互等定理fc2112BPl2Pal2aa16EI16EI方向向上b）1）将P力移到C截面处，如下图PAC21（2）由位移互等定理BlP(l)3P(l)2fc2112fc2(2lc)23EI2EI25Pl348EI方向向下9-8.试求图示各梁截面B的挠度和转角。qCABala)解：（1）在B处作用虚加力Pf和Mf，并列出弯矩方程qPfMfCBAx2x1M(x1)Pfx1MfM(x2)1qx22Pf(lax2)Mf2（2）上式分别对Pf和Mf求偏导数M(x1)

4、x1M(x2)x2)Pf(laPfM(x1)1M(x2)Mf1Mf（3）用卡氏定理求挠度和转角fBUM(x1)M(x1)dx1Pfl1EIPf0(Pfx1Mf)(x1)dx1laEIa1qx2Pf(lax2)22l2M(x2)M(x2)dx2EIPfMf(lax2)dx20EIBUlM(x1)M(x1)dx1lM(x2)M(x2)dx2Mfla(0a1EIMfPfx1Mf)(1)dx1EI1qx22Pf(lax2)22EIMfMf(1)dx20EI（4）令上两式中的Pf和Mf为零a1qx22fB02(lax2)dx20EIqa3(4la)EIa1qx22200(1)dx2BEIqa3EI挠度和

5、转角的方向与虚加力的方向一致9-11.图示刚架，已知AC和CD两部分的I=3010-6m4，E=200GPa。试求截面D的水平位移和转角，若P=10kN，l=1m。2PABCll2lDP解：（1）在D处作用虚加力Mf，并列出弯矩方程P2=2PABCx3x2x1fP1=PDM(x1)P1x1MM(x2)2P1lMM(x3)2P1lMffP2x3（2）上式分别对P1和Mf求偏导数M(x1)M(x2)M(x3)x12l2lP1P1P1M(x1)M(x2)M(x3)111MfMfMf（3）用卡氏定理求挠度和转角DHUP1M(x1)M(x1)dx1M(x2)M(x2)dx2l1EIM(x3)l3EIP1

6、l2EIP1(x3)dx2P12l(P1x1EI2P1l0MMEIf)(x1)dx102P1lMf(2l)dx2lEIfP2x3(2l)dx3UM(x1)M(x1)Bl1MfEIMfM(x3)M(x3)dx3l3EIMfdx1l2M(x2)M(x2)dx2EIMf2l(Pfx1Mf)(1)dx10EIl02P1lMfEI(1)dx2l2PlMPx3(1)dx301EIf2（4）令上两式中的Mf为零DHB2l(P1x1)(x1)dx10EI38Pl321.1mm3EI2l(Pfx1)0EI(1)dx17Pl20.0117radEIl2P1l(2l)dx2l2P1lP2x3(2l)dx30EI0E

7、I02P1l(1)dx202P1lP2x3(1)dx3llEIEI挠度和转角的方向与P1和虚加力的方向一致9-13.图示桁架各杆的材料相，截面面积相等，在载荷P作用下，试求节点B与间的相对位移。CBPlADl解：（1）在B处作用虚加力Pf，并求出约束反力2CBPPf134XAA5DYANDXAP22PfYAPNDP22Pf（2）求各杆的轴力N12PfN22PfN3P2Pf222N42PPfN50（3）上式分别对Pf求偏导数N12N22N32N41N50Pf2Pf2Pf2PfPf（4）用卡氏定理求B点沿BD方向的位移U5NiliNiBDEAPfPfi12Pfl22Pfl22(2)EA)EA(22

8、(P2Pf)l2(2PPf)2l2(0EA2)EA1（5）令上式中的Pf为零BD00(P)l(2)(2P)2l0EA2EA(22)Pl2.71Pl2EAEA方向为B向D靠近9-14.图示简易吊车的撑杆AC长为2m，截面的惯性矩I=8.53106mm4。拉杆BD的A=600mm2。P=2.83kN。如撑杆只考虑弯曲影响，试求C点的垂直位移，设E=200GPa。DCo45BP45o1mA解：（1）求出约束反力RDx1CD45oBPx2o45XAAYAXA2PYA2PRD2P222（2）求BD杆的轴力和AC杆的弯矩N2PM(x1)2Px1M(x2)2P(1x2)2Px222（3）用卡氏定理求C点垂直

9、位移UNlBDNCVPEAP2P1120EA12P(1x2)20EI2PPPEA6EI6EIl1M(x1)M(x1)dx1l2M(x2)M(x2)dx2EIx1EIx22Px122(EIx1)dx122Px22(1x2)dx222PPEA3EI0.04720.5530.60mm方向向下。9-15.平面刚架如图所示。刚架各部分截面相同，试求截面A的转角。PACB4lD3l解：（1）求各杆的弯矩方程PAB1x2CDx3M(x1)Px1M(x2)P(3lx2cos)M(x3)Px3（2）在梁上A处单独作用一单位力偶，并列出弯矩方程1BAx1x2DCx3M(x1)1M(x2)1M(x3)1（3）用莫尔

10、定理求A截面的转角AM(x1)M(x1)dx1M(x2)M(x2)dx2l1EIl2EI3l(3Px1)(1)5lx2cos)1dx10Pldx20EIEI9Pl215Pl29Pl233Pl22EI2EI2EI2EIM(x3)M(x3)dx3l3EI4l(Px3)(1)0dx3EI转角的方向与单位力偶方向相同。9-18.图示折轴杆的横截面为圆形，在力偶矩Mo作用下，试求析轴杆自由端的线位移和角位移。lMoh解：（1）求水平杆的扭矩方程和垂直杆的弯矩方程x1Mox2T(x1)M0M(x2)M0（2）在自由端分别单独作用一单位力和单位力偶，并求出相应的扭矩方程和弯矩方程x1x11x21x2T1(x

11、1)0M1(x2)x2T2(x1)1M2(x2)1（3）用莫尔定理求自由端的位移Hl1T(x1)T1(x1)dx1l2M(x2)M1(x2)dx2GIpEI0hM0 x2dx2M0h232M0h20EI2EIEd4l1T(x1)T2(x1)dx1l2M(x2)M2(x2)dx2GIpEIlM01hM01dx1EIdx20GIp0M0lM0h32M0l64M0hGIpEIGd4Ed4自由端的线位移和角位移和方向与单位力和单位力偶方向一致。9-19.在曲拐的端点C上作用集中力P。设曲拐两段材料相同且均为同一直径d的圆截面杆，试求C点的垂直位移。Cx1PABax2a解：（1）求BC杆的弯矩方程及AB

12、杆的扭矩方程和弯矩方程M(x1)Px1M(x2)Px2T(x2)Pa（2）在C端单独作用一单位力，并求出相应的扭矩方程和弯矩方程Cx11AB2M(x1)x1M(x2)x2T(x2)a（3）用莫尔定理求C端的垂直位移Vl1M(x1)M(x1)dx1l2T(x2)T(x2)dx2l2M(x2)M(x2)dx2EIGIpEIaPx1x1dx1aPaadx2aPx2x2dx20EI0GIp0EIPa3Pa3Pa3128Pa332Pa33EIGIp3EI3Ed4Gd4自由端的垂直位移单位力方向一致。9-21.平均半径为R的细圆环，截面为圆形，直径为D。两个力P垂直于圆环轴线所在的平面。试求两个力P作用点

13、的相对位移。RPP解：（1）求曲杆的扭矩方程和弯矩方程RM()T()Q()PT()PR(1cos)M()PRsin（2）上两式分别对P求偏导数T()R(1cos)M()PPRsin（3）用卡氏定理求垂直位移T()T()M()M()dsdsVlGIpEIPlP(1cos)(1cos)PRsinsin2PR20RRd0RRdGIpEI96PR364PR3Gd4Ed49-24.图示杆系各杆的材料相同，截面面积相等。试用力法求各杆的内力。ACBlPb)解：（1）属一次静不定问题，取C为多余约束，约束反力为X11ACBDP列出用力法求解的基本方程X01111P（2）求1P1ACBACB113232DPD

14、由上图知N10N11分别对D点受力分析N2N1N3N1N3N2DPDPPN2N32sin2sin11N2N32cos2cos由莫尔定理3NiNili1PEAi110P(1)l(P)(EA2sin2coscos2sin0（3）求113NiNili11EAi11l(1)2l(1)2EA2coscos2cosl(11)EA34cos（4）求出X11l)2coscoslcosX10（5）求杆的内力N1PN1N1X1N10N2PN2N2X1N2P2sinN3PN3N3X1N3P2sin2杆受拉，3杆受压。9-26.链条的一环如图所示，试求环内最大弯矩。PPR2aR解：（1）结构对称、载荷对称，取四分之一研究CP/2xX1a属一次静不定问题，取C截面上的约束力偶为多余约束，多余约束反力为X1，列出用力法求解的基本方程X01111P（2）求1PCP/2Cx1xaa列弯矩方程M(x)0M()PR(1cos)2M(x)1M()1由莫