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文档简介
1、1给定ABC,D、E、F是边BC、CA、AB上的任意三点,O1、O2分别是BDF、CDE的外心。AHBC于H,AH与AEF相交于R点,联结DR交O1O2于Q。求证:(1)Q是DR中点;(2)O1QQO2BHHC。2已知AD、BE、CF是ABC的内角平分线,直线DE、AB相交于M点,直线DF、AC相交于N点,O、I分别是ABC的外心和内心。求证:OIMN。3自圆O外一点P作圆O的两条切线PA、PD及割线PCB,AEBC于E,直线DE交圆O于另一点F,H是ABC 的垂心。求证:AFH=90。4已知P是ABC内任一点,AP、BP、CP分别交对边BC、CA、AB于点D、E、F,直线DE、AB交于Q,直
2、线DF、AC交于P,M、N分别是PE、QF中点,O、H分别是ABC、DEF的外心和垂心。求证:OHMN。5平面上有不相等的两圆,当两个动点A和B分别沿两圆按逆时针方向作相同角速度的运动时,求证:(1)平面上存在一个定点P,使得PAB的形状始终保持不变;(2)平面上存在一个定点Q,使得QAB的面积始终保持不变。5平面上有不相等的两圆,当两个动点A和B分别沿两圆按逆时针方向作相同角速度的运动时,求证:(1)平面上存在一个定点P,使得PAB的形状始终保持不变;(2)平面上存在一个定点Q,使得QAB的面积始终保持不变。【证明】(1)记两圆的圆心分别为O1,O2,又设A0,B0是动点A,B在运动中某一时
3、刻的位置。建立复平面并以各点的字母表示该点所对应的复数。由复数法易说明平面上存在一点P,使得PO1A0PO2B0:, P。对于A,B的其它任意位置,由于总成立AO1A0BO2B0,表明PAA0与PBB0也彼此相似,再由旋转型相似关系即可得:PABPA0B0PO1O2。(2)取P关于连心线O1O2的对称点Q,下面证明QAB的面积为定值。以O1为圆心作过经过P,Q两点的圆,延长PA交此圆于R,联RQ。因PRQPO1Q2PO1O2PAB(用到PABPO1O2),得RQAB,于是可作等积变形:SQABSRAB ABAR sinPAB;而ABPAPA ,PABPO1O2。再由圆幂公式知PAARO 1P2
4、O1A2。 SQAB ABAR sinPABPAARsinPO1O2sinPO1O2定值。证毕。6. 设P、Q是ABC内两点,满足BAPCAQ,ABPCBQ,BCPACQ,PBC、PCA、PAB的外心分别为O1、O2、O3,QBC、QCA、QAB的外心分别为O1、O2、O3。设O是经过O1、O2、O3三点的圆之圆心,O是经过O1、O2、O3三点的圆之圆心。求证:OOPQ。证明 设O3、O2联线和O3、O2联线交于D点。因O3、O3分别为PAB、QAB的外心,故它们同在AB的中垂线上,即O3O3AB。类似地,O3、O2分别为PAB、PAC的外心,故它们同在AP的中垂线上,即O3O2AP。由此得O3O3O2BAP。 同样O2O2AC,且O2O3AQ,得O2O2O3CAQ。 由,及已知条件BAPCAQ知O3O3O2O2O2O3。这就表明O3、O3、O2、O2四点共圆。于是由圆幂定理得O3DDO2O3DDO2。表明D点到O及O的幂相等,是这两圆根轴上的一点。另一方面,由于D既在AP的中垂线上,又在AQ的中垂线上,因此DPDQ。 表明D点也在线段PQ的中垂线上。类似地,若设O3、O1联线和O3、O1联线交于E点。同理可证E点到O及O的幂相等,且E点也在线段PQ的中垂线上
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