线性代数习题集v1答案修订版

1、1.1-1.5 单项选择1、A 2、D 3、A 4、D 5、B填空题1、 2、98 3、120 4、0 （提示：）三、计算题1、402、第一列加到第二列，第二列加到第三列。得= 填空题1、1或-1或2或-2 2、 3、12 4、-4，-4单项选择1、C 2、B 3、BD 解答题1、（1）-3 （2） （3）2、（1） （2）1.7, D=0，即设投资，即求方程组是否有解。观察系数行列式，知方程组有唯一解，即可能实现预期的利润但只有唯一一种投资组合。 习 题 课选择填空1、C 2、A 3、0计算1、分析多项式，发现f(x)的最高次项若为四次，只能包含于和两项中，第一项系数为24，第二项系数为-2

2、4，所以的系数为0。因此最高次考虑，分析发现每一项中必须有三个或者四个x的因子才可能包含，所以也只能从和中考虑，通过行列式定义可求得第一项中的系数为24+24+24+24=96，第二项的系数为-（-72+24+8+24）=16，即f(x)的最高次项系数为112。 2、按第一列展开有，课 外 习 题选择题1、A 2、B 3、A填空题1、 2、 3、k=-2计算 1（1）a+b+d (2) 2.证明：按第一列展开，得， ，由此得，-式（1）；同理可得-式（2）将式（1）乘以b减去式（2）乘以a，再除以a-b，得到 3用归纳法n=1时，结论成立。假设结论对n-1阶行列式成立，对n阶行列式，先将的最后

3、一列元素看成是二数之和，即4设原价为，利用克拉默法则解得2.1-2.2 矩阵的概念及运算单项选择1、C 2、B 3、C 4、D 5、A填空题1、 2、 ，14 3、三、计算题1、，其中， 3、（1），。 2.3 逆 矩 阵单项选择1、C 2、A 3、C 4、C 5、D填空题1、， 2、， 3、27 4、 5、 解答题1、 2.4 分 块 矩 阵填空题1、 2、4 2 3、解答题 习 题 课选择题1、C 2、C 3、D填空题1、 2、 3、 4、解答题课 外 习 题选择题1、C 2、C 3、C填空题1、2 2、2 3、 4、解答题 3.13.2 矩阵的初等变换、初等矩阵一、填空与选择题1. 2.

4、 、 3. 4.D 5.C二、计算题1. 2. 3. ，4. ，5. ，。3.3 矩阵的秩一、填空与选择题1. 2. 1 3. 0 4. 4 5.B 6.BD二、计算题1. ，2. ，时即。当时，。当时，。3. 为非满秩矩阵，三、证明题1. 只要证（不满秩），又，不满秩，2. （1）当时满秩，又，满秩，（2）当时，。 又，。，A中至少有一个n-1阶子式不为0是由A的n-1阶代数余子式构成的，（3）当时， A的任意n-1阶子式都为0，3.4 线性方程组一、填空与选择题1. 无穷多 2. 非零 3. A 4.D 5.B二、计算题1. ，非自由未知量，自由未知量，令，则得到一个基础解系通解2. ，

5、令，则3. 当时则有，有唯一解。当时，此时原方程组无解。当时增广矩阵为，此时，故原方程组有无穷多解，对应方程变为，令，则通解为三、证明题证：，有唯一的零解，第三章 习题课一、填空与选择题1.2 2.-3 3.-1 4. 5.C二、计算题1. 2. 当时。当时当时，3. ，对应的方程组为令，则线性方程组的通解为4. 当时则有，有唯一解。当时，此时原方程组无解。当时增广矩阵为，此时，故原方程组有无穷多解，对应方程变为，令，则通解为第三章 课外作业一、填空与选择题1.AB 2.A 3.D 4.2 5.-2二、，。又，三、（1），（互不相等）。又， ，方程组无解。(2) 若，则原程组同解于，令，则通解

6、为四、（1）当即时无解。（2）当时，方程有无穷多解，第四章 答案4.1-4.2 一、单项选择1、C 2、A 3、C 4、D 5、D二、填空题1、 2、修改：3、 0 4、 1 三、计算题1、 当 时， 线性相关。2、3、设，则线性无关，线性无关。4、：设为任一维向量， 个维向量必线性相关，且线性无关 必可被线性表示。 ：设为一维单位向量，则由题意可被线性表出。 又可被单位向量表示，且可被任意向量线性表示 与等价 4.2-4.3一、单项选择1、A 2、D 3、C 4、B 二、填空题 1、 2 2、 3、三、计算题1、，有解，即可被线性表示。易知通解 ，2、，极大无关组为3、4、 可被线性表示，

7、4.4一、单项选择1、D 2、A 3、A 4、C 5、A二、填空题 1、 无穷多 2、 3、三、计算题1、，2、 修改：第一个方程改为： 通解是：3、，有4个未知数，解空间维数： ，代入， 通解：4.5一、单项选择1、C 2、A 二、填空题 1、 2、 3、 3 4、 3 （取令）三、计算题1、，线性无关，为的基 2、,解空间维数为, 令 可得为的一组基。3、，时，非基。4、1） 2） 习题课一、单项选择1、D 2、C 3、C 4、B 5、C二、填空题 1、 不能 2、 3 三、计算题1、2、，方程无解3、解1：令，, 得 线性无关 得 解2：线性无关 ，基础解系中向量个数为，且知为一非零解即

8、为的基础解系。 又 ，为的特解。 通解为自测题一、单项选择1、B 2、B 3、D 二、习题课 1、时，为最大无关组 时，为最大无关组 2、设一组数使得 可得 线性无关 3、 4、设线性相关 不全为0的数使得 又可被线性表示， 与唯一矛盾。5、1) ,无解，不能表出。 2） ，唯一解，可被唯一表出。 5.15.2向量的内积、方阵的特征值与特征向量填空题1.-15 2. 3.4 4.、单项选择题1.D 2.B 3.C三、解答题1.应满足，即 它的基础解系 把基础解系正交化得 再将单位化得，2. 得，解齐次方程组，得基础解系解齐次方程组，得基础解系3. 得，解齐次方程组，得基础解系解齐次方程组，得基

9、础解系4.设是的特征值对应的特征向量，设则 由已知得 因为，故,解得5.25.3方阵的特征值与特征向量、相似矩阵一、填空题1.、 2. 3. 4.、 5.、二、选择题1.C 2.C 3.C 4.B三、1. 得，解齐次方程组， 属于的线性无关的特征向量的个数不等于根的重数为 不与对角矩阵相似2. 得，解方程组，得基础解系解齐次方程组，得基础解系即有三个线性无关的特征向量，故可对角化令四、相似，则存在可逆矩阵,使 故5.45.5对称矩阵的对角化、二次型一、填空题1.- 2. 3. 4. 5.二、选择题1.C 2.D 3.C 4.D三、解答题1.设对应于的特征向量则 即得是矩阵的属于的特征向量又由即

10、2. 得，解方程组，得基础解系由于已正交，将单位化，得解方程组，得基础解系，单位化得将构成正交矩阵3.因与相似，故的特征值是由特征值的性质解得，解方程组，得基础解系将正交化，再单位化，得解方程组，得基础解系，单位化得将构成正交矩阵5.55.7二次型化为标准形、正定二次型一、填空题1. 、 2. 、 3. 4. 5.二、选择题1.D 2.A 三、解答题1.二次型的矩阵为 它的特征多项式为故的特征值是 ，解方程组，得基础解系将单位化，得解方程组，得基础解系，单位化得于是正交变换为且有2.令 则则二次型的标准形为经过的坐标变换为3.二次型矩阵 标准形矩阵 则 当时，由得到特征向量 当时，由得到特征向量 当时，由得到特征向量 特征值不同，特征向量已正交，故只需单位化 为所用的正交变换矩阵第五章习题课一、填空题1.、 2. 3. 4. 5.二、选择题1.C 2.D 3.D三、解答题1. （1）设是的特征值对应的特征向量，则 即于是可得（2）由（1）知，所以于是解方