初一数学压轴题练习

1、一.解答题(共19小题)(2013?扬州)如果10b=n,那么b为n的劳格数，记为b=d (n),由定义可知：10b=门与b=d (n)所表示的b、n两个量之间的同一关系.(1)根据劳格数的定义， 填空：d (10) =, d (10 2) =;(2)劳格数有如下运算性质：若 my n为正数，则d (m。=d (mi) +d (n), d (三)=d (mj) - d (n).根据运算性质，填空：&(3：)=(a为正数)，若d (2)=,则d (4)d (a)=, d (5) =, d () =；(3)如表中与数x对应的劳格数d (x)有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正.

2、x356891227d (x) 3a- b+c 2a-b a+c 1+a- b-c3-3a-3c 4a-2b 3-b-2c6a-3b(2012?安庆一模)先阅读下列材料，再解答后面的问题.一般地，若an=b (a0且a手1, b0),则n叫做以a为底b的对数，记为log ab (即log ab=n).如34=81,则4叫做以3为底81的对数，记为log 381 (即log 381=4). (1)计算以下各对数的值：log 24=, log 216=,log 264=.(2)观察(1)中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log 24、log 216、log 264 之间又满足怎样的关系式；

3、(3)猜想一般性的结论：log aM+logaN=(a0 且 a手 1, M0, N0), 并根据募的运算法则：am?an=am+n以及对数的含义证明你的猜想.(2012?沈阳模拟)认真阅读材料，然后回答问题: 我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b） 1=a+b, （a+b） 2=a2+2ab+t2, （a+b） 3= （a+b） 2 （a+b） =a3+3a2b+3ab2+b3, 下面我们依次对（a+b） n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形，用你发

4、现的规律回答下列问题：（1）多项式（a+b） n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；（2）请你预测一下多项式（a+b） n展开式的各项系数之和.（3）结合上述材料，ft断出多项式（a+b） n （n取正整数）的展开式的各项系数 之和为S,（结果用含字母n的代数式表示）.（2009?佛山）阅读材料：把形如 ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a22ab+b2= （ab） 2.例如：（x-1） 2+3、（x - 2） 2+2x、（x- 2） 2+x2是 x2- 2x+4 的三种不同形式的配 24方（即“余项”分

5、别是常数项、一次项、二次项-见横线上的部分）请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出 x2-4x+2三种不同形 式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；（3）已知a2+b2+c2 - ab- 3b- 2c+4=0,求 a+b+c 的值.（2007?东营）根据以下10个乘积，回答问题：11X29; 12X28; 13X27; 14X26; 15X25;16X24; 17X23; 18X22; 19X21;20X20.（1）试将以上各乘积分别写成一个“口 2-?2 （两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；（3）

6、若用 albl, a2b2,，anbn 表示 n 个乘积，其中 al, a2, a3,，a, bi, b2, b3,，bn为正数.试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论.（不要求证明）（2006?浙江）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正 整数为“神秘数”.如：4=22- 02, 12=42- 22, 20=62- 42,因止匕4, 12, 20都是“神 秘数”（1） 28和2012这两个数是“神秘数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k （其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造 的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（k取正数）是神秘数吗？

7、为什么？（2015?于洪区一模）如图1,在 ABC中，/ACB为锐角，点D为射线BC上一 点，连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形 ADEF（1）如果 AB=AC /BAC=90 ,当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2,线段CE BD所在直线的位置 关系为,线段CR BD的数量关系为 ;当点D在线段BC的延长线上时，如图3,中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果ABAG /BAC是锐角，点D在线段BC上，当/ ACB满足什么条件时， CFBC（点C F不重合），并说明理由.（2015?荷泽）如图，已知/ ABC=90 , D是直线 AB上的点，AD=BC（1）如图1,过点

8、A作AF，AR并截取 AF=BD连接DC DF、CF,判断 CDF的形状并证明；（2）如图2, E是直线BC上一点，且CE=BD直线AB CD相交于点P, / APD的 度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由.（2015?铁岭一模）已知： ABC中，BD CE分别是 AC AB边上的高，BQ=AC 点F在CE的延长线上，CF=AB求证：AFAQ（2013?庐阳区校级模拟）如图，将两个全等的直角三角形 ABD AACE拼在 一起（图1）. 4ABD不动，（1）若将4ACE绕点A逆时针旋转，连接DE M是DE的中点，连接MB MC（图2）,证明：MB=M C（2）若将图1中

9、的CE向上平移，/CAE不变，连接DE, M是DE的中点，连接MBMC（图3）,判断并直接写出 MB MC勺数量关系.（3）在（2）中，若/ CAE的大小改变（图4）,其他条件不变，则（2）中的MB MC勺数量关系还成立吗？说明理由.（2012?昌平区模拟）（1）如图，在四边形 ABC砰,AB=AD / B=/ D=90 , E、F分别是边BG CD上的点，且/ EAF=1/BAD求证：EF=BE+FD（2）如图，在四边形 ABC前，AB=AD /B+/ D=180 , E F分别是边BG CD上的点，且/ EAF=1/ BAD （1）中的结论是否仍然成立？（3）如图，在四边形 ABC前，AB

10、=AD /B+/ADC=180 , E、F分别是边 BC CD 延长线上的点，且/ EAF=i/BAD （1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.（2011?泰安）已知：在 ABC中，AC=BC / ACB=90，点D是AB的中点，点E是AB边上一点.（1）直线BF垂直于直线CE于点F,交CD于点G （如图1）,求证：AE=CG（2）直线AH垂直于直线CE,垂足为点H,交CD的延长线于点M （如图2）,找出 图中与BE相等的线段，并证明.（2005?扬州）（本题有 3 小题， 第 （1） 小题为必答题， 满分 5分； 第 （2）、 （3）小题为选答

11、题，其中，第（ 2 ）小题满分3 分，第（3 ）小题满分6 分，请从中任选 1 小题作答，如两题都答，以第（2 ）小题评分）在4ABC中，/ACB=90 , AC=BC 直线 MN经过点 C,且 ADLMN于 D, BE!MNT E.（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：4AD孥ACEIB DE=AD+BE（2）当直线 MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=A BE;（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE AD BE具有怎样的等量关 系？请写出这个等量关系，并加以证明注意：第（2） 、 （ 3 ）小题你选答的是第2 小题（2012?淮安）阅读理解如图1,4ABC中，沿

12、/BAC的平分线AB折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿/B AC 的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿/B nAC的平分线AR+1折叠， 点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，/BAC是4ABC的好角小丽展示了确定/ BAC是4ABC的好角的两种情形.情形一：如图2,沿等腰三角形ABC顶角/ BAC的平分线AB折叠，点B与点C重合；情形二：如图3,沿/ BAC 的平分线AB折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿/B iAC的平分线A8折叠，此时点Bi与点C重合.探究发现4ABC中，/ B=2Z C,经过两次折叠，/ BAC是不是 ABC的好角？ (填“是”或“不是”).(

13、2)小丽经过三次折叠发现了/ BAC是4ABC的好角，请探究/B与/C (不妨设/B /C)之间的等量关系.根据以上内容猜想：若经过n次折叠/ BAOAABC的好角，则/B与/C (不妨设/ B/C)之间的等量关系为 .应用提升(3)小丽找到一个三角形，三个角分别为15、60、105 ,发现60和105 的两个角都是此三角形的好角.请你完成，如果一个三角形的最小角是 4。，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角.(2011?房山区一模)已知：等边三角形 ABC(1)如图1, P为等边 ABC外一点，且/ BPC=120 .试猜想线段 BP、PG AP之间的数量关系，

14、并证明你的猜想；(2)如图 2, P 为等边 ABC内一点，且/ APD=120 .求证： PA+PD+PCBD.(2010?丹东)如图，已知等边三角形 ABC中，点D, E, F分别为边AB, AC, BC的中点，M为直线BC上一动点，ADM版等边三角形(点M的位置改变时，4DMN 也随之整体移动).(1)如图1,当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点 F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由;（2）如图2,当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图 2 证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右

15、侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论 中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说 明理由（2006?西岗区）如图，以 ABC的边AR AC为直角边向外作等腰直角 ABE 和ACD M是BC的中点，请你探究线段 DE与AM之间的关系.说明： （ 1 ）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写 3 步） ；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列、中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明画出将 ACM绕某一点顺时针旋转180后的图形；/BAC=90 （如图）附加题：如图，若以4ABC的边AB AC

16、为直角边，向内作等腰直角 ABE和4ACD 其它条件不变，试探究线段DE与AM之间的关系.（2006?大连）如图1, RtABC中AB=AC点D E是线段AC上两动点，且AD=EC AMS直BD,垂足为M, AM的延长线交BC于点N,直线BD与直线NE相交于点F.试 判断4DEF的形状，并加以证明.说明： （ 1 ）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写 3 步） ； （ 2 ）在你经历说明（1 ）的过程之后，可以从下列、中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明.1、画出将 BAD沿BA方向平移BAK,然后顺时针旋转 90后图形;2、点K在

17、线段BD上，且四边形 AKN等腰梯形(AC/ KN如图2).附加题：如图3,若点D E是直线AC上两动点，其他条件不变，试判断 DEF的形状，并说明理由.参考答案与试题解析一.解答题(共19小题)1. (2013?扬州)如果10b=n,那么b为n的劳格数，记为b=d (n),由定义可知：10b=门与b=d (n)所表示的b、n两个量之间的同一关系.(1)根据劳格数的定义，填空： d (10) = 1, d (10 2) = -2 ;(2)劳格数有如下运算性质：若 mi n 为正数，则 d (mr) =d (mj) +d (n), d (工)=d (mj) d (n). n根据运算性质，填空：d

18、 f = 3(a 为正数)，若 d (2)=,则 d (4) =, d (5) =, d ()d laj=z；(3)如表中与数x对应的劳格数d (x)有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正.x356891227d (x) 3a-b+c 2a- b a+c1+a-b - c3 - 3a - 3c 4a- 2b 3-b-2c6a-3b【考点】整式的混合运算；反证法.【专题】压轴题.【分析】(1)根据定义可知，d (10)和d (10 2)就是指10的指数，据此即可求解；j /3 (2)根据 d(a3)=d (a?a?a) =d(a)+d(a)+d(a)即可求得的值；d laj(3

19、)通过9=32, 27=33,可以判断d (3)是否正确，同理以依据 5=10+ 2,假设d(5)正确，可以求得d (2)的值，即可通过d (8), d (12)作出判断.【解答】解：(1) d (10) =1, d (10 2) =-2;故答案为：1, -2;/ oa d (二)_3d (a) -o.(2 -3，因为d (2)=故 d (4) =d (2) +d (2)=,d =d (10) - d =1-=,d () =d (8X10 2) =3d (2) +d (10 2)=-;(3)若 d (3)才2a b,贝U d (9) =2d (3)才4a 2b,d (27) =3d (3)才6

20、a- 3b,从而表中有三个劳格数是错误的，与题设矛盾，.d ( 3) =2a- b,若 d (5)乎a+c,贝U d (2) =1 - d (5)才 1 ac,.d (8) =3d (2)才 3 - 3a - 3c,d (6) =d (3) +d +a- b- c,表中也有三个劳格数是错误的，与题设矛盾.d ( 5) =a+c.表中只有d ()和d (12)的值是错误的，应纠正为：d () =d (3) +d (5) - 1=3a-b+c-1,d (12) =d (3) +2d (2) =2- b- 2c.【点评】本题考查整式的运算，正确理解规定的新的运算法则是关键.(2012?安庆一模)先阅

21、读下列材料，再解答后面的问题.一般地，若an=b (a 0且a手1, b0),则n叫做以a为底b的对数，记为log ab (即log ab=n).如34=81,则4叫做以3为底81的对数，记为log 381 (即log 381=4).(1)计算以下各对数的值：log 24= 2 , log 216= 4 , log 264= 6 .(2)观察(1)中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log 24、log 216、log 264 之间又满足怎样的关系式；(3)猜想一般性的结论：10g aM+logaN= 10g a ( MN(a0 且 a手 1, M 0, N0),并根据募的运算法则：am

22、?an=am+n以及对数的含义证明你的猜想.【考点】同底数募的乘法.【专题】压轴题；新定义.【分析】(1)根据材料叙述，结合 22=4, 24=16, 26=64即可得出答案；(2)根据(1)的答案可得出10g 24、10g 216、10g 264之间满足的关系式；(3)设 log aM=b, 1ogaN=b,则 ab1=M ab2=N,分别表示出 MNM b1+b2 的值,即可得 出猜想.【解答】 解：(1) 10g 24=2, log 216=4, log 264=6;(2) log 24+log 216=1og 264；(3)猜想 log aM + 10gaN = 10ga (MN.证明

23、：设 log aM=b, 1ogaN=b,则 ab1=M ab2=N,故可得 MN=a?ab2=ab1+b2, b+b2=1og a (MN,即 log aM + 10gaN = 10ga (MN.【点评】本题考查了同底数募的乘法运算，题目出得比较新颖，解题思路以材料 的形式给出，需要同学们仔细阅读，理解并灵活运用所给的信息.（2012?沈阳模拟）认真阅读材料，然后回答问题:我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b） 1=a+b, （a+b） 2=a2+2ab+t2, （a+b） 3= （a+b） 2 （a+b） =a3+3a2b+3ab2+b3,下面

24、我们依次对（a+b） n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形，用你发现的规律回答下列问题：（1）多项式（a+b） n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；（2）请你预测一下多项式（a+b） n展开式的各项系数之和.（3）结合上述材料，ft断出多项式（a+b） n （n取正整数）的展开式的各项系数之和为S,（结果用含字母n的代数式表示）.【考点】完全平方公式.【专题】压轴题；阅读型；规律型.【分析】（1）由题意可求得当n=1, 2, 3, 4,时，多项式（a+b） n的展开式是一个几次几项式，

25、第三项的系数是多少，然后找规律，即可求得答案；（2）首先求得当n=1, 2, 3, 4时，多项式（a+b） n展开式的各项系数之和，即 可求得答案；（3）结合（2）,即可推断出多项式（a+b） n （n取正整数）的展开式的各项系数之和.【解答】解：（1）二.当n=1时，多项式（a+b） 1的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为：0=J,当n=2时，多项式（a+b） 2的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为：1言当n=3时，多项式（a+b） 3的展开式是三次四项式， 此时第三项的系数为：3,2当n=4时，多项式（a+b） 4的展开式是四次五项式， 此时第三项的系数为：6=%,2多项式（a+b

26、）口的展开式是一个n次n+1项式，第三项的系数为：口,7； 2（2）预测一下多项式（a+b） n展开式的各项系数之和为：2n;V当n=1时，多项式（a+b） 1展开式的各项系数之和为：1+1=2=21,当n=2时，多项式（a+b） 2展开式的各项系数之和为：1+2+1=4=22,当n=3时，多项式（a+b） 3展开式的各项系数之和为：1+3+3+1=8二夕，当n=4时，多项式（a+b） 4展开式的各项系数之和为：1+4+6+4+1=16=2,多项式（a+b） n展开式的各项系数之和：S=2n.【点评】此题属于规律性、阅读性题目.此题难度较大，由特殊到一般的归纳方法的应用是解此题的关键.4. （

27、2009?佛山）阅读材料：把形如 ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a22ab+b2= （ab） 2.例如：（x-1） 2+3、（x-2） 2+2x、（-x-2） 2匚x2是x2-2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项-见横线上的部分）请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出 x2-4x+2三种不同形式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；（3）已知 a2+b2+c2 - ab - 3b - 2c+4=0,求 a+b+c 的值.【考点】完全平方公式.【专题

28、】压轴题；阅读型.【分析】(1) (2)本题考查对完全平方公式的灵活应用能力，由题中所给的已知 材料可得x2- 4x+2和a2+ab+b2的配方也可分别常数项、一次项、二次项三种不同 形式；(3)通过配方后，求得 a, b, c的值，再代入代数式求值.【解答】解：(1) x2-4x+2的三种配方分别为：x2- 4x+2= (x- 2) 2- 2,x2- 4x+2= (x+&) 2 - (2/2+4) x,x2- 4x+2=(百x -近)2 -x2;a2+ab+b2= (a+b) 2 - ab, a2+ab+b2= (a/b) 2+b2;24+ (-b2- 3b+3) + (c2-2c+1),+

29、2 (b2- 4b+4) + (c2-2c+1), 4(b-2) 2+ (c- 1) 2=0,a2+b2+c2- ab- 3b- 2c+4,=(a2- ab+b2) 4=(a2- ab+b2) 4=(a - /b) 2+-从而有 a - -b=0, b-2=0, c-1=0, 2即 a=1, b=2, c=1,a+b+c=4.【点评】本题考查了根据完全平方公式：a2土2ab+b2= (ab) 2进行配方的能力.(2007?东营)根据以下10个乘积，回答问题： 11X29; 12X28; 13X27; 14X26; 15X25;16X24; 17X23; 18X22; 19X21; 20X20.

30、（1）试将以上各乘积分别写成一个“口 2T （两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；（ 2）将以上10 个乘积按照从小到大的顺序排列起来；若用ah,&b2,，anbn表示 n个乘积，其中aba,a3,，an,b1，b2,b3,，bn为正数.试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论.（不要求证明） 【考点】平方差公式【专题】压轴题【分析】利用两数的和与这两数的差的积，就是它们的平方差.如11X29;可想几加几等于29,几减几等于11,可得20+9和20-9,可得11 X29=202- 92,同理 思考其它的【解答】 解：（1） 11 X29=202- 92; 12X28=202- 82;

31、13X27=202- 72;14X26=202- 62; 15X25=202 - 52; 16X24=202- 42;17X23=202- 32; 18X22=202 - 22; 19X21=202- 12;20X20=202- 02. （4 分）例如，11X29;假设 11X29=0 2-02,因为口 2 。2= （D+O） （D-O）;所以，可以令口 -。=11, D+O=29.解得，口 =20, 0=9.故 11 X29=202- 92. （5 分）（或 11X29= （ 20 9） （20+9） =202 92. 5 分）（2）这10个乘积按照从小到大的顺序依次是：11 X 29V 1

32、2 X 28V 13 X 27V 14 X 2615X2516X24 17X2318X2219X2120X20.（7 分）（3）若 a+b=40, a、b 是自然数，贝（J ab 202=400. （8 分）若 a+b=40,则 ab 202=400. （8 分）若a+b=mi a、b是自然数，则ab 衅）（9分）若 a+b=ni 则 ab （-T）.（9 分）若 ai+bi=a2+b2=a3+b3=an+bn=40.且|a i- bi|）|a 2 b21）|a 3 b3|）|a n bn| ,则 aibiWa2b2&a3b30&a nbn. （10 分）若 ai+bi=a2+b2=a3+b3

33、=an+bn=m 且|a i- bi|）|a 2 b21）|a 3 b3| 2ss|a n bn| , 则 aibi0a2b20a3b30nbn. （I0分）说明：给出结论或之一的得（I分）；给出结论或之一的得（2分）；给出结论或之一的得（3分）.【点评】此题主要考查了乘法的平方差公式.即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式.（2006?浙江）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正 整数为“神秘数”.如：4=22- 02, I2=42- 22, 20=62-42,因止匕4, I2, 20都是“神 秘数”28和20I2这两个数是“神秘

34、数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k （其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造 的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（k取正数）是神秘数吗？为什么？【考点】平方差公式.压轴题；新定义【分析】 ( 1) 试着把28、 2012 写成平方差的形式， 解方程即可判断是否是神秘数；( 2)化简两个连续偶数为2k+2 和 2k 的差，再判断；(3)设两个连续奇数为 2k+1 和 2k1,贝(J (2k+1) 2 (2k1) 2=8k=4X2k,即可判断两个连续奇数的平方差不是神秘数【解答】解：(1)设28和2012都是“神秘数”，设28是x和x-2两数的平方差得到，

35、则 x2- (x-2) 2=28,解得：x=8, x- 2=6,即 28=82 62,设2012是y和y- 2两数的平方差得到，贝U y2- (y-2) 2=2012,解得： y=504 ，y-2=502,即 2012=5042- 5022,所以 28， 2012 都是神秘数(2k+2) 2- (2k) 2= (2k+2-2k) (2k+2+2k) =4 (2k+1),由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数，且是奇数倍.(3)设两个连续奇数为 2k+1和2k - 1,贝U (2k+1) 2- (2k-1) 2=8k=4X2k,即： 两个连续奇数的平方差是4 的倍数， 是偶数倍， 不满足连续偶数

36、的神秘数为 4的奇数倍这一条件.两个连续奇数的平方差不是神秘数.【点评】 此题首先考查了阅读能力、探究推理能力对知识点的考查，主要是平方差公式的灵活应用7 （ 2007?淄博）根据以下10 个乘积，回答问题：11X29;12X28;13X27;14X26;15X25;16X24;17X23;18X22;19X21;20X20.（1）试将以上各乘积分别写成一个“口 2-0（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；（ 2）将以上10 个乘积按照从小到大的顺序排列起来；（ 3）试由（1 ） 、 （ 2）猜测一个一般性的结论 （不要求证明）【考点】整式的混合运算；绝对值【专题】压轴题；规律型【分

37、析】（ 1）根据要求求出两数的平均数，再写成平方差的形式即可（ 2）减去的数越大，乘积就越小，据此规律填写即可（ 3）根据排列的顺序可得，两数相差越大，积越小【解答】 解：（1） 11 X29=202- 92; 12X28=202- 82; 13X27=202- 72;14X26=202- 62; 15X25=202 - 52; 16X24=202- 42;17X23=202- 32; 18X22=202 - 22; 19X21=202- 12;20X20=202- 02（4 分）例如，11X29;假设 11X29=0 2-02,因为口 2 。2= （D+O） （D-O）;所以，可以令口 -。

38、=11, D+O=29.解得，口=20, 0=9.故 11 X 29=202 - 92.（或 11X29= （ 20 9） （20+9） =202- 92（2）这10个乘积按照从小到大的顺序依次是：11 X 29V 12 X 28V 13 X 27V 14 X 2615X2516X2417X2318X2219X2K20X20（3）若 a+b=40, a, b 是自然数，贝ab 202=400.若 a+b=40,贝U ab 202=400.（8 分）若a+b=mi a, b是自然数，则ab （号）2.若a+b=ni则ab|a 2 b21）|a 3 b3| 2ss|a n bn| ,则 a 1b1

39、|a 2 b21）|a 3 b3| 2ss|a n bn| ,则 abWa2b20a3b30nbn.若a+b=ma, b差的绝对值越大，则它们的积就越小.说明：给出结论或之一的得（1分）；给出结论、或之一的得（2分）;给出结论、或之一的得（3分）.【点评】本题主要考查整式的混合运算，找出规律是解答本题的关键.（2015?于洪区一模）如图1,在 ABC中，/ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形 ADEF（1）如果 AB=AC /BAC=90 ,当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2,线段CE BD所在直线的位置关系为垂直，线段CR BD的数量关系

40、为相等；当点D在线段BC的延长线上时，如图3,中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果ABAG /BAC是锐角，点D在线段BC上，当/A CB满足什么条件时， CF!BC（点C F不重合），并说明理由.【考点】全等三角形的判定与性质.【专题】压轴题；开放型.【分析】（1）当点D在BC的延长线上时的结论仍成立.由正方形 ADEF的性质 可推出 ADA军 AFACC 所以 CF=BD / ACFh ABD 结合/ BAC=90 , AB=AC 得到 /BCFh ACB它 ACF=90 .即 CF BD（2）当/ACB=45时，过点 A作AGLAC交CB的延长线于点 G,则/ GAC=90 ,

41、可推出/ACB4 AGC所以 AC=AG由（1）可知 CF BD【解答】证明：（1）正方形ADEM, AD=AF /BAC4 DAF=90 ,丁. / BAD4 CAF又AB=AC.DA军 AFAC，CF=BD / B=/ ACF丁/ACBV ACF=90 ,即 CF BD当点D在BC的延长线上时的结论仍成立.由正方形 ADEF得AD=AF / DAF=90度. /BAC=90 , / DAFh BAC / DABN FAC又AB=AC.DA军 AFAC，CF=BD / ACFh ABD. /BAC=90 , AB=AC，/ABC=45 ,，/ACF=45 ,，/ BCFh ACB ACF=9

42、0 度.即 CF BD（2）当/ACB=45 时，CFBD（如图）.理由：过点A作AGLAC交CB的延长线于点 G,则/GAC=9 0 ,/ ACB=45 , / AGC=90 - / ACB./AGC=90 - 45 =45 ,/ACBN AGC=45 ,，AC=AG/DAG=FAC （同角的余角相等）,AD=AF.GA国 ACAF.二/ACFh AGC=45 ,/BCFh ACB它 ACF=45 +45 =90 ,即 CF BC【点评】本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS SAS ASA AAS HL.判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的

43、结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件， 再去证什么条件.(2015?荷泽)如图，已知/ ABC=90 , D是直线 AB上的点，AD=BC(1)如图1,过点A作AF，AR并截取 AF=BD连接DC DF、CF,判断 CDF的 形状并证明；(2)如图2, E是直线BC上一点，且CE=BD直线AB CD相交于点P, / APD的 度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由.【考点】全等三角形的判定与性质.【专题】压轴题.【分析】(1)利用SAS证明4AFD和4BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC即可判断三角形的形状；(2)作AF，AB于A,使

44、AF=BD连结DF, CF,利J用SAS证明4AFD和4BDC全等, 再利用全等三角形的性质得出 FD=DC /FDC=90 ,即可得出/ FCD4APD=45 .【解答】解：(1) 4CDF是等腰直角三角形，理由如下：/AFIAR /ABC=90 ,丁 / FADh DBC在4FAD与4DBC中，fAD=BC Zfad=Zdbc ,AF=BD.FA乎DBC( SA,，FD=DC.CDF是等腰三角形，FA乎 ADBC，/ FDAh DCB,. ZBDC+ DCB=90 ,丁. / BDC+FDA=90 ,CDF是等腰直角三角形；(2)作 AFAB于 A,使 AF=BD 连结 DF, CF,如图

45、,/AFIAR /ABC=90 ,丁 / FADh DBC在 FAD与ADBC中，冲BC /FAD=/DBC ,AF二BD.FA乎DBC( SA,，FD=DC.CDF是等腰三角形，FA乎 ADBC丁 / FDAh DCB,. ZBDC+ DCB=90 ,丁. / BDC+FDA=90 ,CDF是等腰直角三角形，/FCD=45 ,. AF/ZCE 且 AF=CE四边形AFC皿平行四边形，AE/ CF, /APD4 FCD=45 .【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质的运用，平行四边形的判定及性质 的运用，等腰直角三角形的判定及性质的运用.解答时证明三角形全等是关键.（2015?铁岭一模）已知

46、： ABC中，BD CE分别是 AC AB边上的高，BQ=AC 点F在CE的延长线上，CF=AB求证：AFAQ【考点】全等三角形的判定与性质.【专题】证明题；压轴题.【分析】 首先证明出/ ABDM ACE再有条件 BQ=AC CF=AEm#4AB笔AACF 进而得到/ F=/BAQ然后再根据/ F+/FAE=90 ,可得/ BAQ+FAI90 ,进 而证出AFAQ【解答】证明：: BD CE分别是AC AB边上的高，/ADB=90 , /AEC=90 ,丁. / ABQ+BAD=90 , / BACVACE=90 ,丁./ABD4 ACE在AABQ和AACF中，ZABD=ZACE , bq=

47、ac.AB笔ACIZ（ SA, / F=/ BAQ/F+/ FAE=90 ,丁./BAQ+FAJ90 , /.AFI AQ【点评】 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定方法，以及全等三角形的性质定理（2013?庐阳区校级模拟）如图，将两个全等的直角三角形 ABD AACE拼在 一起（图1）. 4ABD不动，（1）若将4ACE绕点A逆时针旋转，连接DE M是DE的中点，连接MB MC（图2）, 证明：MB=M C（2）若将图1中的CE向上平移，/CAE不变，连接DE, M是DE的中点，连接MB MC（图3）,判断并直接写出 MB MC勺数量关系.（3）在（2）中，若/

48、 CAE的大小改变（图4）,其他条件不变，则（2）中的MB MC勺数量关系还成立吗？说明理由.【考点】全等三角形的判定与性质【专题】证明题；几何综合题；压轴题【分析】（1）连接AM根据全等三角形的对应边相等可得AD=AE AB=AC全等三角形对应角相等可得/ BADN CAE再根据等腰三角形三线合一的性质得到/MAD = MAE然后利用“边角边”证明 ABM和ACM全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）延长DB AE相交于E,延长EC交AD于F,根据等腰三角形三线合一的性 质得到BD=BE ,然后求出MB/ AE ,再根据两直线平行，内错角相等求出/MBC =CAE同理求出MCZAQ根

49、据两直线平行，同位角相等求出/ BCM = BAD然后求出/ MBC =BCM再根据等角对等边即可得证；（3）延长Bg CE于F,根据两直线平行，内错角相等可得/ MDB = MEF/MBD =MFE然后利用“角角边”证明 MDB和4MEF全等，根据全等三角形对应边相等可得MB=MF然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即 可.【解答】证明：(1)如图2,连接AM由已知得 AB芈AACE .AD=Af AB=AQ / BAD/CAE. MD=ME / MADZ MAf，Z MAD Z BADM MAE Z CAE即 Z BAMZCAMAB = AC Nbajj=/CAW , AM二蒯

50、/.ABIWAACM( SA0,MB=MCMB=MC理由如下：如图3,延长DB AE相交于E,延长EC交AD于F,：BD=BE, CE=ClfM是ED的中点，B是DE的中点，.MH/AE,/. Z MBCZ CAE同理：MC/AR / BCMZ BAD/ BAD4 CAEZ MBCZ BCI/I MB=MCMB=M还成立.如图4,延长BMX CE于F,CE/1 BR.二/MDB =MEF /MBD = MFE又是DE的中点，MD=M E(ZMDB=ZHEF/则二/MFE ,.MD冬AMEF( AA,，MB=M F. /ACE=90 ,./BCF=90 ,，MB=M C【点评】本题考查了全等三角

51、形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等角对等边的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及三角形的中位线定理，综合性较强，但难度不大，作辅助线构造出等腰三角形或全等三 角形是解题的关键.12. (2012?昌平区模拟)(1)如图，在四边形 ABC砰,AB=AD / B=/ D=90 , E、F分别是边BG CD上的点，且/ EAF/BAD2求证：EF=BE+FD(2)如图，在四边形 ABC前，AB=AD /B+/ D=180 , E F分别是边BG CD上的点，且/ EAF弓/BAD (1)中的结论是否仍然成立？（3）如图，在四边形 ABC前，AB=AD /B+/ADC=18

52、0 , E、F分别是边 BC CD延长线上的点，且/ EAF=iZBAD （1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明； 2若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.【考点】全等三角形的判定与性质.【专题】证明题；压轴题；探究型.【分析】（1）可通过构建全等三角形来实现线段间的转换.延长EB到G使BG=DF连接AG目的就是要证明三角形 AG序口三角形AEF全等将EF转换成GE，那么这 样EF=BE+DFT,于是证明两组三角形全等就是解题的关键.三角形ABE和AEF中，只有一条公共边AE,我们就要通过其他的全等三角形来实现，在三角形ABGK AFD 中，已知了一组直角，BG=DF AB=AD因此

53、两三角形全等，那么 AG=AF /1=/2, 那么/ 1+/ 3=/2+/ 3=/ EAF= = /BAD由此就构成了三角形 ABE和AEF全等的所2有条件（SA9,那么就能得出EF=GET.（2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，只不过证明三角形 ABG?DADF全 等中，证明/ ABG=ADF时，用到的等角的补角相等，其他的都一样.因此与（1）的结果完全一样.（3）按,照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换.就应该在BE上截取BG使BG=DF连接AG根据（1）的证法，我们可得出 DF=BG GE=EF那么EF=GE=BE BG=BE DF.所以（1）的结论在（3）的

54、条件下是不成立 的.【解答】证明：（1）延长EB到G,使BG=DF连接AG . /ABGNABC4 D=90 , AB=AD，AG=AF / 1=/2.，/ 1+/ 3=/ 2+/ 3=/ EAF=1Z BAD1，/ GAE= EAF又 AE=AE.AEa AAEF，EG=EF,.EG=BE+B G，EF=BE+FD(2) (1)中的结论 EF=BE+FD5然成立.(3)结论EF=BE+FK成立，应当是 EF=BE- FD.证明：在BE上截取BG使BG=DF连接AG /B+/ ADC=180 , /ADF它 ADC=180 ,，/B=/ ADF.AB=AD.ABa AADF丁/BAGNDAF

55、AG=AF，/ BAG+ EAD4 DAF七 EAD=/ EAF=-/ BAD2，/ GAE= EAF.AE=AE.AEG AAEF，EG=EF,. EG=BE BG，EF=BE FD.【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质；本题中通过全等三角形来实现线 段的转换是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知 和所求条件相关联全等三角形.13. （2011?泰安）已知：在 ABC中，AC=BC / ACB=90，点D是AB的中点，点 E是AB边上一点.（1）直线BF垂直于直线CE于点F,交CD于点G （如图1）,求证：AE=CG（2）直线AH垂直于直线CE,垂足为点H,交CD

56、的延长线于点M （如图2）,找出 图中与BE相等的线段，并证明.【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形.【专题】几何综合题；压轴题.【分析】（1）首先根据点D是AB中点，/ACB=90 ,可彳4出/ ACD= BCD=45 ,判断出AAECACGB即可得出 AE=CG（2）根据垂直的定义得出/ CMA +MCH=90, / BEC艺MCH=90,再根据 AC=BC /ACM=CBE=45 ,得出 BC珞 CAM进而证明出BE=CM【解答】（1）证明：.点D是AB中点，AC=BC/ACB=90 ,CDLAB, /ACD=BCD=45 ,，/ CAD= CBD=45 , / CAEN BC

57、G又BF，CE，/CBG+BCF=90 ,又ACEVBCF=90 ,丁./ACE4CBG在AAEC和ACGB中，.AECACGB( ASA, .AE=CG(2)解：BE=CM证明：V CHLHM CD!EQ / CMA + MCH=90 , / BEC+： MCH=90 ,. / CMA = BEC又/ACM =CBE=45 ,ZBEC=ZCMA ZACM=ZCBE , BC=AC. .BC珞 ACAIVI( AA,，BE=CM【点评】本题主要考查了全等三角形的判定方法以及全等三角形对应边相等的性质，难度适中.14. （2005?扬州）（本题有3小题，第（1）小题为必答题，满分5分；第（2）、

58、（3） 小题为选答题，其中，第（2）小题满分3分，第（3）小题满分6分，请从中任 选1小题作答，如两题都答，以第（2）小题评分.）在4ABC中，/ACB=90 , AC=BC 直线 MN经过点 C,且 ADLMN于 D, BE!MNT E.（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：4AD孥ACEIB DE=AD+BE（2）当直线 MN绕点C旋转到图2的位置时，求证： DE=AD BE（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE AD BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.注意：第（2）、（3）小题你选答的是第2小题.【考点】全等三角形的判定与性质.【专题】证明题；

59、压轴题；探究型.【分析】（1）根据已知可利用 AAS证明4AD孥ACEIB由此可证DE=AD+BE（2）根据已知可利用 AAS证明4AD孥ACEIB由此可证 DE=AD_ BE;（3）根据已知可利用 AAS证明4AD孥ACEIB由此可证 DE=BE-AD.【解答】 证明：（1）/ADCNACBN BEC=90 ,，/CAD+ACD=90 , / BCE芷 CBE=90 , / ACD+BCE=90 . / CAD= BCE-.AC=BC.AD孥 CEB. AD孥ACEBCE=AD CD=BEDE=CE+CD=AD+BE解：（2） /ADCNCEBN ACB=90 ,/ACDNCBE又. AC=

60、BC.AC阴 ACBECE=AD CD=BE，DE=CE CD=AD BE.(3)当MN转到图3的位置时，AD DE BE所满足的等量关系是 DE=BE AD(或 AD=BE DE, BE=AD+D等). /ADCNCEBN ACB=90 , /ACDNCBE又. AC=BC.AC阴 ACBE，AD=CE CD=BE，DE=CD CE=BE AD.【点评】 本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS ASA SAS SS直角三角形可用 HL定理，但 AAA SSA无法证 明三角形全等，再根据全等三角形对应边相等得出结论15 (2012?淮安)阅读理解如图1,