人教版九年级下册数学-27章相似-教学课件

1、27.1 图形的相似第二十七章 相 似导入新课讲授新课当堂练习课堂小结 九年级数学下（RJ） 教学课件学习目标1. 了解相似图形和相似比的概念.2. 理解相似多边形的定义.3. 能根据多边形相似进行相关的计算，会根据条件 判断两个多边形是否相似. (重点、难点)导入新课图片引入大张伟钟爱的印有易烊千玺头像的 T 恤 观察T恤上的每一个易烊千玺，他们有什么关系？下面的“神烦狗”有什么相同和不同的地方？讲授新课相似图形的概念一观察与思考相同点：形状相同不同点：大小不相同形状相同的图形叫做相似图形. 相似图形的大小不一定相同.归纳：1. 图形的放大：相似图形的关系： 两个图形相似，其中一个图形可以看

2、作由另一个图形放大或缩小得到.2. 图形的缩小：归纳： 你见过哈哈镜吗？哈哈镜与平面镜中的形象哪一个与你本人相似？思考： 放大镜下的图形和原来的图形相似吗？练一练放大镜下的角与原图形中角是什么关系?相似多边形与相似比三A1B1C1D1E1F1ABCDEF 多边形 ABCDEF 是显示在电脑屏幕上的，而多边形 A1B1C1D1E1F1 是投射到银幕上的.观察与思考问题1 这两个多边形相似吗？问题2 在这两个多边形中，是否有对应相等的内角？问题3 在这两个多边形中，夹相等内角的两边否成 比例？A1B1C1D1E1F1ABCDEF各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形的对应边

3、的比叫作相似比.相似多边形的对应角相等，对应边成比例.相似比：相似多边形的特征：相似多边形的定义：归纳： 任意两个等边三角形相似吗？任意两个正方形呢？任意两个正 n 边形呢？a1a2a3an分析：已知等边三角形的每个角都为60, 三边都相等. 所以满足边数相等，对应角相等，以及对应边的比相等.议一议同理，任意两个正方形都相似.归纳：任意两个边数相等的正多边形都相似.a1a2a3an思考：任意的两个菱形（或矩形）是否相似？为什么？例1 如图，四边形 ABCD 和 EFGH 相似，求角，的大小和EH的长度 x.典例精析DABC1821788324GEFHx118在四边形ABCD中，360(7883

4、118)81.C83，AE118.解： 四边形 ABCD 和 EFGH 相似， 它们的对 应角相等由此可得DABC1821788324GEFHx118 四边形ABCD和EFGH相似，它们的对应边成比例，由此可得解得 x 28 cm.，即 .DABC1821788324GEFHx118 如图所示的两个五边形相似，求未知边 a，b， c，d 的长度532cd7.5ba69练一练解：相似多边形的对应边的比相等，由此可得解得：a=3，b=4.5，c=4，d=6.所以未知边a，b，c，d的长度分别为3，4.5，4，6. ， ， ， ，当堂练习1. 下列图形中能够确定相似的是 ( )A.两个半径不相等的圆

5、 B.所有的等边三角形C.所有的等腰三角形 D.所有的正方形E.所有的等腰梯形 F.所有的正六边形ABDF2. 若一张地图的比例尺是 1:150000，在地图上量得 甲、乙两地的距离是 5cm，则甲、乙两地的实际 距离是 ( )A. 3000 m B. 3500 m C. 5000 m D. 7500 mD3. 如图所示的两个四边形是否相似？答案：不相似.4. 观察下面的图形 (a)(g)，其中哪些是与图形 (1)、 (2) 或 (3) 相似的？5. 填空：(1) 如图是两个相似的四边 形，则x= ，y = ， = ；(2) 如图是两个相似的矩形， x= .65806125803xy图3530

6、2015x图2.5 1.5 9022.5 6. 如图，把矩形 ABCD 对折，折痕为 EF，若矩形ABCD 与矩形 EABF 相似，AB = 1 (1) 求BC长；ABCDEF解： E 是 AD 的中点， .又矩形 ABCD 与矩形 EABF相似，AB=1， ， AB2 = AEBC， .解得(2) 求矩形 ABEF 与矩形 ABCD 的相似比.ABCDEF解：矩形 ABEF 与矩形 ABCD 的相似比为：相似图形形状相同的图形叫做相似图形 相似图形的大小不一定相同相似多边形对应边的比叫做相似比对应角相等，对应边成比例课堂小结图形的相似相似多边形27.2.1 相似三角形的判定第二十七章 相 似

7、导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时 平行线分线段成比例1. 理解相似三角形的概念.2. 理解平行线分线段成比例的基本事实及其推论，掌 握相似三角形判定定理的预备定理的有关证明. (重 点、难点)3. 掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论的应 用，会用平行线判定两个三角形相似并进行证明和 计算. (重点、难点)学习目标导入新课复习引入1. 相似多边形的对应角 ，对应边 ，对 应边的比叫做 .2. 如图，ABC 和 ABC 相似需要满足什么条件？相等成比例相似比ABCABC相似用符号“”表示，读作“相似于”. ABC与ABC 相似记作“ABCABC”.讲授新课平行线分线段成比例（基本事实

8、）一 如图，小方格的边长都是1，直线 abc，分别交直线 m，n于A1，A2，A3，B1，B2，B3.合作探究A1A2A3B1B2B3mnabc图A1A2A3B1B2B3mnabc (1) 计算 ，你有什么发现？(2) 将 b 向下平移到如图的位置，直线 m，n 与直线 b 的交点分别为 A2，B2. 你在问题 (1) 中发现的结 论还成立吗？如果将 b 平移到其他位置呢？ A1A2A3B1B2B3mnabc图(3) 根据前两问，你认为在平面上任意作三条平行线， 用它们截两条直线，截得的对应线段成比例吗？ 一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比

9、例.符号语言：若ab c ，则 ， ， 归纳： A1A2A3B1B2B3bca1. 如何理解“对应线段”？2.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？ 想一想： 如图，已知l1l2l3，下列比例式中错误的是 ( ) A. B. C. D.D练一练ACEBDFl2l1l3 如图，直线ab c，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，平行线分线段成比例定理的推论二A1A2A3B1B2B3bcmna观察与思考把直线 n 向左或向右任意平移，这些线段依然成比例.A1A2A3bcmB1B2B3na 直线 n 向左平移到 B1 与A1 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？ 把图中的

10、部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？A1(B1)A2A3B2B3( )A1A2A3bcmB1B2B3na 直线 n 向左平移到 B2 与A2 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？ 把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？A2(B2)A1A3B1B3( ) 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.A1(B1)A2A3B2B3A2(B2)A1A3B1B3 归纳： 如图，DEBC， ，则 ；FGBC， ，则 . 练一练ABCEDFG例1 如图，在ABC中， EFBC.(1) 如果E、F分别是 AB 和 AC 上的点， A

11、E = BE=7， FC = 4 ，那么 AF 的长是多少？ABCEF典例精析解：解得 AF = 4.(2) 如果AB = 10，AE=6，AF = 5，那么 FC 的长是多 少？ ABCEF解：解得 AC = . FC = ACAF = . 如图，DEBC，AD=4，DB=6，AE=3，则AC= ；FGBC，AF=4.5，则AG= .ABCEDFG练一练7.56 如图，在ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.问题1 ADE与ABC的三个角分别相等吗？问题2 分别度量ADE与ABC的边长，它们的边 长是否对应成比例？BCADE相似三角形的引理三合作探究问题3 你

12、认为ADE与ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？BCADE通过度量，我们发现ADEABC，且只要DEBC，这个结论恒成立.想一想：BCADE 我们通过度量三角形的边长，知道ADEABC，但要用相似的定义去证明它，我们需要证明什么？ 由前面的结论，我们可以得到什么？还需证明什么？ ，而除 DE 外，其他的线段都在ABC 的边上，要想利用前面学到的结论来证明三角形相似，需要怎样做呢？BCADE 由前面的结论可得，需要证明的是可以将 DE 平移到BC 边上去证明：在 ADE与 ABC中，A=A. DEBC， ADE=B，AED=C.如图，过点 D 作 DFAC，交 BC 于点

13、 F.CABDEF用相似的定义证明ADEABC DEBC，DFAC， 四边形DFCE为平行四边形， DE=FC，ADEABC.由此我们得到判定三角形相似的定理： 平行于三角形一边的直线与其他两边相交， 所构成的三角形与原三角形相似.三角形相似的两种常见类型：“A ”型 “X ”型 DEABCABCDE1. 已知：如图，ABEFCD，图中共有_对相似 三角形.3练一练CDABEFO相似具有传递性2. 若 ABC 与 ABC 相似， 一组对应边的长为AB =3 cm， AB=4 cm，那么ABC与 ABC 的相似比是_.433. 若 ABC 的三条边长的比为3cm，5cm，6cm， 与其相似的另一

14、个 ABC 的最小边长为12 cm， 那么 ABC 的最大边长是_.24 cm当堂练习1. 如图，ABCDEF，相似比为1:2，若 BC=1， 则 EF 的长为 ( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4BCAEFDB2. 如图，在 ABC 中，EFBC，AE=2cm，BE=6cm， BC = 4 cm，EF 长 ( )AA. 1cm B. cm C. 3cm D. 2cmABCEF3. 如图，在 ABC中，DEBC，则_， 对应边的比例式为 ADEABCBCADE4. 已知 ABC A1B1C1，相似比是 1:4，A1B1C1 A2B2C2，相似比是1:5，则ABC与A2B2C2的 相似比

15、为 .1:205. 如图，在 ABCD 中，EFAB， DE : EA = 2 : 3， EF = 4，求 CD 的长 解： EFAB，DE : EA = 2 : 3，DACBEF 即 DEF DAB，解得 AB = 10.又 四边形 ABCD 为平行四边形， CD = AB = 10.6. 如图，已知菱形 ABCD 内接于AEF，AE=5cm， AF = 4 cm，求菱形的边长. 解： 四边形 ABCD 为菱形，BCADEFCDAB， 设菱形的边长为 x cm，则CD = AD = x cm，DF = (4x) cm， 解得 x = 菱形的边长为 cm.课堂小结两条直线被一组平行线所截，所得

16、的对应线段成比例推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例相似三角形判定的引理平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似基本事实平行线分线段成比例27.2.1 相似三角形的判定第二十七章 相 似导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时 三边成比例的两个三角形相似1. 复习已经学过的三角形相似的判定定理.2. 掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法，并能进 行相关计算. (重点、难点)学习目标2. 证明三角形全等有哪些方法？你能从中获 得证明三角形相似的启发吗？导入新课1. 什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪 些判定三角形相似的方

17、法？你认为这些方法是否有 其缺点和局限性？ABCDE复习引入3. 类似于判定三角形全等的 SSS 方法，我们能不能通 过三边来判定两个三角形相似呢？讲授新课三边成比例的两个三角形相似合作探究 画 ABC 和 ABC，使 ，动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形是否相似？ABCCBAABCCBA 通过测量不难发现A=A，B=B，C=C，又因为两个三角形的边对应成比例，所以 ABC ABC. 下面我们用前面所学得定理证明该结论. CBA证明:在线段 AB (或延长线) 上截取 AD=AB， 过点 D 作 DEBC 交AC于点 E. DEBC ， ADE ABC. DE=BC，EA

18、=CA.ADEABC， ABC ABC.BCADE又 ，AD=AB， ， . 由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：三边成比例的两个三角形相似归纳： ， ABC ABC.符号语言：例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由ABC33.54DFE1.82.12.4典例精析解：在 ABC 中，AB BC CA，在 DEF中， DE EF FD. ABC DEF. ABC33.54DFE1.82.12.4 ， ， ， . 方法总结：判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等.注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应. 已知 A

19、BC 和 DEF，根据下列条件判断它们是否相似.(3) AB=12， BC=15， AC24， DE16，EF20， DF30.(2) AB=4， BC =8， AC10， DE20，EF16， DF8；(1) AB =3， BC =4， AC6， DE6， EF8， DF9；是否否练一练例2 如图，在 RtABC 与 RtABC中，C =C = 90，且 求证： ABCABC. 证明：由已知条件得 AB = 2 AB，AC = 2 AC， BC 2 = AB 2AC 2 = ( 2 AB )2( 2 AC )2 = 4 AB 2 4 AC 2 = 4 ( AB 2AC 2 ) = 4 BC

20、2 = ( 2 BC )2. ABCABC. (三边对应成比例的两个三角形相似) BC=2BC，BAC=DAE，BAC DAC = DAE DAC，即 BAD=CAE.BAD=20，CAE=20. ABC ADE (三边成 比例的两个三角形相似).例3 如图，在 ABC 和 ADE 中， BAD=20，求CAE的度数.ABCDE解：解：在 ABC 和 ADE 中， AB : CD = BC : DE = AC : AE， ABCADE，BAC=DAE，B=D，C=E.BACCAD =DAECAD ，BAD=CAE.故图中相等的角有BAC=DAE，B=D，C=E，BAD=CAE. 如图，已知 A

21、B : AD = BC : DE = AC : AE，找出图中相等的角 (对顶角除外)，并说明你的理由.练一练ABCDE1. 如图，在大小为44的正方形网格中，是相似三 角形的是 ( )A. 和 B. 和 C. 和 D. 和C当堂练习2. 如图，APD=90，AP=PB=BC=CD，下列结论 正确的是 ( ) A. PABPCA B. PABPDA C. ABCDBA D. ABCDCA ACBPDC AB : BC = BD : AB = AD : AC，ABCDBA，故选C.解析：设AP=PB=BC=CD=1，APD=90，AB= ，AC= ，AD= .3. 根据下列条件，判断ABC与AB

22、C是否相似：AB=4cm ，BC =6cm ，AC =8cm，AB=12cm ，BC=18cm ，AC=21cm.答案：不相似.4. 如图，ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，求证：ABCEFD ABCEFD.证明：ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，5. 如图，某地四个乡镇 A，B，C，D 之间建有公路， 已知 AB = 14 千米，AD = 28 千米，BD = 21 千米， DC = 31.5 千米，公路 AB 与 CD 平行吗？说出你 的理由.ACBD2814214231.5解：公路 AB 与 CD 平行. ABDBDC，ABD=BDC，ABDC

23、.三边成比例的两个三角形相似 利用三边判定两个三角形相似课堂小结相似三角形的判定定理的运用 27.2.1 相似三角形的判定第二十七章 相 似导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似1. 探索“两边成比例且夹角相等的两个角形相似”的判 定定理.2. 会根据边和角的关系来判定两个三角形相似，并进 行相关计算. (重点、难点)学习目标1. 回忆我们学习过的判定三角形相似的方法. 类比证 明三角形全等的方法，猜想证明三角形相似还有 哪些方法？2. 类似于判定三角形全等的 SAS 方法，能不能通过 两边和夹角来判定两个三角形相似呢？导入新课复习引入讲授新课 利用刻度

24、尺和量角器画 ABC和 ABC，使A=A， 量出 BC 及 BC 的长，它们的比值等于 k 吗？再量一量两个三角形另外的两个角，你有什么发现？ABC 与 ABC 有何关系？ 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似合作探究两个三角形相似改变 k 和A 的值的大小，是否有同样的结论？我们来证明一下前面得出的结论：如图，在ABC与ABC中，已知A= A，证明：在 ABC 的边 AB 上截取点D，使 AD = AB过点 D 作 DEBC，交 AC 于点 E. DEBC， ADEABC.求证：ABCABC.BACDEBAC AE = AC . 又 A = A. ADE ABC， ABC ABC.BACDE

25、BAC AD=AB，由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似符号语言： A=A，BACBAC ABC ABC .归纳： 对于ABC和 ABC，如果 AB : AB= AC : AC. B= B，这两个三角形一定会相似吗？ 不会，如下图，因为不能证明构造的三角形和原三角形全等. A B C思考： A B B C结论： 如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.典例精析例1 根据下列条件，判断 ABC 和 ABC 是否相似，并说明理由：A=120，AB=7 cm，AC=14 c

26、m，A=120，AB=3 cm ，AC=6 cm解： 又 A = A， ABC ABC.1. 在 ABC 和 DEF 中，C =F=70，AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF =2.1 cm，EF =1.5 cm. 求证：DEFABC.ACBFED证明： AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm，又 C =F = 70， DEF ABC.练一练2. 如图，ABC 与 ADE 都是等腰三角形，AD=AE， AB=AC，DAB=CAE. 求证：ABC ADE.证明： ABC 与 ADE 是等腰三角形， AD =AE，AB = A

27、C，又 DAB = CAE， DAB +BAE = CAE +BAE，即 DAE =BAC，ABC ADE.ABCDE解： AE=1.5，AC=2， 例2 如图，D，E分别是 ABC 的边 AC，AB 上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且 ，求 DE 的长.ACBED又EAD=CAB， ADE ABC，提示：解题时要找准对应边.证明： CD 是边 AB 上的高， ADC =CDB =90.ADC CDB， ACD =B， ACB =ACD +BCD =B +BCD = 90.例3 如图，在 ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 ，求证 ACB=90ABCD 方法总结：解题时需注意隐

28、含条件，如垂直关系，三角形的高等.当堂练习1. 判断(1) 两个等边三角形相似 ( )(2) 两个直角三角形相似 ( )(3) 两个等腰直角三角形相似 ( )(4) 有一个角是50的两个等腰三角形相似 ( )2. 如图，D 是 ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，使 ABC DBA的条件是 ( ) A. AC : BC=AD : BD B. AC : BC=AB : AD C. AB2 = CD BC D. AB2 = BD BCDABCD3. 如图 AEB 和 FEC (填 “相似” 或 “不相似”) . 54303645EAFCB12相似当堂练习解析：当 ADP ACB 时，AP :

29、AB =AD : AC ， AP : 12 =6 : 8 ，解得 AP = 9；当 ADP ABC 时，AD : AB =AP : AC ， 6 : 12 = AP : 8 ，解得 AP = 4. 当 AP 的长度为 4 或 9 时，ADP 和 ABC 相似4. 如图，已知 ABC中，D 为边 AC 上一点，P 为边 AB上一点，AB = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的长 度为 时，ADP 和 ABC 相似.ABCD4 或 9 PP5. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 B =ACD， AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，求 AD 的长ABCD解：AB=6，BC=4，AC

30、=5，CD= ， 又B=ACD， ABC DCA， ， 6. 如图，DAB =CAE，且 AB AD = AEAC，求证 ABC AED. ABCDE证明： AB AD = AEAC， 又 DAB =CAE， DAB +BAE =CAE +BAE ，即DAE =BAC， ABC AED. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似利用两边及夹角判定三角形相似课堂小结相似三角形的判定定理的运用 第二十七章 相 似导入新课讲授新课当堂练习课堂小结27.2.1 相似三角形的判定第4课时 两角分别相等的两个三角形相似学习目标1. 探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理.2. 掌握利用两角来判定两个三角形

31、相似的方法，并 能进行相关计算. (重点、难点)3. 掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行 相关计算. 学校举办活动，需要三个内角分别为90，60，30的形状相同、大小不同的三角纸板若干. 小明手上的测量工具只有一个量角器，他该怎么做呢？导入新课情境引入？讲授新课问题一 度量 AB，BC，AC，AB，BC，AC 的长，并计算出它们的比值. 你有什么发现？CABABC两角分别相等的两个三角形相似一合作探究 与同伴合作，一人画 ABC，另一人画 ABC，使A=A，B=B，探究下列问题：这两个三角形是相似的证明：在 ABC 的边 AB（或 AB 的延长线）上，截取 AD=AB，过点 D 作 D

32、E / BC，交 AC 于点 E，则有ADE ABC，ADE =B.B=B，ADE=B.又 AD=AB，A=A，ADE ABC，ABC ABC.CAABBCDE问题二 试证明ABCABC.由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个三角形相似. A=A，B=B， ABC ABC.符号语言：CABABC归纳： 如图，ABC中，DEBC，EFAB，求证：ADEEFC. AEFBCD证明: DEBC，EFAB，AEDC，AFEC. ADEEFC. 练一练证明： 在 ABC中，A=40 ， B=80 ， C=180 AB=60 . 在DEF中，E=80 ， F=60 . B=E，C=

33、F. ABC DEF.例1 如图，ABC 和 DEF 中，A=40，B=80，E=80 ，F=60 求证：ABC DEF. ACBFED典例精析例2 如图，弦 AB 和 CD 相交于 O 内一点 P，求证：PA PB=PC PD.证明:连接AC，DB.A 和 D 都是弧 CB 所对的圆周角， A= _，同理 C= _， PAC PDB，_ 即PA PB = PC PD.DBODCBAP1. 如图，在 ABC 和 ABC 中，若A=60，B =40，A = 60，当C= 时，ABC ABC.练一练CABBCA802. 如图，O 的弦 AB，CD 相交于点 P，若 PA=3， PB = 8，PC

34、= 4，则 PD = . 6ODCBAP 解： EDAB，EDA=90 . 又C=90 ，A=A， AED ABC.判定两个直角三角形相似二例2 如图，在 RtABC 中，C = 90，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，EDAB，垂足为D. 求AD的长.DABCE 由此得到一个判定直角三角形相似的方法：有一个锐角相等的两个直角三角形相似.归纳： 对于两个直角三角形，我们还可以用 “HL”判定它们全等. 那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？思考： 如图，在 RtABC 和 RtABC 中，C=90，C=90， .求证：RtABC RtABC.C

35、AABBC要证明两个三角形相似，即是需要证明什么呢？目标：证明：设_= k ，则AB=kAB，AC=kAB.由 ，得 . Rt ABC Rt ABC.勾股定理 CAABBC由此得到另一个判定直角三角形相似的方法：斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.归纳：例3 如图，已知：ACB =ADC = 90，AD = 2，CD = ，当 AB 的长为 时，ACB 与ADC相似CABD解析：ADC = 90，AD = 2，CD = ，要使这两个直角三角形相似，有两种情况：(1) 当 RtABC RtACD 时，有 AC : AD AB : AC， 即 : 2 =AB : ，解得 AB=3；CABD2

36、(2) 当 RtACB RtCDA 时，有 AC : CD AB : AC ， 即 : =AB : ，解得 AB= 当 AB 的长为 3 或 时，这两个直角三角形相似CABD2 在 RtABC 和 RtABC 中，C=C=90，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似.(1) A=35，B=55： ；(2) AC=3，BC=4，AC=6，BC=8： ；(3) AB=10，AC=8，AB=25，BC=15： .练一练相似相似相似当堂练习1. 如图，已知 ABDE，AFC E，则图中相 似三角形共有 ( ) A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对C2. 如图，ABC中，AE 交 BC 于点

37、 D，C=E，AD : DE=3 : 5，AE=8，BD=4，则DC的长等于 ( )A.B.C.D.ACABDEABDC3. 如图，点 D 在 AB上，当 (或 = )时， ACDABC； ACD ACB B ADC4. 如图，在 RtABC 中， ABC = 90，BDAC 于D. 若 AB=6，AD=2，则 AC= ，BD= ， BC= .18DBCA证明： ABC 的高AD、BE交于点F， FEA=FDB=90，AFE =BFD (对顶角相等). FEA FDB，5. 如图，ABC 的高 AD、BE 交于点 F 求证： DCABEF证明：BAC= 1+ DAC，DAE= 3+ DAC，1

38、=3， BAC=DAE. C=1802DOC ，E=1803AOE，DOC =AOE（对顶角相等）， C= E. ABCADE.6. 如图，1=2=3，求证：ABC ADEABCDE132O7. 如图，BE是ABC的外接圆O的直径，CD是ABC 的高， 求证：AC BC = BE CD.ODCBAE证明： 连接CE，则A=E.又BE是ABC的外接圆O的直径，BCE=90=ADC，A=E，BCE=ADC，ACDEBC. AC BC = BE CD. 两角分别相等的两个三角形相似利用两角判定三角形相似课堂小结直角三角形相似的判定27.2 相似三角形第二十七章 相 似导入新课讲授新课当堂练习课堂小结

39、27.2.2 相似三角形的性质1. 理解并掌握相似三角形中对应线段的比等于相似 比，并运用其解决问题. (重点、难点)2. 理解相似三角形面积的比等于相似比的平方，并 运用其解决问题. (重点)学习目标导入新课复习引入1. 相似三角形的判定方法有哪几种？定义：对应边成比例，对应角相等的两个三角 形相似平行于三角形一边，与另外两边相交所构成的 三角形与原三角形相似三边成比例的两个三角形相似两边成比例且夹角相等的两个三角形相似两角分别相等的两个三角形相似一组直角边和斜边成比例的两个直角三角 形相似2. 三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素?如果两个三角形相似，那么，对应的这些要素有什么关系呢？

40、高中线角平分线周长面积 如图，ABC ABC，相似比为 k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？讲授新课相似三角形对应线段的比一ABCABC合作探究ABC ABC，BB ，解：如图，分别作出 ABC 和 A B C 的高 AD 和 A D 则ADB =A D B=90. ABD A B D .ABCABCDD 类似地，可以证明相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比.由此我们可以得到： 相似三角形对应高的比等于相似比.一般地，我们有： 相似三角形对应线段的比等于相似比.归纳：解： ABC DEF， DEFH例1 已知 ABCDEF，BG、EH 分别是 ABC和 DEF 的角平分

41、线，BC = 6 cm，EF = 4cm，BG = 4.8 cm. 求 EH 的长. (相似三角形对应角平分线的比等于相似比)， ，解得 EH = 3.2.AGBC典例精析 故 EH 的长为 3.2 cm.1. 如果两个相似三角形的对应高的比为 2 : 3，那么对 应角平分线的比是 ，对应边上的中线的比是 _ . 2. ABC 与 ABC 的相似比为3 : 4，若 BC 边上的 高 AD12 cm，则 BC 边上的高 AD _ .2 : 32 : 316 cm练一练 相似三角形的周长比也等于相似比吗？为什么？ 想一想：如果 ABC ABC，相似比为 k，那么因此ABk AB，BCkBC，CAk

42、CA，从而相似三角形面积的比二 如图，ABC ABC，相似比为 k，它们的面积比是多少？合作探究ABCABC由前面的结论，我们有ABCABCDD相似三角形面积的比等于相似比的平方由此得出：归纳：1. 已知两个三角形相似，请完成下列表格：相似比2 k周长比面积比10000试一试：24100100kk22. 把一个三角形变成和它相似的三角形， (1) 如果边长扩大为原来的 5 倍，那么面积扩大为 原来的_倍； (2) 如果面积扩大为原来的 100 倍，那么边长扩大 为原来的_倍.25103. 两个相似三角形的一对对应边分别是 35 cm、14 cm， (1) 它们的周长差 60 cm，这两个三角形

43、的周长分别 是_； (2) 它们的面积之和是 58 cm2，这两个三角形的面 积分别是_.100 cm、40 cm50 cm2、8 cm2解：在 ABC 和 DEF 中， AB=2DE，AC=2DF，又 D=A， DEF ABC ，相似比为 1 : 2.ABCDEF例2 如图，在 ABC 和 DEF 中，AB = 2 DE ，AC = 2 DF，A = D. 若 ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，求 DEF 的边 EF 上的高和面积.ABCDEFABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，DEF 的边 EF 上的高为 6 = 3，面积为 如果两个相似三角形的面积之比为 2 : 7，较

44、大三角形一边上的高为 7，则较小三角形对应边上的高为_. 练一练例3 如图，D，E 分别是 AC，AB 上的点，已知ABC 的面积为100 cm2，且 ，求四边形 BCDE 的面积. ADE ABC. 它们的相似比为 3 : 5， 面积比为 9 : 25.BCADE解： BAC = DAE，且 又 ABC 的面积为 100 cm2， ADE 的面积为 36 cm2 . 四边形 BCDE 的面积为10036 = 64 (cm2).BCADE 如图，ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB、AC、BC 上，且 DEBC，EFAB. 当 D 点为 AB 中点时，求 S四边形BFED : SABC 的

45、值.ABCDFE练一练解： DEBC，D 为 AB 中点， ADE ABC ， 相似比为 1 : 2， 面积比为 1 : 4. ABCDFE又 EFAB， EFC ABC ，相似比为 1 : 2，面积比为 1 : 4.设 SABC = 4，则 SADE = 1，SEFC = 1，S四边形BFED = SABCSADESEFC = 411 = 2， S四边形BFED : SABC = 2 : 4 =1. 判断： (1) 一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍，这个 三角形的周长也扩大为原来的 5 倍 ( ) (2) 一个四边形的各边长扩大为原来的 9 倍，这个 四边形的面积也扩大为原来的 9 倍

46、 ( )当堂练习3. 连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个 小三角形与原三角形的周长比等于_，面积 比等于_.1 : 21 : 42. 在 ABC 和 DEF 中，AB2 DE，AC2 DF， AD，AP，DQ 是中线，若 AP2，则 DQ 的值为 ( ) A2 B4 C1 D.C4. 两个相似三角形对应的中线长分别是 6 cm 和 18 cm， 若较大三角形的周长是 42 cm，面积是 12 cm2，则 较小三角形的周长_cm，面积为_cm2.145. 如图，这是圆桌正上方的灯泡 (点A) 发出的光线照 射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为 1.2 米，桌面距离地面为 1 米，若灯

47、泡距离地面 3 米， 则地面上阴影部分的面积约为多少 (结果保留两位 小数)？ADEFCBH解： FH = 1 米，AH = 3 米， 桌面的直径为 1.2 米， AF = AHFH = 2 (米)， DF = 1.22 = 0.6 (米). DFCH， ADF ACH，ADEFCBH 即解得 CH = 0.9米. 阴影部分的面积为：(平方米).答：地面上阴影部分的面积为 2.54 平方米.6. ABC 中，DEBC，EFAB，已知 ADE 和 EFC 的面积分别为 4 和 9，求 ABC 的面积.ABCDFE解： DEBC，EFAB， ADE ABC，ADE =EFC，A =CEF，ADE

48、EFC.又SADE : SEFC = 4 : 9， AE : EC=2:3，则 AE : AC =2 : 5， SADE : SABC = 4 : 25， SABC = 25.7. 如图，ABC 中，DEBC，DE 分别交 AB、AC 于 点 D、E，SADE2 SDCE，求 SADE SABC.解：过点 D 作 AC 的垂线，交点为 F，则 又 DEBC， ADE ABC.ABCDEF即 SADE : SABC 4 : 9.ABCDEF相似三角形的性质相似三角形对应线段的比等于相似比课堂小结相似三角形面积的比等于相似比的平方相似三角形性质的运用导入新课讲授新课当堂练习课堂小结27.2 相似三

49、角形第二十七章 相 似27.2.3 相似三角形应用举例学习目标1. 能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量 的物体的高度和宽度. (重点)2. 进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化 为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决 问题的能力. (难点)乐山大佛导入新课图片引入世界上最高的树 红杉台湾最高的楼 台北101大楼怎样测量这些非常高大的物体的高度？世界上最宽的河 亚马逊河怎样测量河宽？利用相似三角形可以解决一些不能直接测量的物体的高度及两物之间的距离问题.利用相似三角形测量高度一讲授新课 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借

50、助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.例1 如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为3m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO.怎样测出OA 的长？解：太阳光是平行的光线，因此 BAO =EDF.又 AOB =DFE = 90，ABO DEF. ， =134 (m).因此金字塔的高度为134 m.表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长测高方法一： 测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 归纳：1. 如图，要测量旗杆 AB 的高度， 可在地面上竖一根竹竿 DE， 测量出 DE 的长以及 DE 和 AB 在同一时刻下

51、地面上的影长即 可，则下面能用来求AB长的等 式是 ( ) A B C D C练一练2. 如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学 数学知识测量学校旗杆的高度，当身高 1.6 米的楚 阳同学站在 C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆 顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得 AC = 2 米，AB = 10 米，则旗杆的高度是_米 8AFEBO还可以有其他测量方法吗？OBEF=OAAFABOAEFOB =OA EFAF平面镜想一想：测高方法二： 测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决. 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点 P 处放一水平的平面

52、镜，光线从点 A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端 C 处，已知 AB = 2 米，且测得 BP = 3 米，DP = 12 米，那么该古城墙的高度是 ( )A. 6米 B. 8米 C. 18米 D. 24米 B试一试：例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R. 已知测得QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m，请根据这些数据，计算河宽 PQ.利用相似三角

53、形测量宽度二PRQSbTaPQ90 = (PQ+45)60.解得 PQ = 90.因此，河宽大约为 90 m.解：PQR =PST =90，P=P，PQRPST.PRQSbTa ，即 ，还有其他构造相似三角形求河宽的方法吗？45m90m60m例3 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C，使 ABBC，然后，再选点 E，使 EC BC ，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D此时如果测得 BD120米，DC60米，EC50米，求两岸间的大致距离 ABEADCB60m50m120m解： ADBEDC， ABCECD90， ABDECD. ，即

54、 ，解得 AB = 100. 因此，两岸间的大致距离为 100 m.EADCB60m50m120m 测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解. 归纳：例4 如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB = 8 m 和 CD = 12 m，两树底部的距离 BD = 5 m，一个人估计自己眼睛距离地面 1.6 m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C 了? 利用相似解决有遮挡物问题三分析：如图，设观察者眼睛的位置 (视点) 为点 F，画出观察者的水平视线 FG，它交 AB，CD 于点 H，K.视线 FA

55、，FG 的夹角 AFH 是观察点 A 的仰角. 类似地，CFK 是观察点 C 时的仰角，由于树的遮挡，区域和都在观察者看不到的区域 (盲区) 之内. 再往前走就根本看不到 C 点了. 由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于 8 m 时，由于这棵树的遮挡，就看不到右边树的顶端 C . 解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼 睛的位置点 E 与两棵树的顶端点 A，C 恰在一条 直线上 ABl，CDl，ABCD. AEHCEK. ，即解得 EH=8.1. 小明身高 1.5 米，在操场的影长为 2 米，同时测得 教学大楼在操场的影长为 60 米，则教学大楼的高 度应为 (

56、) A. 45米 B. 40米 C. 90米 D. 80米 当堂练习2. 小刚身高 1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为 0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长 为 1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶 ( ) A. 0.5m B. 0.55m C. 0.6m D . 2.2mAA3. 如图，为了测量水塘边 A、B 两点之间的距离，在 可以看到 A、B 的点 E 处，取 AE、BE 延长线上的 C、D 两点，使得 CDAB. 若测得 CD5 m，AD 15m，ED=3 m，则 A、B 两点间的距离为 m.ABEDC204. 如图，有点光源 S 在平面镜上面，若在 P 点看 到点

57、光源的反射光线，并测得 AB10 cm，BC 20 cm，PCAC，且 PC24 cm，则点光源 S 到平 面镜的距离 SA 的长度为 .12 cm5. 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬 纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB 的高度，他们通过调 整测量位置，使斜边 DF 与地面保持平行，并使边 DE 与旗杆顶点 A 在同一直线上，已知 DE = 0.5 米， EF = 0.25 米，目测点 D 到地面的距离 DG = 1.5 米， 到旗杆的水平距离 DC = 20 米，求旗杆的高度.ABCDGEFABCDGEF解：由题意可得：DEFDCA，DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.

58、5米，DC=20米，则 解得：AC = 10，故 AB = AC + BC = 10 + 1.5 = 11.5 (m).答：旗杆的高度为 11.5 m. 6. 如图，某一时刻，旗杆 AB 的影子的一部分在地面 上，另一部分在建筑物的墙面上小明测得旗杆 AB 在地面上的影长 BC 为 9.6 m，在墙面上的影 长 CD 为 2 m同一时刻，小明又测得竖立于地面 长 1 m 的标杆的影长为 1.2 m请帮助小明求出旗 杆的高度ABCDE解：如图：过点 D 作 DEBC，交 AB 于点 E， DE = CB = 9.6 m，BE = CD = 2 m， 在同一时刻物高与影长成正比例， EA : ED

59、=1 : 1.2， AE = 8 m， AB = AE + EB = 8 + 2 = 10 (m)， 学校旗杆的高度为 10 m. ABCD相似三角形的应用举例利用相似三角形测量高度课堂小结利用相似三角形测量宽度利用相似解决有遮挡物问题27.3 位 似第二十七章 相 似导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时 位似图形的概念及画法1. 掌握位似图形的概念、性质和画法. (重点)2. 掌握位似与相似的联系与区别. (难点)学习目标导入新课 如图，是幻灯机放映图片的示意图，在幻灯机放映图片的过程中，这些图片之间有什么关系？图片引入 连接图片上对应的点，你有什么发现？ 下列图形中有相似多边形吗？如果

60、有，这种相似有什么特征？ 位似图形的概念一观察与思考 两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心 判断两个图形是不是位似图形，需要从两方面去考察：一是这两个图形是相似的，二是要有特殊的位置关系，即每组对应点所在的直线都经过同一点 归纳：1. 画出下列图形的位似中心： 练一练2. 如图，BCED，下列说法不正确的是 ( ) A. 两个三角形是位似图形 B. 点 A 是两个三角形的位似中心 C. B 与 D、C 与 E是对应位似点 D. AE : AD是相似比 DDEABC位似图形的性质二合作探究从左图中我们可以看到，OABOAB