2024年高考数学复习备考策略讲座

从近四年高考试题及测试题分析高考命题的发展趋势三新“高考、课程、教材”背景下最后阶段备考策略优秀生培养的建议(个性、心理、质疑、创新思维训练）交流下列问题2024/3/7

2三、二、、（二）命题背景：国家意志、人才培养、高考要求、高考改革方案①国家意志：落实立德树人的根本任务。

加强基础工程、基础学科建设是国家的重大战略工程

，把创新拨尖人才选拔出来。②高考要求：考试中心给出的新高考评价体系（基础性、综合性、应用性、创新性）特别是基础性、综合性与创新性做出了有益的、积极的探索，对中学教学起到了很好的引领作用，促进了课程改革。突出了核心素养、关键能力的考查。④高考方案：在新高考下要求“

3+3”(或”3+1+2”)更要突出“数学”（一）

试题感受：

就象过山车一样，

忽高忽低，让我们教学找不到方向一、近四年高考变化分析2024/3/73①基础题、中档题、难题保持较为合理的比例，前面试题让大多数学生能够得分

，争取大多数考生能够得到

100分左右，这也符合高考评价(基础性）的要求，对普及数学教育也能起到很好的促进作用。让全国人民都有信心

，让师生都有奔头，数学是能学会的。②压轴题、

次压轴题保持较高的难度，

如北京卷，

23年四省测试卷，

个别压轴题让99.99%的同学不能拿全分，确保高考的选拔功能。也要让全国人民知道想学好数学也是不容易的。③关注概念本质、关注基本方法、

关注关键能力、关注核心素养

！关注创新！2024/3/7

最终关注学生的落实！4（三）2024年难度应该怎样？我们应该如何复习？1.注重思维能力思维过程考查（减少试题数量

，调整各题型的分数）2.对基础知识的考查更加合理（不受限于某些具体知识内容的考查）3.更加注重对创新能力的考查（突出了对创新定义推理能力的考查）4.更加注重对呈现方式的创新（改变“八股文”式命题方式与顺序）5.试题各题难度设置更加合理（难、中、易的比例适当有利于学习）6.引导考生多想少算合情推理（突出对理性思维和数学探究的考查）二、四次测试题的命题特点及分析（一）近几年测试题的变化趋势2024/3/7

5（二）命题背景：新课改必须要有新变化，但有些东西又不能马上实施①测试题只是一个流程。成绩高低没有什么影响

，也不对它进行评价只是想把一些想法

，包括未来的一些变革

，通过这个平台展现出来②测试题只是一个方向。我们未来的教育怎么走？我们要注重什么？在党和政府报告中都指明了方向，测试题同样给出了我们今后高考的方向③测试题只是一个引领。我们教学教什么？如何教？就是讲一些套路？训练一些题型？搞题海战术？死记硬背？引领我们教学回归本质

，真正（一）

试题感受：就象脱缰的野马一样，

想怎么出就怎么出，没有什么限制（二）近几年测试题背景分析2024/3/7

6落实素质教育。对课本例习题进行精、深加工）；

舍（题海战术、死记硬背、模式化训练）

，通过做题要让学生多反思，多思考为什么是这样?如何才能想到这样？你能编出这样的题吗？做到“知其然，

知其所以然”，要研究题目背

后的命题思路

，命题专家是怎么命制的？还可以换种方式命题吗？我们还

能改编吗？通过一系列的问题来揭示问题真正的本质，做到举一反三要多关注教材内在的东西，深入挖掘教材基础知识、

基本技能、基本思维能力的培养，注重学生对阅读理解能力的培养，

审题能力的训1.坚持教学要回归课标、回归课堂。取（对课标、课本概念让学生讲清楚；（三）高考题及测试题对我们教学复习的引导练，强化通性通法。2024/3/7

7么问题要有明确的目标，二轮复习要精选内容（高考常考的、学生常错的）、精选习题（高考真题、课本例题习题改编、

典型模拟题）

、精心设计，关注问题情境的设置，引发学生思考

，

培养关键能力、提升数学核心素养。

舍：

一本复习资料讲到底；各地的模拟试题练一遍，时间不够晚上讲！总怕万一不讲、不练高考考了可就吃亏了！有时讲了也白讲！教学素材的取舍的三个因素：

1.学情的判断要准；

2.高考发展方向要准；3.对课标与教材的分析要准；4.面向大多数学生（都奔着19题准备或者干2.对教学素材要进行合理取舍。

取：

要进行教学设计，每一节课要解决什脆放弃18、

19题），这都不是正确的做法。2024/3/7

8①平时测试情况；

教学情况；知识点难度情况；

高考考的情况；

答题规范②存在什么问题?为什么会存在这样的问题？如何让学生解决问题？③讨论式（教师给出问题，引发学生讨论）；

自我反思式

（根源在那里？

）舍：不管学生是什么情况，我们讲了就万事大吉，

至于是否学生会，至于学生是否能掌握那我就不知道了！反正我讲了！二轮复习基本都是小专题

，但不是第一复习的机械重复

，

也不是新授课的压缩版

，而是螺旋式上式

，更要关注知识网络的建构。解题教学3.如何精心设计课堂教学。三个因素：学生情况、存在问题、解决方式是二轮复习的重要呈现方式，要关注解题思路的自然生成，多反思！2024/3/7

9①讲解式：总怕完不成任务，滔滔不绝的讲。老师累的满头大汗，学生累的昏昏欲睡；收效不大，会的不讲都会，不会的讲了还是不会②就题论题式：总怕完不成任务，就题论题的过一遍。老师感觉可完成任务了，实际上学生也就是雨过地皮湿，听懂了，

一做还是不会。问题讨论式

：根据学生的实际情况

，

有重点的、学生不明白的、共性的问题，通过一题多变、一题多解（不要过分强调多解），启发学生进行讨论切记:习题处理一定要少而精!

精而透!透要归!高三课堂教学方式2024/3/7

10取：舍不规范、不严谨。特别是在新高考模式下，

更应该关注学生规范化练习！舍：放任自流、不管不问，错误的根源找不到，该错还是错！5.要发挥错题本的真正作用。如果我们老师实在没有时间去关注学生的错题本，不妨发动学生“斗”学生，让他们互相进行分析错误的原因

，开展“批评与自我批评”。舍：错题本只是一个流水账6.要坚持精讲多思。我们调研常常发现讲的多、思考的少。课堂上老师们

基本上都在讲，总感觉不讲学生就不能掌握，把复习资料上内容讲完就万怕的；对学生规范性要狠

，

本来题也会解，不是这儿扣点，就是那儿扣点，4.就是指对学生存在的问题要下狠招。每次考试都犯同样的错误是非常可事大吉。到底学生落实多少很少过问。2024/3/7

11.教育家第斯多惠说过：“教育的艺术不在于传播的本领，

而在于激励、唤醒和鼓舞”。营造活泼、

生动的课堂教学气氛

，

教学生去发现真理

，

才是一个好的教师。对于有成效的课堂教学的作用，德国一位学者有过一句精辟的比喻：将的人，需要教他发现疑问；有了疑问的，通过寻求答案，再达到没有疑问）朱熹：

读书者须教有疑，有疑者却要无疑，

这里方是长进

（读书没有疑问7.课堂教学教师的作用2024/3/7

128.学习中的金字塔理论2024/3/7

13代数问题几何问题形助数与数助形代数式所蕴涵的几何特征和几何意义解析几何的“形和数”.F选择性必修第一册教材P138.F（2,0）直线过定点.F陈响几何画板演示.F.F（2）如何切入？解法1：法1：设点坐标，用韦达定理化简解法2：法2：平移齐次化你能猜出这个定点坐标吗？解法3：直线过定点.G直线过定点证明：法3：先猜后证证明思路：直线过定点能否得到其他定点或定值的结论？能否得到其他定点或定值的结论？课堂小结：1.设直线还是设点？消元（直线，曲线），同构，齐次，分离常数等2.怎么算？以形定性，数形结合函数方程思想，等价转化思考题1思考题2课后作业：（一）以数学文化情境命题，落实对立德树人教育目标的考查（二）对基础知识的考查更加合理，

不再强调知识点考查的数量（三）注重思维能力思维过程考查，加强推理能力的考查（四）引导考生多想少算合情推理，

加强对考生运算能力的考查（五）更加注重对创新能力的考查，

加强对创新定义、创新题型

（六）以多变量的转化为情境，强化转化思维的考查（七）以强基为引领，突出对优秀拔尖人才的选拔三、从近四年高考试题、测试题，分析高考动向（八）以数学跨学科应用为情境，突出对数学建模、数学探究中国古代建筑中的举架结构，

AA/

,

BB/

,

CC/

,

DD/

是桁，

相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举。如图是某古代建筑屋顶的截面示意图，其中

DD1

,

CC1

,

BB1

,

AA1

是举，

OD1

,

DC1

,

CB1

,

BA1

是相等的步，相邻桁的0.1的等差数列，

且直线OA的斜率为0.725，则

k3A.

0.75

B.

0.8

C.

0.85背景突出数学应用，知识涉及到举步之比分别为

DD1

=

0.5,

CC1

=

k1

,

BB1

=

k2

,

AA11

1

1

1（一）以数学文化情境，落实立德树人根本任务数列、解析、三角等2024/3/7

15=k3

，已知k1

,

k2

,

k3

成公差为OD

DC

CB

BAy

D.

0.9ABCB1

C1O

D1

HDxA1D12．下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算．图中的AB

，AC

，BD

，CD

都是以

O为圆心的圆弧，CMNK是为计算所做的矩形，其中

M，N，K分别在线段

OD，OB，OA上，

MN⊥OB

，KN⊥OB

．记a

=经AOB

，

β

=

经AOC

，Y

=

经BOD

，δ

=经COD

，则A．sin

β

=

sin

Y

cosδ

ACD

B．cos

β

=

cosY

cosδC．sina=

D．cosa=

cos

β

cos

β情境新颖，以数学在科学技术中的应用立体几何、三角函数的综合sinδ

cosY

cosδ2024/3/716（23

年北京卷

9）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，

其

中

两

个

面

是

全

等

的

等

腰

梯

形

，

两

个

面

是

全

等

的

等

腰

三

角

形

.

若

AB

=25cm,BC

=10cm

，且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面与平面

ABCD的夹角的正切值均为

，则该五面体的所有棱长之和为（C）117m（D）125m

E

F

A

B

O

N

B（A）102m（B）

112m

D

E

F

C（二）对基础知识的考查更加合理，

不再强调知识点考查的数量D

CA

·

M

·B例

:（23

国乙）已知

ΔABC

为等腰直角三角形,AB

为斜边,

ΔABD

为等边三角形,若二面角C−

AB

−

D为1500

,则直线CD

与平面ABC

所成角的正切值为EAC2024/3/7

18

5

5DO(A)(C)(D)(B)2

5C1

5B（23

国Ⅱ)在信道内传输

0

，

1信号，信号的传输相互独立.发送

0

时，收到1的概率为

C

(0

<

C

<

1)，收到0

的概率为1

−

C

；发送1

时，收到

0

的概率为

β（0

<β

<1)，收到

1

的概率为1

−

β

.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.

单次传输是指每个信号只发送

1

次；

三次传输是指每个信号重复发送

3

次.

收到的信号需为译码，

译码规则如下：

单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如：若依次收到1

，0

，1，

则译码为

1）（A）

采用单次传输方案，若依次发送1

，

0

，

1，则依次收到1

，

0

，

1

的概率为(1

−

C)(1

−

β)2（B）

采用三次传输方案，若依次发送1，则依次收到1

，

0

，

1

的概率为β(1

−

β)2（C）

采用三次传输方案，若依次发送1，则译码为1

的概率为β(1

−

β)2

+

(1

−

β)3（D）

当

0

<

C

<

0.5

时，若发送

0，则采用三次传输方案译码为

0

的概率大于采用单次传输方案译码为

0

的概率.教材人教A版P51

贝叶斯公式例62024/3/7

19ABD例

4.一医疗队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）

的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100

例（称为病例组）

，同时在未患该疾病的人群中随机调查了

100

人（称为对照组）

.

得到如下数据：不够良好

良好病例组

40

60对照组

10

90（1）能否有

99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？(Ⅱ)

从该地的人群中人选一人，

A

表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，P(K2

>k)0.050

0.010

0.001k

3.841

6.635

10.828k∙k=24>10.828稍微一创新就不知如何入手了？R=4

（ii）利用该调查数据，给出P(A|B)

，P(A|

B)

的估计值，并利用（i）的结果给2024/3/7

出R

的估计值.

20

B

表示事件“选到的人患有该疾病”，

P(B

|

A)

与

P(B

|

A)

的比值是卫生习惯不够

P(B|A)

P(B|A)（i）证明：

R

=

P(A|

B)

P(A|

B)

；

P(A|

B)

P(A|

B)良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.例：

（2021

年国新

1）有

6

个相同的球，

分别标有数字

1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，

每次取

1

个球，

甲表示事件“第一次取出的球的数字是

1”

，乙表示事件“第二次取出的球的数字是

2”

，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是

8”

，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是

7”

，则（

）

BA．甲与丙相互独立

B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立

D．丙与丁相互独立2024/3/7

21例：（23

北京）数列{an}满足

an+1＝

（an﹣6）3+6

(n=

1,2,

3,，则（B

）

A．若

a1

＝3，

{an}为递减数列，且存在常数M

<0

，使得

an＞M恒成立B．若

a1

＝5，

{an}为递增数列，且存在常数M

<

6

，使得

an<M恒成立C．若

a1

＝7，

{an}为递减数列，且存在常数M

>

6

，使得

an＞M恒成立D．若

a1

＝9，

{an}为递增数列，且存在常数M

>

0

，使得

an<M恒成立2024/3/7

22中，点

P到x轴的距离等于点P到点(0,)

的距离，(Ⅱ)

已知矩形ABCD

有三个顶点在W

上，证明：矩形ABCD

的周长大于33(a

+

b)(b

+

c)

=

1

b

+

c

<

1,

a

=

−b

−

AB

+

BC

(b

+

c

+

)

b+c记动点P

的轨迹为W

.y

=

x2例：（2023

国Ⅰ22）在直角坐标系xOy2024/3/7

23(Ⅰ)求W

的方程；+

1

2结论意识、条件引领例（22

国乙

12）已知函数f(x)

，

g(x)

的定义域为R

，且

f(x)+g(2−

x)=5，g(x)−

f(x−

4)=7

，若

y=g(x)

的图像关于直线x=2对称，

g(2)=4

，则f

(k)

=

(

)(A)

−21(B)

−22(C)

−23(D)

−24（三）注重思维能力思维过程考查，加强推理能力的考查思维能力（它包含逻辑思维与非逻辑思维）2024/3/7

2422

D例：北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间弯曲性，

规定：多面体顶点的曲率等于

2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和。例如：正四面体在每个顶点有

3

个面角，

每个面角是

，所以正四面体在各顶点的曲率为

2π

一

3=π,故其总曲率为

4π(Ⅰ)

求四棱锥的总曲率(Ⅱ)

若多面体满足：顶点数-棱数+面数=2，证明：

这类多面体的总曲率是常数。高数定义、推理论证2024/3/7

25例：函数f(x）=(x>

0)，曲线

y

=

f(x)在(1,

f

(1))

处的切线在y

上截距为(Ⅰ)

求a

的值；

a

=

7(Ⅱ)

讨论g(x)=

x(f(x))2

的单调性；

递增(Ⅲ)

设a1

=

1,

an+1

=f(an

)

，证明：

2n−2

2

ln

an

−

ln

7

<

12024/3/7

26(2021

年八省市测试题)已知函数f(x)=ex

−

cos

x

−

sin

x,g(x)=ex

+

sin

x+

cos

x(Ⅰ)

证明：当x>−时，f

(x)

0

；(Ⅱ)

若g(x)ax

+

2

，求a的值我们要关注解题思路分析，关注解题方法的形成过程2024/3/7

27合理猜想，逻辑推理（新Ⅱ卷

22）(Ⅰ)证明：当

0<x<1时，

x−

x2

<sinx

<x

(−

,

−

]

[

,

+

)(Ⅱ)

已知函数f(x)=cosax

−

ln(1

−

x2

)

，若x=0是f(x)

的极大值点，求实数a

的取

y图形探路

，代数推理快速推理严格论证值范围.O

xO

x2024/3/7xO

y28例：

已知f

(x)=ln(x+1)+

axe−

x(Ⅰ)

当a=

1时，

求曲线f(x)在(0,

f(0))

处的切线方程；

(Ⅱ)

若f(x)在(−1,

0),(0,

+)各有一个零点，求

a的取值范围。yg(x)

=

e

1极限定位，数值定量必要探路，推理论证2024/3/7

29a‹

-1OO

x4

xx1x2x

x

exx3xf(x)

=yx（23

甲理）已知函数f

(x)

=

ax

−

,

x

(0,π)

.cos

x

2(Ⅰ)

当a=8

时，

讨论f(x)

的单调性；(Ⅱ)

若f

(x)

<

sin

2x

，求

a的取值范围.

a

<

3

g//

(x)

=

4sin

x(2

+

−

2

cos

x)6xx52cossin2

cos

2xcos4

x−

acos4

x+

2sin2

x

+

1=cos4

xg/

(x)=2

cos

2x−

a+1

+c

xxn2os2s端点效应，先猜后证2024/3/7

30直线l1

,

l2

于A,

B

两点（A,

B

分别在第一，四象限），且ΔOAB

的面积恒为

8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E

？若存在，求出双曲线E的方程若不存在，说明理由.例

：

已

知

双

曲

线

E:−=1(a>0,

b>0)l1

:

y

=

2x,

l2

:

y

=

−2x

.b2y222ax（1）求双曲线E

的离心率；（2）如图，

O为坐标原点，动直线l分别交的

两

条

渐

近

线

分

别

为2024/3/7

31C(23

年甲

19)在三棱柱ABC−A1B1

C1到平面BCC1B1

的距离为

1(Ⅰ)

求证：

AC

=A1

C(Ⅱ)

若直线AA1

与BB1

距离为

2，

求AB1

与平面BCB1

C1

所成角的正弦值.

13中，

AA1

=2

，A1

C

⊥底面ABC

，

ACB=900

，A1运算其实也是一种重要的推理2024/3/7

32(Ⅰ)求证:EF

/

/平面ADO

标：证明F是AC中点？(Ⅱ)证明:平面ADO

⊥平面BEF

；(文)若

POF=1200

,求三棱锥P−ABC

的体积；(Ⅲ)

求二面角D−

AO−C

的正弦值.；目BD.E.OQC（23

年乙）

如图在三棱锥P

−

ABC

中，

AB

⊥

BC,

AB=

2,

BC

=

2

,

PB

=

PC

=

BP,AP,BC

的中点分别为D,E,O

，

AD=5DO

，点

F

在AC

上，

BF

⊥

AO

.思考二P：借助向量2024/3/7

33思考一：借助三角AF（1）高考对数学运算的考查要求：

越来越重视，

高考数学试题将合理的

控制运算量，给学生留出用于思考的时间。

9省测试不惜减少题目个数，

也要给学生更多的思考。（2）数学运算主要有三步：

运算也是一种重要的①理解运算对象，

掌握运算法则

推理方式②探究运算思路，

选择运算方法③设计运算程序，求得运算结果（3）数学运算能力主要包括：合理运算路径、

运算速度、

运算质量等（四）引导考生多想少算合情推理（突出对理性思维和数学探究的考查）2024/3/7

341+

（D)

2

+

1，直线PA

与

O

相切于点A

，直线PB

与若

OP

=

2

，则

PA

.

PD

的最大值为A例：（23

年乙

12）已知

O

的半径为⊙O

交于B,

C

两点，

D为BC

的中点，1

+

2（B）1

+2

2（C）2024/3/7

35例：（23

北京）已知向量a,b满足a−

b=(2,3),

a+

b=

(−2,1)，则

a−

b

=A.

﹣2B.

﹣1C．0

D．1例（23

国Ⅱ)

记Sn

为等比数列{an

}的前n和，若S4

=−5,S6

=21S2

，则

S8

=CA.

120

B.

85

C.

-85

D.

-1202024/3/7

36B22则方程

f(x)

−

g(x)

=

2

的实根个数为A.

1B.

2

C.3(|已知函数f(x)=ln

x，g(x)=〈

22024/3/7

370

<x

<1x

>

10,−

4

−

2|lxDD.

4（全国

2

理

4）

2019

年

1

月

3

日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决

的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系

．

为解决这个问题，

发射了嫦

娥四号中继星“鹊桥”，

鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2

点的轨道运行．

L2

点是

平衡点，

位于地月连线的延长线上．

设地球质量为

M1

,月球质量为

M2

,

地月距

离为

R，

L2

点到月球的距离为

r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，

r满足方(R+

r)

.设C

=

，

由于C

的值很小，

因此在近似计算中,则

r的近似值为

算理更重要M程：

1

+3C3

+

3C4

+

C5(1+

C)2B．

RC

．

3RDD

．

3R2024/3/7

38A．

R(R

+

r)2Mr

2~3C3

2

=例

1.设向量

a,

b,

c

，满足

a

=b

=1

，

a.

b=−，

<a−

c,

b−

c=，则

c的最大值等于

AC（A）

2

（B）

（C）

（D）

1

c·A

a

b

BO2024/3/7

39例：在平面直角坐标系xOy

中，点A(1,1),

B(2,1),

C(2,

2)

，P是圆M

:

x2

+(y−

4)2

=2上的一点，点

Q是ΔABC边上的一点，则

OP.

OQ的最大值是

B（A）

8

+

2

（B）

12（C）

8

+

4

（D）

16.

O

x2024/3/7

40DCBMyAJπ例：若

ΔABC

的面积为

,且

C

为钝角，

则

B

=

3

；

的取值范围是（2，+

）。2024/3/7

41B

CA(Ⅱ)过点(−2,3)

的直线交C于P,

Q两点，直线AP,

AQ

与y

轴的交点分别为M

,

N，证明：

线段MN

的中点为定点.思考一：设点法P(x1

,

y1

),Q(x2

,

y2

)

y=k(x+2)+3思考二：设直线法

AP:

y=k1

(x+2),AQ:

y=k2

(x+

2)思考三：极点极线法（

-2，

3）对应极线

x

+y

=1−2

3（国乙）已知椭圆C

:

+

=

1(a>

b>0)的离心率为

a

b

3解析几何基本研究方法

（一）简化运算(Ⅰ)

求C

的方程；

x

+

y

=

14

9222024/3/7

42,点

A(−2,

0)在C上.AB

:

y

=

k1x

+

1

AC

:

y

=

k2

x

+

1

牵

M(−

1

,

0),

N(

−

1

,

0)

牵

MN

=

k2

−

k1

=

2

yAB,

AC20分24/3别/7

与x

轴交于点M

,

N，证明：线段MN

的中点为定点.

43x

x

C

x

+4(y−1)

+4[m(y−1)−

x](y−1)=0牵(4m+4)()

−

4+

1

=0

(Ⅲ)

过点

P(−2,1)

作斜率为

k

的直线与椭圆

E

交于不同的两点

B,

C

，直线

2

2

y

−1

2

y

−1

M

O

x（22

年北京）已知椭圆E:+=1(a>

b>0)的一个顶点为A(0,1)，焦距为23a

b

(

1x2

2

|k1

+

k2

=

m

+

1

1（I）求椭圆E

的方程：

4

+

y

=

1

k1k2

=

牵

m

=

−

4（Il）过点

P(−2,1)

作斜率为

k

的直线与椭圆

E

交于不同的两点

B,

C

，直线AB,

AC

分别与x轴交于点M

,

N

，当

MN

=2时，

求k

的值。k

=−4k1

k2

k1k2

P

ABC

:

x

+

2

=

m(y

−1)

牵

x

+

4(y

−1)

+

8(y

−1)

=

0

牵

B

N

22推广一已知椭圆

C:+=

1(a>

b>0)，过点P(

a,b)作一斜率为k直线与椭圆相交于两a

b点P,Q

，椭圆任一端点A与两点P,Q

的连线，

AP,

AQ

与坐标轴相交于两点M

,N,则：①线段MN

的中点为定点；

②给出

MN

=t(t>0)

，可求出k

的值.

+

=

1

(a

>

b

>

0)

y−

b=k(x+a)orx+a=m(y−

b)b2y222axb2

(x+

a)2

+

a2

y2

−

2ab2

(x+a)=0b2

(x+

a)2

+a2

y2

−

2ab[y−

k(x+

a)](x+

a)=0合理运算是解决圆锥曲线问题中最关键的一步AM

:

y=k1

(x+a)AN:

y=k2

(x+

a)A

O

xBM2024/3/7N44（2018

年北大自招）已知实数a,

b,

c

成公差为非

0

的等差数列，在平面直角坐标系中，点P(−3,2)

，N(2,3)

，过点P

作直线ax+

by+

c=0的垂线，垂足为点M

，

则M

,

N间的距离的最大值与最小值的乘积是

A3212024/3/7