全国高中物理竞赛静电场专题

1、静电场【知识点】1、库仑定律表述 真空中两个静止点电荷之间的相互作用力的大小和点电荷电量的乘积成正比，它们之间距离的平方成反比，作用力的方向沿着它们的连线，同号电荷相斥，异号电荷相吸引，即Fq1 q 240 r 3r式中，r 为矢量r的大小，即两个点电荷之间的距离，0 为真空介电常数2、 电场强度定义实验点电荷q0 放入电场中， 它所受的电场力F与电量q0 的比值 F q0 与电量q0 无关，反映了电场在空间不同点的性质，定义为电场强，用E 表示，即FEq03、 电场场度的叠加原理表述 电场中任意一点的电场强度等于每个点电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的矢量和 . 于是带电系统的电场强度是

2、nnqiEEi3 ri点电荷系4i 1i 1ridqdlEd Er ，其中 dqdS ，连续带电体4r 3dV4、电场线规定如图 4 所示，满足如下要求的几何曲线称为电场线，也称E 线电场线上每一点的切线方向与该点场强的方向一致；在电场中任一点处， 通过垂直于该处电场强度方向的单位面积的电场线的条数等于该点处电场强度的dSE量值，即dSend EEdS图 4式中，E 为电场强度通量， 表示通过某一面积的电场线的条数5、电位移矢量D定义电场中某点的电位移矢量D 表示为D0 EP式中， P 为介质的电极化强度，在各向同性线性电介质中，D 可以表示为D0 r EE6、电通量定义 通过某一曲面电位移线

3、的条数， 称作该曲面上的电位移通量， 简称为电通量 其数学表达式为eDd SD cos dS ,有限面SSeDd SD cos dS ,闭合面SS7、 静电场的高斯定理表述 在静电场中，通过任一闭合面的电通量数值上等于该闭合面所包围的自由电荷的代数和，数学表达式为D d SqiS( S内)8、 静电场的环路定理表述在静电场中，电场强度的环路积分为零，即Edl0L若试验电荷在静电场中沿任一闭合路径运动一周，则电场力所做的功恒等于零，即A q0LEdl 09、 电势能定义若选择点电荷在某参考点时系统的电势能为零，则q0 在 P 点进系统的电势能为参考点WPq0E dlP10、电势定义 电场中某点单

4、位正电荷所具有的电势能称为该点的电势，即将单位正电荷从该点经任意路径移到电势零点时电场力所做的功即WP参考点U Pq0E d lP11、场强与电势的微分关系表述电场中某点电场强度等于该点电势梯度的负值，即EU12、导体的静电平衡表述若将导体放在静电场中， 当导体中的电荷没有宏观定向运动时，电荷分布不再发生变化， 电场的分布也不再改变，这时导体所处的状态称为静电平衡状态，导体静电平衡的条件是导体内部电场强度处处为零13、电容器的电容定义当电容器的两极板带等量异号电荷q 、q ，且电势差为 U abU a U b 时，则电容器的电容为CqU ab14、电场的能量定义电场中单位体积内存储的电场能量称

5、为电场能量密度，用we 表示，即w1 DEe2对带电体系整个电场的能量，有如下计算公式WewedV1 DEdVVV 2对于各项线性介质，则WewedV1 E 2 dVVV 215、电流和电流密度定义电流（ I ）单位时间内通过导体任一截面的电量，即dqIdt电流密度(J ) 通有电流的导体中， 每一点电流密度大小等于通过该点单位垂直截面的电流，电流密度的方向是该点正电荷运动的方向，即dI en dS16、电动势定义电源内单位正电荷从负极通过电源内部移到正极时，非静电力所做的功，其表达式为EdlK式中， E K 为单位正电荷反受到的“非静电力”，又称作“非静电性场强”，因电源外部E K0 ，电动

6、势定义又可表示为EdlLK【例题 】1、已知真空中电场的能量密度为，试求（ 1）均匀带电球面（电荷量为，半径为）上的电场强度。（ 2）带电球面上的表面张力系数。解：球面内，而球面外球面附近，为球面附近电荷面密度。球面上不能用高斯定理求解，因带电面模型失效，无法确定高斯面所包围电荷。根据对称性应沿径向向外，设带电球面缓缓地向外膨胀，半径由变为，则电场力对单位球面积的功为，对整个球面的功为球面膨胀后，内和外电场及能量未变，而的薄球壳内的电场能发生变化。而电场力的功等于电势能改变加一负号，则2）电场力做功导致电势能减小，电势能转化为球面膨胀而增加的表面自由能。球面膨胀后增加的表面积在考虑可忽略后得题

7、中球面的膨胀是虚拟的，电场力的功也被称为虚功，这个求解 的方法也就被称为“虚位移”法。2、如图所示，把一个点电荷放置在内外半径分别为、的导体球壳内，求作用在此电荷上的电场力。 如果导体是孤立与不带电的，它的内表面的电势为多少？已知距球心为。解：电荷置于壳内，壳上产生感应电荷，其中内表面电荷受影响分布不均，而外表面电荷则分布均匀。由此知外表面电荷对作用力为零 （均匀带电球壳内部场强为零），电荷的受力只与内表面感应电荷有关。因内表面与外表面之间的部分场强为零（金属内部静电平衡时场强为零），故感应电荷在外部的场抵消了在外的场，因此内外表面感应电荷对外部的作用等效于在位置处放置一电荷。由结论：感应电荷

8、对内的作用相当于球外的一电荷，距球壳中心为，可得到两像电荷电荷量之比为则内部感应电荷对电荷的作用力等于对的作用力因内部感应电荷与的共同作用使内表面外处处场强为零，故只有此两者存在时，球壳与无穷远等势，电势为零。由于球体总电荷量为零，故外表面还有电荷量存在，大小为，分布均匀，对导体球壳电势贡献为导体球壳为等势体，故内表面电势亦为。3、三个完全相同的电容器相接，如图所示。已知电容器1 带电荷量为，上板带正电，电容器2、 3 原来不带电。（ 1）用导线将、相连，求电容器2 的上、下板带电荷量及符号。（ 2）然后断开、，将、相连；再断开、，将、相连。求这时电容器2的上、下板所带电荷量及其符号。（ 3）

9、在（ 2）情况下，将、相连，再求电容器2 的上、下板所带电荷量及其符号。解：在第（ 1）问中连接、时，电容器2、3 串联后再和电容器1 并联。由于电容器2、 3 不带电，电容器原来带的电荷量将按跟电容成反比的原则进行重新分配。在第（ 2）问中断开、后，电容器1、3 均带电，连接、时，电容器1、 3 并联；再断开、，将、相连时，电容器1、 2、 3 均带电。在第（ 3）问中，将、相连，电容器1 不带电，由于、仍相连，电容器2、 3并联。在以上三问中，电容器所带电荷量均守恒。设每个电容器的电容都为。（ 1）、相连后，设电容器1、 2、3 的电量分别为、，且上板都带正电，由与电压相等及电容公式得即由

10、电荷守恒定律，解得，为正值与假设相等，故电容器2 上板带正电。（ 2）断开、后，各电容器的电荷量不变。、连接前后电容器2 的电荷量不变，为。、连接后，电容器1、 3 并联，由于电容相等，因此电荷量也相等，为。断开、，再连接、，设电容器1、 2、 3 带电量分别为、，仍设上板带正电，由电荷量守恒得又联解、，得，（ 3）在（ 2）情况下，再将、相连，电容器1 不带电，设电容器2、3 带电量分别为、，则故电容器 2 的上板带负电，下板带正电，电荷量为。4、如图所示，、是三个电容量均为的完全相同平行板电容器，其电源电势差为。（ 1）接通电源，求三个电容器贮能之比；（ 2）接通电源，在、中充满介电常数为

11、的电介质，求三个电容器贮能之比；3）在（2）中操作足够长时间后， 再断开电源，然后将 、 中电介质取走，求总能量的改变；（ 4）在电介质尚未引入、两板间的情况下，先接通电源足够长时间，然后再断开电源；最后使与的两极板间均被电介质充满，求三电容器贮能之比。解：（ 1）、两电容器串联后和电容器并联，故，则（ 2）由题意得而另有且得故（ 3）将电介质取走后， 设电容器的带电荷量为，、的带电荷量分别为、，且都为上正下负，则解得，总能量的该变量为（ 4）设最后、三电容器的带电荷量分别为、，则由此得，根据可得5、如图（ a）所示，一接地的无限大水平放置的导体平板的上方有一点电荷，到平板的距离为，试求：1）

12、从点电荷 出发时沿着水平方向 （即平行于导体平板）的电场线碰到导体表面时的位置；（ 2）从点电荷到导体平板的垂足点处的场强；（ 3）点电荷与导体平板之间的相互作用力。解：由于导体平板无限大， 故平板将其整个下方屏蔽起来了 （可将无限大平板视为半径趋于无限大的球壳，从而易得上述结论），同时板上出现了感应电荷。只要分析出感应电荷的作用，则整个电场就清楚了，其他问题就得到了解决。先分析感应电荷的作用因板的下方被屏蔽起来，故下方场强处处为零。这是感应电荷的场与电荷的场叠加的结果，说明感应电荷对板下方空间的作用等效于在电荷处的。由于感应电荷分布在板上，其对空间的作用关于板对称，故感应电荷对其上方空间的作

13、用等效于置于与对称位置处的电荷，如图（b）所示。处用（ 1）此处讨论的空间在板上方，故感应电荷的作用在代替。B电场线从 出发， 发出的电场线总数 （即其周围闭合面的总的电通量）为电场线形状如图（ c）所示，该电场线绕轴 AB 旋转一周，形成一个曲面，而其终止于板上的点 ，也画出一半径为 的圆。可以看到， 由于电场线不相交，故通过圆弧的电场线条数为 （因为在 下方发出的电场线条数与从其上方发出的电场线条数相同） 。又圆面的电通量（即电场线条数）由 A 处 与 B 处 产生的通量叠加。于是有式中为电荷发出的总电场线条数，表示角内包含的电场线占总条数的比例（点电荷电场线球对称）。因子2则是因为与B点

14、在圆面上通量大小相等，正负相同。由上式得所以即电场线在板上终止点距点距离为。（ 2）此处讨论空间仍为板上方，故感应电荷作用仍用B 处代替。处场强为该场强方向竖直向下。（ 3）作用力大小即为与间库仑作用力两者间为吸引力。6、在极板面积为 ，相距为 的平行板电容器内充满三种不同的介质，如图（ a）所示。1）如果改用一种介质充满而电容量相同，这种介质的介电常数是多少？（ 2）如果在和、间插有极薄的导体薄片，（1）问的结果应是多少？解：（ 1）等效电路如图（ b）所示，其中各电容器的正对面积和间距都相等，只不过插入的介质不同而已，故等效电容为其中，故（ 2）等效电路如图（c）所示，其中，而由此得7、如

15、图（ a）所示，在边长为的正三角形三个顶点A 、B 、C 处分别固定电荷量为的点电荷，在其三条中线的交点上放置一个质量为m 、电荷量为 q 的带电质点，点显然为带电质点的平衡位置，设该质点沿某一中线稍稍偏离平衡位置，试证它将作简谐振动，并求其振动周期。解：如图（ b）所示， 以为坐标原点在中线AOD 上设置轴 ，考察沿轴的小偏离运动。 设偏移量为小量， A 处对其作用力记为，B 、C 两处两个对其合作用力记为，这些力取正时朝轴正方向，取负时朝轴负方向。记则有因，故有计算如下即得因此所受合力为这是一个线性恢复力，故将作简谐振动，振动角频率和周期分别为，8、如图（ a）所示，在的空间各点，存在沿轴

16、正方向的电场， 其中在的区域中， 电场是非匀强电场，场强的大小随的增大而增大，即，为已知常量；在的区域中，电场是匀强电场， 场强为。在的区域中的各点，电场分布与的空间中的分布对称，则场强的方向都是沿的空间中的分布对称，则场强的方向都是沿轴的负方向。一电子，其电荷为，质量为，在处以沿轴正方向的初速度开始运动。求：1）电子的 方向分运动的周期；2）电子运动的轨迹与轴的各个交点中，任意两个相邻交点间的距离。解：电子开始运动后，只受到方向的电场力的作用，在方向上没有外力的作用，所以我们可以把电子的运动分解成方向的匀速运动与方向的运动的合成。从方向来看，电子的初速度为零，在电场力的作用下开始向负方向做加

17、速运动，在区域内是匀加速运动；在做速度增大而加速度减小的变加速运动；进入区域后，电子受到与区域内大小相等而方向相反的对称的力的作用，将先做加速度增大的减速运动，再做匀减速运动。由对称性可得，在处其速度将变为零。又因为电子在非匀强电场中受到电场力与成正比，即说明电子在区域内将做简谐运动。所以电子向负方向运动可分为三个过程：先做匀加速运动， 再做简谐运动， 之后做匀减速运动。然后，反向重复上述过程。综上所述，不难看出，电子实际运动可分解成方向上的周期性运动与方向上的匀速直线运动。（ 1）先研究电子在方向的分运动，电子沿方向运动的初速度为0，在电场力的作用下开始向负方向做加速运动。在区域内电子受到负

18、方向的力的大小为电子的加速度的大小为设电子由到处需要时间为，则有得在区域内，电子受力其中，在此区域内电子的方向分运动是简谐运动，运动的角频率为因此，就方向上分运动而言，在此区域内电子的运动是平衡位置在处、周期为、振幅为的简谐运动的一部分。在处时，电子的速度为，方向向左。设在半径为的参考圆上，如图（b）所示，这时旋转半径与轴的夹角为，则由图可得解得，设电子自运动到所需时间为，则由图可得在区域内，电子在方向上以初速度向左做匀减速运动，到过处时，速度为零。这一过程经历的时间为综上所述，电子在方向上的分运动为在与间的往复运动，其周期为（ 2）由于电子在方向上做匀速直线运动，在子运动的轨迹与轴的各个交点

19、中，任意两相邻交点间距离方向上做周期性运动，不难得出电都相等，且9、有一两极板间距为、面积为的平行板电容器，中间充满厚度相同、介电常数均为，电阻率分别为、的两层漏电介质。两极板与电压为的直流电源相接，如图（a）所示。电源内阻可以忽略。稳定后，试求：1）流过两层介质的电流强度；2）两介质交界面堆积的自由电荷；3）两介质内的电场强度。解：因为平行板电容器中充满的是漏电介质，漏电就说明此电容器有电流通过，表现出电阻的特性，所以，我们可以把它等效成电阻与电容器的并联。对于两层漏电介质来说，图（ a）可简化成为图（ b）所示的等效电路，其中每个等效元件的电阻和电容分别为（ 1）电路稳定以后，流过电阻和的

20、电流相等，其值为（ 2）稳定时，电容器、上电压分别与、两端的电压和相等，则两电容器所带的电荷量为由于、不相等，它们的差即为两层介质交界面上堆积的电荷，即（ 3）两层介质内的电场强度分别为10、（第 22 届全国中学生物理竞赛复赛题）如图所示， O 为半径等于 R 的原来不带电的导体球的球心， O1、O2、O3 为位于球内的三个半径皆为r 的球形空腔的球心，它们与O 共面，已知 OOOO2OOR 在 OO 1、 OO2 的连线上132距O、O为 r 的 P 、 P 点处分别放置带电量为q 和O1P1122121PRROO3q2 的线度很小的导体（视为点电荷） ，在 O3 处放置一P2r带电量为

21、q3 的点电荷，设法使 q1、q2 和 q3 固定不动在O2导体球外的 P 点放一个电量为 Q 的点电荷， P 点与O1、 O2 、O3 共面，位于 O3O 的延长线上，到O 的距离 OP2R 1求 q3 的电势能2将带有电量 q1、q2 的小导体释放，当重新达到静电平衡时，各表面上的电荷分布有何变化？ 此时 q3 的电势能为多少？解：（ 1）、由静电感应知空腔 1、 2 及 3 的表面分别出现电量为q1 、 q2 和q3 的面电荷， 由电荷守恒定律可知，在导体球的外表面呈现出电量 q1q2 q3 由静电屏蔽可知，点电荷 q1 及感应电荷（q1 ）在空腔外产生的电场为零；点电荷q2 及感应电荷

22、（q2 ）在空腔外产生的电场为零；点电荷q3 及感应电荷（q3 ）在空腔外产生的电场为零因此，在导体球外没有电荷时，球表面的电量q1 q2q3 作球对称分布当球外 P 点处放置电荷Q 后，由于静电感应，球面上的总电量仍为q1 q2 q3，但这些电荷在球面上不再均匀分布，由球外的Q 和重新分布在球面上的电荷在导体球内各点产生的合场强为零O3 处的电势由位于P 点处的Q、导体球表面的电荷q1q2q3及空腔3 表面的感应电荷（q3 ）共同产生 无论q1q2q3在球面上如何分布，球面上的面电荷到O 点的距离都是 R，因而在 O 点产生的电势为k q1q2 q3 ， Q 在 O 点产生的电势为k Q ，

23、这两部分R2R电荷在 O3 点产生的电势 U与它们在 O 点产生的电势相等，即有Uq1q2 q3QkQ 2q12q2 2q3（ 1）kR2R2R因 q3 放在空腔 3 的中心处， 其感应电荷q3 在空腔3 壁上均匀分布 这些电荷在 O3 点产生的电势为Ukq3(2)r根据电势叠加定理， O3 点的电势为UUUkQ2q12q 22q3q3(3)2Rr故 q3 的电势能Wq3UQ2q12q22q3q3(4)kq32Rr（ 2）、由于静电屏蔽，空腔1 外所有电荷在空腔1 内产生的合电场为零，空腔1 内的电荷 q1 仅受到腔内壁感应电荷q1 的静电力作用， 因 q1 不在空腔1 的中心 O1 点，所以

24、感应电荷 q 在空腔表面分布不均匀，与1 相距较近的区域电荷面密度较大，对q1 的吸力较大，1q在空腔表面感应电荷的静电力作用下，q1 最后到达空腔1 表面，与感应电荷q中和同理，1空腔 2 中 q2 也将在空腔表面感应电荷q2 的静电力作用下到达空腔2 的表面与感应电荷q2 中和达到平衡后，腔1、2 表面上无电荷分布，腔3 表面和导体球外表面的电荷分布没有变化 O3 的电势仍由球外的电荷Q 和导体球外表面的电量qq2q3及空腔 3 内壁1的电荷 q3 共同产生，故O3 处的电势 U 与 q3 的电势能 W 仍如 (3)式与 (4) 式所示11、（第 21 届全国中学生物理竞赛预赛题试题m）的

25、实验装置如图所示。真空玻璃管内，阴极）测定电子荷质比 （电荷 K 发出的电子，经阳极q 与质量 A 与阴极m 之比 qK 之间的高电压加速后， 形成一束很细的电子流，电子流以平行于平板电容器极板的速度进入两极板 C、D 间的区域。若两极板C、D间无电压，则离开极板区域的电子将打在荧光屏上的O 点；若在两极板间加上电压U，则离开极板区域的电子将打在荧光屏上的P 点；若再在极板间加一方向垂直于纸面向外、磁感应强度为B 的匀强磁场，则打到荧光屏上的电子产生的光点又回到O 点。现已知极板的长度l 5.00cm，C、D 间的距离d l.50cm ，极板区的中点 M 到荧光屏中点O 的距离为 L 12.5

26、0cm，U 200V ，P 点到 O 点的距离 yOP3.0 cm；4B 6.3 10T。试求电子的荷质比。（不计重力影响）。解：设电子刚进入平行板电容器极板间区域时的速度为v0，因为速度方向平行于电容器的极板，通过长度为l 的极板区域所需的时间t1l/v0（ 1）当两极板之间加上电压时，设两极板间的场强为E，作用于电子的静电力的大小为qE 方向垂直于极板由C 指向 D，电子的加速度aqE（ 2）m而EU（ 3）d因电子在垂直于极板方向的初速度为0，因而在时间t1 内垂直于极板方向的位移12（ 4）y12at1电子离开极板区域时，沿垂直于极板方向的末速度vyat1（ 5）设电子离开极板区域后，

27、电子到达荧光屏上P 点所需时间为 t2t2（ L l/2） /v0（ 6）在 t2 时间内，电子作匀速直线运动，在垂直于极板方向的位移y2 vyt 2（ 7）P 点离开 O 点的距离等于电子在垂直于极板方向的总位移y y +y（ 8）12由以上各式得电子的荷质比为qv02 d（ 9）myUlL加上磁场 B 后，荧光屏上的光点重新回到O 点，表示在电子通过平行板电容器的过程中电子所受电场力与磁场力相等，即qE qv0B（ l0）注意到（ 3）式，可得电子射入平行板电容器的速度v0U（ 11）Bd代人（ 9）式得qUy（ 12）mB2lLd代入有关数据求得q1.6 1011 C/kg（ 13）m1

28、2、（第 21 届全国中学生物理竞赛复赛题试题）如图所示，接地的空心导体球壳内半径为 R，在空腔内一直径上的P1 和 P2 处，放置电量分别为q1 和 q2 的点电荷， q1q2 q，两点电荷到球心的距离均为a由静电感应与静电屏蔽可知：导体空腔内表面将出现感应电荷分布，感应电荷电量等于A2q空腔内部的电场是由 q1、 q2 和两者在空腔内表面上的感r应电荷共同产生的由于我们尚不知道这些感应电荷是怎样2P1P分布的，所以很难用场强叠加原理直接求得腔内的电势或场a OaR强但理论上可以证明，感应电荷对腔内电场的贡献，可用假想的位于腔外的（等效）点电荷来代替（在本题中假想(等效) 点电荷应为两个）

29、，只要假想的（等效）点电荷的位置和电量能满足这样的条件，即：设想将整个导体壳去掉，由q1 在原空腔内表面的感应电荷的假想（等效）点电荷q与 q1 共同1产生的电场在原空腔内表面所在位置处各点的电势皆为0；由 q2 在原空腔内表面的感应电荷的假想（等效）点电荷q2 与 q2 共同产生的电场在原空腔内表面所在位置处各点的电势皆为0这样确定的假想电荷叫做感应电荷的等效电荷，而且这样确定的等效电荷是唯一的等效电荷取代感应电荷后，可用等效电荷q1 、 q2 和 q1、 q2 来计算原来导体存在时空腔内部任意点的电势或场强1试根据上述条件，确定假想等效电荷q1 、 q2 的位置及电量求空腔内部任意点A的电

30、势UA已知 A 点到球心 O 的距离为 r， OA 与 OP的夹角为 21解： 解法：如图 1 所示， S 为原空腔内表A1面所在位置， q1 的位置应位于B2P2OaB1OP 的延长线上的某点B1 处，aP1R1Sq2 的位置应位于 OP2的延长图 1线上的某点B2 处设 A1 为 S 面上的任意一点，根据题意有q1q10(1)kkA1 P1A1 B1q2q20(2)kkA1 P2A1 B2怎样才能使(1) 式成立呢？下面分析图1 中OPA与OA B 的关系1111若等效电荷 q1 的位置 B1 使下式成立，即OP OB1 R2(3)1即OP1OA1(4)OA1OB1则 OP A OA B1

31、111有A1 P1OP1a(5)A1 B1OA1R由 ( 1) 式和 ( 5) 式便可求得等效电荷q1q1R(6)q1a由 (3) 式知，等效电荷 q1 的位置 B1 到原球壳中心位置O 的距离OB1R2(7)a同理， B2 的位置应使 OP A OA B ，用类似的方法可求得等效电荷2112q2R q 2(8)a等效电荷 q2 的位置 B2 到原球壳中心 O 位置的距离OB2R2(9)a解法：在图 1 中，设 A1 P1r1 ， A1B1r1 ， OB1d 根据题意， q1 和 q1 两者在 A1 点产生的电势和为零有k q1k q10（ 1）r1r1式中r1( R2a22Racos )1

32、2（ 2）r1( R2d 22Rd cos )1 2（ 3）由（ 1）、（2）、（ 3）式得q2 ( R2d 22Rd cos) q2(R2a 22 Racos )（ 4）11（4）式是以 cos为变量的一次多项式，要使（4）式对任意均成立，等号两边的相应系数应相等，即q2(R2d 2 ) q2( R2a2 )（5）11q12 d q1 2 a（6）由（ 5）、（6）式得ad 2(a 2R2 ) d aR20（ 7）解得d( a 2R2 ) ( a 2R2 )（ 8）2a由于等效电荷位于空腔外部，由（8）式求得dR2（ 9）a由（ 6）、（9）式有q12R2 q12（ 10）a 2考虑到（ 1

33、）式，有R（11）q1q1a同理可求得R2（ 12）OB2aq 2R（13）q2a（ 2）A 点的位置如图2 所示 A 的电势由 q1、 q1 、 q2、 q2 共同产生，即U A1R 11R 1( 10)kqa B AP Aa BP AA1122因AP1 Ar 22ra cosa 2B2OB1R2R22P2 aa P1RB1 Ar2cos2raSaP Ar 22ra cosa2图 222r R2R22B2 Ar 2cosaa代入(10) 式得U A kq1Rr 2 2ra cos a2a2r 22raR2 cosR41R(11)r 22ra cosa 2a2 r 22raR 2 cosR4【

34、训练题】1、一半圆均匀带电，电荷线密度为0，试求该半圆圆心处的场强。2、证明：在静电场中没有电荷分布的地方，如果电场线相互平行，则电场强度的大小必处处相等。3、在点电荷的电场中，放入一个半径为的接地导体球，从到导体球球心的距离为，求导体球对的作用力。4、半径分别为和的两个同心半球面相对放置，如图所示。两个半球面均匀带电，电荷面密度分别为和。求大半球面的直径AOB上电势的分布。5、一平行板电容器，电容=300pF，极板接在一个电源的正极，接在另一电源的负极，两电源的电动势均为150V，另外一极均接地。取一厚金属板B，其面积与、相同，厚度为电容器两极板间距离的三分之一，插入电容器两极板的正中央，如

35、图所示。（ 1）取一电动势为50V 的电源，负极接地，正极与金属板B 连通。问此时由电源输送到B的总电荷量是多少？（ 2）在上述情况下，左右平移金属板B，改变它在电容器两极板间的位置，直至B 上电荷量为零。固定 B 板位置，然后切断所有的电源，再将B板从电容器中慢慢抽出，求此时电容器两极板之间的电压。（ 3）求抽出 B 板过程中外力所做的功。6、右图是一个滴水起电机的原理图，是带小孔的水槽，水槽中装有食盐水。食盐水与电极间的电压为，每滴食盐水的质量为状电极位于的下方， 相距高度为，、之间的电容为。当水滴流经的狭窄通道时， 与也形成一个电容器，电容量为，。充电到，使小水滴带上正电，然后离开的狭窄

36、通道滴下。 水滴下落的频率很低，、之间不会同时有两滴水存在。已知开始时上由滴水引起的水位变化可以忽略。试求：（ 1）电极可达到的最高电势；（ 2）水滴临到达之前的速度与该水滴之前落下的水滴滴数之间的关系。盘不带电，7、如图所示，A、 B是两块水平放置的互相平行的带电金属板，其间的电场可视为匀强电场，假设有一带负电的微粒在点处沿与水平成角方向射出， 并从此时刻开始计时。已知在时，微粒到达其轨迹最高点，在时，微粒的动能为750eV；在以上运动过程中， 微粒一直处于匀强电场内，且未与 A、B 相碰，求微粒的初动能。8、极板相同的两个平板空气电容器充以同样的电荷量，第一个电容器两极板间的距离是第二个电

37、容器的两倍。 如果将第二个电容器插在第一个电容器两极板的中央， 并使所有极板都互相平行。问：系统的静电场如何变化？9、如图所示，在真空中有4个半径为的不带电的相同导体球， 球心分别位于边长为（）的正方形的四个顶点上。首先，让球 1 带电量为（），然后，取一细金属丝，其一端固定于球1 上，另一端分别依次与球2、 3、4、大地接触，每次接触时间都足以使它们达到静电平衡。设分布在细金属丝上的电荷可以忽略不计。 试求流入大地的电量的表达式。10、在真空中有两个点电荷和，相距为，试求：（ 1）的中垂面上任意一点的场强，设场点到中点的距离为；（ 2）的延长线上任意一点的场强，设场点到中点的距离为；（ 3）

38、空间任意一点的场强，设该点到中点的距离为，与之间的夹角为（设）。11、已知使一原来不带电的导体小球与一带电荷量为的导体大球接触，分开之后，小球获得电荷量。今让小球与大球反复接触，在每次分开后，都给大球补充电荷，使其带电荷量恢复到原来的值。求小球可能获得的最大电荷量。12、电荷均匀分布在半球面ACB上，球面的半径为， CD通过半球面顶点C 与球心的轴线，如图所示。、为 CD轴线上在点两侧、离点距离相等的两点。已知点的电势为，试求点的电势。13、图（ a）中 a 为一固定放置的半径为 R 的均匀带电球体，O 为其球心。已知取无限远处的电势为零时， 球表面处的电势为 U1000V 。在b la离球心

39、 O 很远的 O 点附近有一质子b ，它以OOREk 2000eV 的动能沿与 O O 平行的方向射向图（ a）a 。以 l 表示 b 与 O O 线之间的垂足距离，要使质子b 能够与带电球体a 的表面相碰，试求l 的最大值。把质子换成电子，再求l 的最大值。14、考虑一个原子序数为Z 的经典原子模型， 忽略电子间相互作用。设原子中某一电子e1 在离核 r0 处作平面匀速圆周运动。突然，由于某个过程，外面的另一个电子被俘获进原子核，假定这俘获过程进行得如此之快，以至电子 e1 的速度未受任何影响， 且仍然留在原子系统中。试把描述电子e1 在这种情况下运动的量（能量、轨道参数、周期）都用r0 、

40、电子质量 m 、电子电荷绝对值e 、原子序数 Z 表达出来，并与原来的运动作比较。15惰性气体分子为单原子分子，在自由原子情形、（第 26 届全国中学生物理竞赛复赛题）下，其电子电荷分布是球对称的。负电荷中心与原子核重合。但如两个原子接近，则彼此能因静电作用产生极化（正负电荷中心不重合），从而导致有相互作用力，这称为范德瓦尔斯相互作用。下面我们采用一种简化模型来研究此问题。x当负电中心与原子核不重合时，若以x 表示负电中心相对正电荷（原子核）的位移，当 x 为正时，负电中心在正电荷的右侧，当x 为负时，负图 1电中心在正电荷的左侧，如图1 所示。这时，原子核的正电荷对荷外负电荷的作用力f 相当

41、于一个劲度系数为 k 的弹簧的弹性力，即 f=kx，力的方向x1x2指向原子核， 核外负电荷的质量全部集中在负电中心， 此原R子可用一弹簧振子来模拟。图 2今有两个相同的惰性气体原子，它们的原子核固定，相距为R，原子核正电荷的电荷量为 q，核外负电荷的质量为m。因原子间的静电相互作用，负电中心相对各自原子核的位移分别为 x1 和 x2 ，且 |x1|和 |x2|都远小于R，如图 2 所示。此时每个原子的负电荷除受到自己核的正电荷作用外，还受到另一原子的正、负电荷的作用。众所周知，孤立谐振子的能量E=mv2/2+kx2/2 是守恒的，式中 v 为质量 m 的振子运动的速度，x 为振子相对平衡位置的位移。量子力学证明， 在绝对零度时， 谐振子的能量为 h/2，称为零点振动能，h/ 2 ，h 为普朗克常量，k / m 为振子的固有角频率。试计算在绝对零度时上述两个有范德瓦尔斯相互作用的惰性气体原子构成的体系的能量，与两个相距足够远的 （可视为孤立的、没有范德瓦尔斯相互作用的）惰性气体原子的能量差，并从结果判定范德瓦尔斯相互作用是吸引还是排斥。可利用当 |x|1 时的近似式 (1+ x)1/2 1+x/2-x2/8，(1+ x)-11-x+x2。16、（第23 届全国中学生物理竞赛预赛试题）如图所示，电荷量为q1 的正点电荷固定在坐标原点O 处，