《第七章玻耳兹曼统计》(期末复习)

1、第七章玻耳兹曼统计（期末复习）一、热力学第一定律的统计解释：dUdWdQUadUad.dallllllll比较可知：dWad，dQdallllll即：从统计热力学观点看，做功：通过改变粒子能级引起内能变化；传热：通过改变粒子分布引起内能变化二、相关公式1、非定域系及定域系的最概然分布aell2、配分函数：量子体系：zeaNefN土-ii1Z1el1ll1半经典体系：z/威如红二1hrhr经典体系：z威如红二1hrhr003、热力学公式（热力学函数的统计表达式）内能：U-NnZi物态方程：pNlnZi/定域系：自由能:F-NkTInZ熵:SkIn或SNk|nZ|nZi1m.b1.三、应用：1、用

2、玻耳兹曼分布推导单原子分子的理想气体物态方程并说明所推导的物态方程对多原子分子的理想气体也适用。2、能量均分定理能量均分定理的内容能量均分定理的应用：A、熟练掌握用能量均分定理求理想气体（单原子分子，多原子分子）内能、热容量。知道与实验结果的一致性及存在的问题。B、知道经典的固体模型，熟练掌握用能量均分定理求经典固体的内能及定容热容量。知道与实验结果的一致性及存在的问题。3、定域系的量子统计理论：、爱因斯坦固体模型；、熟练掌握用量子统计理论求爱因斯坦固体的内能及其热容量；、知道爱因斯坦固体模型成功之处及其不足和原因。四、应熟练掌握的有关计算1、求配分函数z进而求系统的热力学性质Z12、用ski

3、n.的证明及相关应用四、解题指导1、求广义力的基本公式Ylai的应用;例1：根据公式p.a巴，证明：对于极端相对论粒子,i*l.cp.2L(n2.n2.n2)1/2XyznnnxyzSs有p1U。上述结论对玻尔兹曼、玻色、费米分布均存立。3V证明：令Ac2B?.(n2n2n2)1/2，盒丄，因此得至UlXy2lLV3SsSs1V3V4/33VV1/33VSsSs压强pa巴丄a1/3V11ll因内能Ua，所以pUo证毕ii3V由于在求证过程中，并未涉及分布a的具体形式，故上述结a1论对玻尔兹曼、玻色、费米分布均存立。、熵的统计表达式及玻耳兹曼关系的应用例2试证明，对于遵从玻尔兹曼分布的系统，熵函

4、数可以表示为SNkPslnPss式中是总粒子处于量子态的概率，P伫eT对粒子的所有量子态求和。对于满足sNNZ1s经典极限条件的非定域系统，熵的表达式有何不同？:对于定域系TOC o 1-5 h zSNk|nZZ1NkPlnZNi17s1N证法(1)：NkPlnZUNkPlnZaS1NS1NssSSsPSsSNkPlnZaNkPlnZS1NsS1NkP.lnZNkPslnPsS1s证法（2）：对于满足玻耳兹曼分布的定域系N!-叫a!lllllnlnN!lna!alnNlnNNalnaaalnNlnNlllllllllTOC o 1-5 h ziiiiiiialnNalnjalnNalnalnN

5、N红lnallsssNNslllssssaNaa4lnNln亠NPlnPNaNNSSssss故：SkTlnNkPslnPs讨论：对满足对e的非定域系SNk卜ZklnN!NkPslnPsklnN!NkPslnPsSss或SklnklnklnN!NkPlnPSM.BSS0例3：对如图所示的夫伦克尔缺陷，（1）假定正常位置和填隙位置数均为N,证明：由N个原子构成的晶体，在晶体中形成n个缺位和填隙原子而具有的熵等于S2klnn！Nn）！nNe/2kT（2）设原子在填隙位置和正常位置的能量差为u，试由自由能FnuTS为极小证明在温度为T时，缺位和填隙原子数为nN证明：（1）当形成缺陷时，出现几个缺陷的各

6、种占据方式就对应不同的微观状态，N个正常位置出现n个空位的可能方式数为N!n!(Nn)!，同样离开正常位置的n个原子去占据N个间隙位置的方式数也为N!n,n,从而形成n个空位并有n个间隙位置为n个原子占据的方式数即微观态数“n!(Nn,，由此求得熵Sk/n2kInn!(Nn)!(2)系统的自由能FnuTS，取无缺陷时的晶体自由能为零时，平衡态时系统的自由能为极小。将自由能F对缺陷数n求一阶导数并令其为零，求得缺位和填隙原子数为nNnNe/2kT3、求配分函数，确定体系热力学性质例4：已知粒子遵从玻尔兹曼分布，能量表示式为(p2p2p2)ax2bx2mxyz其中，a、b为常数，求粒子的平均能量。

7、解：方法一：由配分函数求dxdydzdpdpdp1xyz1h3h32m（px”2平）叫2xdxdydzdpdpdpxyzhh3eax2bxdxh3e=e卜叱xdxe瞪ePI叱xdxh3e磴百b2lnZlnB2ln14a叱?冬2kT竺4a4a方法二由玻尔兹曼分布公式求由玻尔兹曼分布，粒子坐标在dxdydz，动量在dpdpdp范xyz围的概率为1dxdydzdpdpdpdWe厶二，Zh31由此求得一个粒子平均能量dxdydzdpdpdpZexyz1h3.W，积分范围为:x,y,zV;p,p,pxyz将代入积分，利用.函数,最后得到b22kT4a方法三用能量均分定理求(p2p2p2)ax2bx2mx

8、yz1bb2(p2p2p2)a(x)2一2mxyz2a4a能量表示式中，按照能量均分定律，每一平方项的平均值为kT，在上式中，对变量的平方项有4项，于是21bb2b2(p2p2p2)a(x一)2一2kT一2mxyz2a4a4a例5、试求双原子分子理想气体的振动熵解：双原子分子原子间的振动在温度不太高时可视为简谐振动，振动能量为(n2)hn0,1,2.单个分子的振动配分函数eh/2Ze-11e”3InZB1ln(le)i2双原子分子理想气体的振动熵SNkInZZ1Nk/(el)ln(le)令/Thv为振动特征温度，则上式写为vSNk上1ln(le/t)Texp(/T)lv例6、试求爱因斯坦固体的

9、熵。解：据爱因斯坦模型，理想固体中原子的热运动可以视为3N个独立谐振子的振动，且各振子频率都相同并设为常数.。固体中一个振子能量为：(n丄)力，l0、1、2n2一个振子配分函数n0e/2lea固体中共3N个谐振子，由此得到固体的熵nZaS3NklnZl3Nk-ln(lea)eal例7、定域系统含有N个近独立粒子，每个粒子有两个非简并能级和，求温度为T的热平衡态下系统的内能和熵，在l2高、低温极限下将结果化简，并加解释。解：1个粒子的配分函数为Ze甲eFll畔llnZnltlef)ll2l求得系统的内能和熵分别为UNlnZN()21e)lSNkInZlnZiNkj|n1e（昱）二巳）1e（鳥1）讨论：当温度T较低