2014向量自回归模型课件

1、NUAA XIN LEE向量自回归和误差修正模型12第七章 向量自回归和误差修正模型 传统的经济计量方法是以经济理论为根底来描述变量关系的模型。但是，经济理论通常并缺乏以对变量之间的动态联系提供一个严密的说明，而且内生变量既可以出现在方程的左端又可以出现在方程的右端使得估计和推断变得更加复杂。为了解决这些问题而出现了一种用非结构性方法来建立各个变量之间关系的模型。本章所要介绍的向量自回归模型(vector autoregression，VAR)和向量误差修正模型(vector error correction model，VEC)就是非结构化的多方程模型。本章内容：一、向量自回归理论二、结构V

2、AR(SVAR)模型的识别条件 三、VAR模型的检验四、脉冲响应函数五、方差分解六、Johansen协整检验七、向量误差修正模型(VEC) 3 向量自回归(VAR)是基于数据的统计性质建立模型，VAR模型把系统中每一个内生变量作为系统中所有内生变量的滞后值的函数来构造模型，从而将单变量自回归模型推广到由多元时间序列变量组成的“向量自回归模型。VAR模型是处理多个相关经济指标的分析与预测最容易操作的模型之一，并且在一定的条件下，多元MA和ARMA模型也可转化成VAR模型，因此近年来VAR模型受到越来越多的经济工作者的重视。一、向量自回归理论 4 VAR(p) 模型的数学表达式是 (7.1.1)其

3、中：yt 是 k 维内生变量向量，Xt 是d 维外生变量向量，p是滞后阶数，样本个数为T 。kk维矩阵A1，Ap和kd维矩阵B是要被估计的系数矩阵。t是k维扰动向量，它们相互之间可以同期相关，但不与自己的滞后值相关及不与等式右边的变量相关，假设 是t的协方差矩阵，是一个(kk)的正定矩阵。式(9.1.1)可以用矩阵表示为 一VAR模型的一般表示 5(7.1.2) 即含有k个时间序列变量的VAR(p) 模型由k个方程组成。例如：作为VAR的一个例子，假设工业产量IP和货币供给量M1联合地由一个双变量的VAR模型决定，并且让常数为唯一的外生变量。内生变量滞后二阶的VAR(2)模型是： 6其中， 是

4、要被估计的参数。也可表示成：还可以将式(9.1.2)做简单变换，表示为 (7.1.3)其中 是yt关于外生变量Xt回归的残差。式(7.1.3)可以简写为 9 对VAR模型的估计可以通过最小二乘法来进行，假设对 矩阵不施加限制性条件，由最小二乘法可得 矩阵的估计量为 (7.1.7) 其中： 。当VAR的参数估计出来之后，由于A(L)C(L)=Ik，所以也可以得到相应的VMA()模型的参数估计。 10 由于仅仅有内生变量的滞后值出现在等式的右边，所以不存在同期相关性问题，用普通最小二乘法(OLS)能得到VAR简化式模型的一致且有效的估计量。即使扰动向量t有同期相关，OLS仍然是有效的，因为所有的方

5、程有相同的回归量，其与广义最小二乘法(GLS)是等价的。注意，由于任何序列相关都可以通过增加更多的yt的滞后而被消除absorbed，所以扰动项序列不相关的假设并不要求非常严格。 11二EViews软件中VAR模型的建立和估计 1建立VAR模型 为了创立一个VAR对象，应选择Quick/Estimate VAR或者选择Objects/New object/VAR或者在命令窗口中键入var。便会出现以下图的对话框(以例9.1为例)： 12可以在对话框内添入相应的信息：(1) 选择模型类型VAR Type： 无约束向量自回归Unrestricted VAR或者向量误差修正Vector Error

6、Correction。无约束VAR模型是指VAR模型的简化式。 (2) 在Estimation Sample编辑框中设置样本区间。 13 (3) 在Lag Intervals for Endogenous编辑框中输入滞后信息，说明哪些滞后变量应该被包括在每个等式的右端。这一信息应该成对输入：每一对数字描述一个滞后区间。例如，滞后对 1 4表示用系统中所有内生变量的1阶到4阶滞后变量作为等式右端的变量。也可以添加代表滞后区间的任意数字，但都要成对输入。例如： 2 4 6 9 12 12即为用24阶，69阶及第12阶滞后变量。 14 (4) 在Endogenous Variables和Exogen

7、ous Variables编辑栏中输入相应的内生变量和外生变量。系统通常会自动给出常数c作为外生变量，但是相应的编辑栏中输入c作为外生变量，也可以，因为EViews只会包含一个常数。 其余两个菜单Cointegration 和 Restrictions仅与VEC模型有关，将在下面介绍。 152VAR估计的输出 VAR对象的设定框填写完毕，单击OK按纽，EViews将会在VAR对象窗口显示如下估计结果： 16 表中的每一列对应VAR模型中一个内生变量的方程。对方程右端每一个变量，EViews会给出系数估计值、估计系数的标准差(圆括号中)及t-统计量(方括号中)。例如，在log(GDPTC_P)的

8、方程中RR(-1)的系数是0.003521。 同时，有两类回归统计量出现在VAR对象估计输出的底部： 1718 输出的第一局部显示的是每个方程的标准OLS回归统计量。根据各自的残差分别计算每个方程的结果，并显示在对应的列中。 输出的第二局部显示的是VAR模型的回归统计量。残差的协方差的行列式值由下式得出： 19其中m是VAR模型每一方程中待估参数的个数， 是k维残差列向量。通过假定服从多元正态高斯分布计算对数似然值： AIC和SC两个信息准那么的计算将在后文详细说明。 20例9.1 我国货币政策效应实证分析的VAR模型 为了研究货币供给量和利率的变动对经济波动的长期影响、短期影响及其奉献度，根

9、据我国1995年1季度2004年4季度的季度数据，利用VAR(3)模型对实际GDPGDP季值除以居民消费价格指数(1990年为100)、实际M1和实际利率RR (一年期贷款利率减去居民消费价格指数的变动率) 3个变量之间的关系进行了实证研究，其中实际GDP和实际M1以对数的形式出现在模型中，而实际利率没有取对数，由于方程右边的变量是相同的，所以OLS估计模型是有效的，其结果如下： 21 尽管有几个系数不是很显著，我们仍然选择滞后阶数为3。3个方程调整的拟合优度分别为： 。无论如何，我们可以利用这个模型进行预测及下一步的分析。 22 同时，为了检验扰动项之间是否存在同期相关关系，可用残差的同期相

10、关矩阵来描述。用e i表示第i个方程的残差，i =1，2，3。其结果如表9.1所示。 表7.1 残差的同期相关矩阵 23 从表中可以看到实际GDP方程和实际利率、实际M1方程的残差项之间存在的同期相关系数比较高，进一步说明实际GDP和实际货币供给量(M1)、实际利率之间存在着同期的影响关系，尽管得到的估计量是一致估计量，但是在本例中却无法刻画它们之间的这种同期影响关系。 24三结构VAR模型(SVAR) 在式(7.1.1)或式(7.1.3)中，可以看出，VAR模型并没有给出变量之间当期相关关系确实切形式，即在模型的右端不含有内生变量，而这些当期相关关系隐藏在误差项的相关结构之中，是无法解释的，

11、所以将式(7.1.1)和式(7.1.3)称为VAR模型的简化形式。模型中的误差项t是不可观测的，可以被看作是不可解释的随机扰动。本节要介绍的结构VAR模型(Structural VAR，SVAR)，实际是指VAR模型的结构式，即在模型中包含变量之间的当期关系。 251两变量的SVAR模型 为了明确变量间的当期关系，首先来研究两变量的VAR模型结构式和简化式之间的转化关系。如含有两个变量(k=2)、滞后一阶(p=1)的VAR模型结构式可以表示为下式 (7.1.8)26 在模型(7.1.8)中假设：1变量过程xt和zt均是平稳随机过程；2随机误差uxt和uzt 是白噪声序列，不失一般性，假设方差

12、； 3随机误差uxt 和uzt 之间不相关， 。 式(9.1.8)一般称为一阶结构向量自回归模型(SVAR(1)。 27 它是一种结构式经济模型，引入了变量之间的作用与反响作用，其中系数 b12表示变量zt的单位变化对变量xt的即时作用，21表示xt-1的单位变化对zt的滞后影响。虽然uxt 和uzt 是单纯出现在xt和zt中的随机冲击，但如果b21 0，那么作用在xt上的随机冲击uxt 通过对xt的影响，能够即时传到变量zt上，这是一种间接的即时影响；同样，如果b12 0，那么作用在zt上的随机冲击uzt 也可以对xt产生间接的即时影响。冲击的交互影响表达了变量作用的双向和反响关系。 28

13、为了导出VAR模型的简化式方程，将上述模型表示为矩阵形式 该模型可以简单地表示为 (7.1.9)29 假设B0可逆，可导出简化式方程为 其中 (7.1.10)30 从而可以看到，简化式扰动项t是结构式扰动项ut的线性组合，因此代表一种复合冲击。因为uxt 和uzt是不相关的白噪声序列，那么可以断定上述1t和 2 t 也是白噪声序列，并且均值和方差为 31同期的1t和 2 t之间的协方差为 从式(7.1.11)可以看出当b12 0或b21 0时，VAR模型简化式中的扰动项不再像结构式中那样不相关，正如例中的表所显示的情况。当b12 = b21 = 0时，即变量之间没有即时影响，上述协方差为0，相

14、当于对B0矩阵施加约束。 (7.1.11)32 2多变量的SVAR模型 下面考虑k个变量的情形，p阶结构向量自回归模型SVAR(p)为 (7.1.13) 其中： 33 可以将式(7.1.13)写成滞后算子形式 (7.1.14) 其中： ，B(L)是滞后算子L的 kk 的参数矩阵，B0 Ik。需要注意的是，本书讨论的SVAR模型，B0 矩阵均是主对角线元素为1的矩阵。如果B0 是一个下三角矩阵，那么SVAR模型称为递归的SVAR模型。 34 不失一般性，在式(7.1.14)假定结构式误差项(结构冲击) ut 的方差-协方差矩阵标准化为单位矩阵Ik。同样，如果矩阵多项式B(L)可逆，可以表示出SV

15、AR的无穷阶的VMA()形式 其中： (7.1.15)35 式(7.1.15)通常称为经济模型的最终表达式，因为其中所有内生变量都表示为外生变量的分布滞后形式。而且外生变量的结构冲击ut 是不可直接观测得到，需要通过 yt 各元素的响应才可观测到。可以通过估计式(7.1.5)，转变简化式的误差项得到结构冲击ut 。从式(7.1.6)和式(7.1.15)，可以得到 (7.1.16)36 上式对于任意的 t 都是成立的，称为典型的SVAR模型。由于C0=Ik，可得 式(8.1.17)两端平方取期望，可得 所以我们可以通过对D0 施加约束来识别SVAR模型。 (7.1.17)(7.1.18)37二、

16、结构VAR(SVAR)模型的识别条件 前面已经提到，在VAR简化式中变量间的当期关系没有直接给出，而是隐藏在误差项的相关关系的结构中。自Sims的研究开始，VAR模型在很多研究领域取得了成功，在一些研究课题中，VAR模型取代了传统的联立方程模型，被证实为实用且有效的统计方法。然而，VAR模型存在参数过多的问题，如式(7.1.1)中，一共有k(kp+d)个参数，只有所含经济变量较少的VAR模型才可以通过OLS和极大似然估计得到满意的估计结果。 38 为了解决这一参数过多的问题，计量经济学家们提出了许多方法。这些方法的出发点都是通过对参数空间施加约束条件从而减少所估计的参数。SVAR模型就是这些方

17、法中较为成功的一种。 （一）VAR模型的识别条件 在经济模型的结构式和简化式之间进行转化时，经常遇到模型的识别性问题，即能否从简化式参数估计得到相应的结构式参数。 39 对于k元p阶简化VAR模型 利用极大似然方法，需要估计的参数个数为 (7.2.1)(7.2.2) 而对于相应的k元p阶的SVAR模型 来说，需要估计的参数个数为 (7.2.4)(7.2.3)40 要想得到结构式模型惟一的估计参数，要求识别的阶条件和秩条件，即简化式的未知参数不比结构式的未知参数多(识别的阶条件和秩条件的详细介绍请参见联立方程模型的识别)。因此，如果不对结构式参数加以限制，将出现模型不可识别的问题。 对于k元p阶

18、SVAR模型，需要对结构式施加的限制条件个数为式(7.2.4)和式(7.2.2)的差，即施加k(k -1)/2个限制条件才能估计出结构式模型的参数。这些约束条件可以是同期(短期)的，也可以是长期的。 41二SVAR模型的约束形式 为了详细说明SVAR模型的约束形成，从式(7.1.16)和式(9.1.17)出发，可以得到 其中C(L)、D(L)分别是VAR模型和SVAR模型相应的VMA()模型的滞后算子式， ，这就隐含着 (7.2.5)(7.2.6)42 因此，只需要对D0 进行约束，就可以识别整个结构系统。如果D0 是的，可以通过估计式(7.1.17) 和式(7.2.6)非常容易的得到滞后多项

19、式的结构系数和结构新息ut 。在有关SVAR模型的文献中，这些约束通常来自于经济理论，表示经济变量和结构冲击之间有意义的长期和短期关系。 43 1. 短期约束 短期约束通常直接施加在矩阵D0 上，表示经济变量对结构冲击的同期响应，常见的可识别约束是简单的0约束排除方法。 1通过Cholesky-分解建立递归形式的短期约束 Sims提出使D0 矩阵的上三角为0的约束方法，这是一个简单的对协方差矩阵 的Cholesky-分解。下面，首先介绍Cholesky-分解的根本思想 44 对于任意实对称正定矩阵 ，存在惟一一个主对角线元素为1的下三角形矩阵G和惟一一个主对角线元素为正的对角矩阵Q使得： 利用

20、这一矩阵G可以构造一个k维向量ut ，构造方法为 ut =G-1t，设 (7.2.7)45 那么 由于Q是对角矩阵，可得ut 的元素互不相关，其j, j元素是ujt 的方差。令Q 1/2表示其j, j元素为u jt 的标准差的矩阵。注意到式(9.2.7)可写为 (7.2.8) 其中P=GQ1/2是一个下三角矩阵。式(7.2.8)被称为Cholesky (乔利斯基)分解。 46 Sims施加约束的根本过程是： 由于 是正定矩阵，所以可得到Cholesky因子P，即 。而且，当给定矩阵 时，Cholesky因子P是惟一确定的。 对于VAR模型两边都乘以P 1，得到47 其中： 。由于 (7.2.9

21、)(7.2.10) 所以 ut 是协方差为单位矩阵的白噪声向量，即 。 48 在向量t中的各元素可能是当期相关的，而向量 ut 中的各元素不存在当期相关关系，即这些随机扰动是相互独立的。这些相互独立的随机扰动可以被看作是导致内生变量向量yt变动的最终因素。 由式(8.2.9)还可以得出 其中 (7.2.11)49 很明显， 是对角元素为1的下三角矩阵。这意味着变量间的当期关系可以用递归的形式表示出来，得到的正交VMA()表示(或Wold表示)形式为 其中： ， 。注意到 ，所以冲击 ut 对 yt 中的元素的当期冲击效应是由Cholesky因子P决定的。 (7.2.12)50 更需要注意的是，

22、由于P是下三角矩阵，由式(8.2.9)可知，这要求向量yt中的y2t，ykt的当期值对第一个分量y1t没有影响，因此Cholesky分解因子P的决定和VAR模型中变量的次序有关，而且在给定变量次序的模型中，Cholesky分解因子矩阵P是惟一的。 综上所述，可知只要式(7.1.13)中的B0是主对角线元素为1的下三角矩阵，那么SVAR模型是一种递归模型，而且是恰好识别的。 51 2依据经济理论假设的短期约束 但是，一般短期约束的施加不必是下三角形式的。只要满足式(7.1.18)，约束可以施加给D0 的任何元素。同时，由式(7.1.15)可知，SVAR模型中的同期表示矩阵B0 是D0 的逆，即

23、，因此也可以通过对B0 施加限制条件实现短期约束。 例如：对于税收(y1t)、政府支出(y2t)和产出(y3t)的三变量SVAR模型来说 ，由于模型中包含3个内生变量，那么k(k-1)/2= 3，因此需要对模型施加3个约束条件，才能识别出结构冲击。 52根据经济理论可作出如下的三个假设： 实际GDP影响当期的税收收入，但不会影响政府支出，即B0矩阵中b23= 0。 税收冲击可能对政府支出有影响，但税收不依赖于同期的政府支出，即B0矩阵中b12= 0。 关于税收的实际产出弹性假设，可以通过回归模型得出平均的税收的产出弹性为1.71，即b13= 1.71。53 2. 长期约束 关于长期约束的概念最

24、早是由Blanchard 和 Quah在1989年提出的，是为了识别模型供给冲击对产出的长期影响。施加在结构VMA()模型的系数矩阵Di (i=1，2，)上的约束通常称为长期约束。最常见的长期约束的形式是对 的第i行第j列元素施加约束，典型的是0约束形式，表示第i个变量对第j个变量的累积乘数影响为0。 关于长期约束更详细的说明及其经济含义可参考9.4节的脉冲响应函数。54三SVAR模型的3种类型 SVAR模型根据其建模特点，主要分3种类型：K-型，C-型和AB-型，其中AB-型是最通常的类型，而K-型、C-型都可视为是AB-型的特殊形式。这里，为简便起见，我们考虑常数项为0的情况。 1. K-

25、型 假定K是一个(kk)的可逆矩阵，K矩阵左乘式(8.1.5)形式的VAR模型，那么得 55其中 式(8.2.16)导致扰动项 t 转变为正交扰动项ut (协方差矩阵是一个单位阵)，因此向量yt中各元素间的当期相关关系是由可逆矩阵K来决定的。假定知道t 的方差-协方差矩阵的真实形式： (7.2.16)56从而有 这意味着对矩阵施加了k(k+1)/2个非线性的限制，K中剩下k(k1)/2个自由参数，还须给出k(k1)/2个短期约束条件。例所描述的SVAR模型即为K-型SVAR模型。 2. C-型 假定C是一个(kk)的可逆矩阵，对于VAR模型 57(7.2.17)如果满足以下条件： 那么称上述模

26、型为C-型SVAR模型。 在这一模型中，ut是相互独立的扰动，而t是独立正交的扰动项ut的线性组合。与K-型模型所不同的是：在这个模型中，内生变量之间没有同期关系，每个变量对正交扰动项的响应是通过矩阵C模拟的。 58 由 ，可以得到 。假定 的形式， 意味着对C 矩阵施加了k(k+1)/2个非线性的限制性条件，C中剩下k(k1)/2个自由参数。如果C矩阵是下三角矩阵，那么C矩阵就相当于Cholesky-分解的P矩阵。 3. AB-型 假定A、B是(kk)的可逆矩阵，A矩阵左乘式(7.1.5)形式的VAR模型，那么得 59如果A、B满足以下条件：那么称上述模型为AB-型SVAR模型。 注意到AB

27、-模型是最典型的SVAR模型，可以涵盖K-模型和C-模型。如果AB-模型中的A矩阵为单位矩阵，那么AB-模型就转化为C-模型。如果AB-模型中的B矩阵为单位矩阵，那么此AB-模型为K-模型。 (7.2.18)60由得到如果 的形式，那么 是对矩阵A、B的参数施加了k(k+1)/2个非线性限制条件，剩下2k2 k (k+1)/2个自由参数。 61 四在Eviews中如何估计SVAR模型 在VAR估计窗口中选择：Procs /Estimate Structural Factorization 即可。下面对这一操作进行详细说明： 在EViews中SVAR模型采用节所介绍的AB-型： 其中et，ut是

28、k维向量，et是可观测到的或简化式的残差，相当于前文的t，而ut 是不可观测的结构新息(结构式残差)。A、B是待估计的k k矩阵。简化式残差et的协方差矩阵为 62结构新息ut 被假定是标准化正交的，即其协方差矩阵是单位矩阵：新息ut标准正交的假设对矩阵A、B强加了下面这样的约束： 为了估计正交的因子分解矩阵A、B，需要提供附加的可识别约束。对于短期和长期约束都能被指定为文本形式或矩阵模式。 631. 用矩阵模式表示的短期约束 在许多问题中，对于A、B矩阵的可识别约束是简单的排除0约束。在这种情况下，可以通过创立矩阵指定A、B的约束，矩阵中想估计的元素定义为缺省值NA，在矩阵中所有非缺省的值被

29、固定为某一指定的值。例如：假定约束A为主对角元素是1的下三角矩阵，B为一对角矩阵，对于k = 3个变量的VAR模型，其矩阵模式可定义为： 64 用菜单Objects/NewObjects可以创立两个新的3 3的矩阵A、B，然后用表格视图(speadsheet view)来编辑这些值。 一旦创立了矩阵，从VAR对象窗口的菜单中选择Procs/Estimate Structural Factorization，在以下图所示的SVAR Options的对话框中，击中Matrix按钮和Short-Run Pattern按钮，并在相应的编辑框中填入模版矩阵的名字。 65662. 用文本形式表示的短期约束

30、 对于更一般的约束，可用文本形式指定可识别的约束。在文本形式中，以一系列的方程表示关系：Aet = But ，并用特殊的记号识别et和ut向量中的每一个元素。A、B矩阵中被估计的元素必须是系数向量中被指定的元素。例如：像上例所假定的一样，对于有3个变量的VAR模型，约束A矩阵为主对角线是1的下三角矩阵，B矩阵是一对角矩阵。在这些约束条件下，Aet = But 的关系式可以写为下面的形式。 67 为了以文本形式指定这些约束，从VAR对象窗口选择Procs/Estimate Structure Factorization，并单击Text按钮，在编辑框中，应键入下面的方程： 68 特殊的关键符“e1

31、， “e2， “e3分别代表et向量中的第一、第二、第三个元素，而“ u1， “ u2， “ u3分别代表ut 向量中的第一、第二、第三个元素。在这个例子中，A、B矩阵中的未知元素以系数向量c中的元素来代替。并且对A、B矩阵的约束不必是下三角形式，可以依据具体的经济理论来建立约束。693. 长期约束 表达在关系式Aet = But 中的可识别约束，通常指短期约束。Blanchard 和Quah(1989)提出了另外一种可识别的方法，是基于脉冲响应长期性质的约束。由式(7.4.17)，可推出结构新息的长期响应： 长期可识别约束依矩阵 的形式指定，典型的是0约束形式。ij = 0的约束表示第i个变

32、量对第j个结构冲击的长期响应为0。 70 用矩阵形式表示的长期约束 通过矩阵模式设定长期约束，需建立一个已命名的包括长期响应矩阵 的模板，在 矩阵中非约束的元素应定义为缺省值NA。 例如: 对于一个两变量的VAR模型，假设约束第二个内生变量对第一个结构冲击的长期响应为0，即21= 0，那么长期响应矩阵可定义为下面的形式： 71 一旦建立了模板矩阵，在VAR对象窗口的菜单中选择Procs/Estimate Structural Factorization，在SVAR Option对话框中，选择Matrix和Long-run Pattern按钮，并在相应的的编辑框中键入模版矩阵的名字。 用文本形式

33、表示的长期约束 为了以文本形式指定相同的长期约束，在VAR对象窗口的菜单中选择Procs/Estimate Structural Factorization，并击活Text按钮，在编辑框中键入下面的形式： 72 lr2(u1)=0 zero LR response of 2nd variable to 1st shock 在撇号后面的内容是注释。这个约束以特殊的关键字“1r #开始，数字代表受约束的响应变量；在圆括号内，必须指定脉冲关键字 u和扰动项序号，在其后紧跟等号和响应值通常是0。需注意：当需列出多个长期约束时，不要混淆短期与长期约束。73 4. A、B矩阵的估计 一旦提供了上述所描述的

34、任何一种形式的可识别约束，单击SVAR Options对话框的OK按钮，就可以估计A、B矩阵。为了使用脉冲响应和方差分解的结构选项，必须先估计这两个矩阵。 假定扰动项是多元正态的，EViews使用极大似然估计法估计A、B矩阵。使用不受限制的参数代替受限制的参数计算似然值。对数似然值通过得分方法最大化，在这儿梯度和期望信息矩阵使用解析法计算。 74 最优化控制(Optimization Control) 最优化过程控制的选项在SVAR Options对话框的Optimization Control栏下提供。可以指定初始值、迭代的最大数和收敛标准。 估计的输出 一旦估计收敛，EViews会在VAR

35、对象窗口中显示估计的结果，包括：估计值、标准误差和被估计无约束参数的Z统计量及对数似然的最大值。基于被估计的信息矩阵的逆Hessian的负的期望值所估计的标准误差在最后的估计中计算。7576 例7.2 基于SVAR模型的货币政策效应的实证分析 例使用了VAR模型验证利率和货币供给的冲击对经济波动的影响，但是其缺点是不能刻画变量之间的同期相关关系，而这种同期相关关系隐藏在扰动项变动中，因此可以通过本节介绍的SVAR模型来识别，这就涉及对模型施加约束的问题。首先建立3变量的SVAR(3)模型，其结果如下： (7.2.13)77其中变量和参数矩阵为 78其中u1t 、u2t 和 u3t 分别表示作用

36、在实际利率RR、ln(M1)和ln(GDP)上的结构式冲击，即结构式扰动项，ut VWN(0k，Ik)。如果B0是可逆的，可将结构式方程转化为简化式方程： 其中： 一般而言，简化式扰动项 t 是结构式扰动项 ut 的线性组合，因此代表一种复合冲击。 79 模型中有3个内生变量，因此需要施加k(k -1)/2=3个约束才能使得模型(7.2.13)满足可识别条件：实际利率对当期货币供给量的变化没有反响，即b12=0(2) 实际利率对当期GDP的变化没有反响，即b13=0； (3)实际GDP对实际利率的当期变化没有反响，即b31=0。 其在Eviews中的实现过程如下：8081 在模型(8.2.13

37、)满足可识别条件的情况下，我们可以使用完全信息极大似然方法FIML估计得到SVAR模型的所有未知参数，从而可得矩阵B0 及t 和 ut的线性组合的估计结果如下。 82或者可以表示为 1t = u1t 2t 1t+161.08 3t+ u2t 3t 2t+ u3t 在本章后面的局部可以通过SVAR模型利用脉冲响应函数讨论实际利率和货币供给量的变动对产出的影响。 83 无论建立什么模型，都要对其进行识别和检验，以判别其是否符合模型最初的假定和经济意义。本节简单介绍关于VAR模型的各种检验。这些检验对于后面将要介绍的向量误差修正模型VEC也适用。 一Granger因果检验 VAR模型的另一个重要的应

38、用是分析经济时间序列变量之间的因果关系。本节讨论由Granger(1969) 提出，Sims(1972) 推广的如何检验变量之间因果关系的方法。 三、VAR模型的检验 84 1. Granger因果关系的定义 Granger解决了x是否引起y的问题，主要看现在的y能够在多大程度上被过去的x解释，参加x的滞后值是否使解释程度提高。如果x在y的预测中有帮助，或者x与y的相关系数在统计上显著时，就可以说“y是由x Granger引起的。 考虑对yt进行s期预测的均方误差（MSE）： (7.3.1)85 这样可以更正式地用如下的数学语言来描述Granger因果的定义：如果关于所有的s 0，基于(yt，

39、yt-1，)预测yt+s得到的均方误差，与基于(yt，yt-1，)和(xt，xt-1，)两者得到的yt+s的均方误差相同，那么y不是由x Granger引起的。对于线性函数，假设有 可以得出结论：x不能Granger引起y。等价的，如果(8.3.2)式成立，则称x对于y是外生的。这个意思相同的第三种表达方式是x关于未来的y无线性影响信息。 (7.3.2)86 可以将上述结果推广到k个变量的VAR(p)模型中去，考虑对模型(8.1.5)，利用从(t 1)至(t p)期的所有信息，得到yt的最优预测如下： (7.3.3)VAR(p)模型中Granger因果关系如同两变量的情形，可以判断是否存在过去

40、的影响。作为两变量情形的推广，对多个变量的组合给出如下的系数约束条件：在多变量VAR(p)模型中不存在yjt到yit的Granger意义下的因果关系的必要条件是 87(7.3.4)其中 是 的第i行第j列的元素。 2. Granger因果关系检验 Granger因果关系检验实质上是检验一个变量的滞后变量是否可以引入到其他变量方程中。一个变量如果受到其他变量的滞后影响，那么称它们具有Granger因果关系。 88在一个二元p阶的VAR模型中 (7.3.5) 当且仅当系数矩阵中的系数 全部为0时，变量x不能Granger引起y，等价于变量x外生于变量y。 89 这时，判断Granger原因的直接方

41、法是利用F-检验来检验下述联合检验： 至少存在一个q使得 其统计量为 (7.3.6)如果S1大于F的临界值，那么拒绝原假设；否那么接受原假设：x不能Granger引起y。 90其中：RSS1是式(9.3.5)中y方程的残差平方和：(7.3.7)RSS0是不含x的滞后变量， 即如下方程的残差平方和： (7.3.8)那么有 (7.3.9)91 在满足高斯分布的假定下，检验统计量式(8.3.6)具有精确的F分布。如果回归模型形式是如式(8.3.5)的VAR模型，一个渐近等价检验可由下式给出： (7.3.10) 注意，S2服从自由度为p的2分布。如果S2大于2 的临界值，那么拒绝原假设；否那么接受原假

42、设：x不能Granger引起y。 而且Granger因果检验的任何一种检验结果都和滞后长度p的选择有关，并对处理序列非平稳性的方法选择结果极其敏感。 92 二在Eviews软件关于VAR模型的各种检验 一旦完成VAR模型的估计，EViews会提供关于被估计的VAR模型的各种视图。将主要介绍View/Lag Structure和View/Residual Tests菜单下 提供的检验 。93 1VAR模型滞后结构的检验 (1) AR根的图表 如果被估计的VAR模型所有根模的倒数小于1，即位于单位圆内，那么其是稳定的。如果模型不稳定，某些结果将不是有效的如脉冲响应函数的标准误差。共有kp个根，其中

43、k是内生变量的个数，p是最大滞后阶数。如果估计一个有r个协整关系的VEC模型，那么应有k r个根等于1。 对于例，可以得到如下的结果： 94 有2个单位根的模大于1，因此例的模型不满足稳定性条件，而且在输出结果的下方会给出警告(warning)。 95下面给出单位根的图形表示的结果： 96 2 Granger 因果检验 选择View/Lag Structure/ Pairwise Granger Causality Tests，即可进行Granger因果检验。输出结果对于VAR模型中的每一个方程，将输出每一个其他内生变量的滞后项(不包括它本身的滞后项)联合显著的2Wald统计量，在表的最后一行

44、ALL列出了检验所有滞后内生变量联合显著的2统计量数值。对例进行检验，其结果如下： 9798另外：同时在组(Group)的View菜单里也可以实现Granger 因果检验，但是需要先确定滞后阶数，具体统计量的构造可依据节的介绍，将例的3个时间序列构造成组，在组中进行检验可得如下结果： 99 为了使两个结果具有可比性，选择了相同的滞后阶数。两个输出结果的形式和统计量都不一样，在VAR中用的是 2 统计量，而在Group中使用的是F统计量。但是含义是一样的。 需要注意：如果估计一个VEC模型，Granger因果检验仅检验其一阶差分，不检验误差修正项。 100 例7.3 Granger因果检验 早期

45、研究发现，在产出和货币的单方程中，货币对于产出具有显著Granger影响(Granger，1969)，这同Friedman等人(1963)“实际产出和货币供给当中的扰动成分正相关的结论相符。但是，Sims(1980)对于“货币冲击能够产生实际效果的观点提出了质疑，他通过使用结构变量之间的因果关系检验，得到的主要结论是：如果在实际产出和货币的关系方程当中引入利率变量，那么货币供给对实际产出的作用程度将出现显著降低。因此，动态的利率变量将比货币存量具有更强的解释产出变化的能力，这样的结论同凯恩斯经济学中的LM曲线机制更为接近。 101 根据实际情况，利用例的数据，基于VAR(3) 模型检验实际利率

46、RR、实际货币供给M1和实际GDP之间是否有显著的Granger关系，其结果如表所示。 102 从表的结果可以看到实际利率不能Granger引起实际M1、实际GDP，其P值分别到达0.4099和0.5524，可以作为外生变量，这与我国实行固定利率制度是相吻合的，即利率不是通过市场来调节的。 同时在第三个方程(即GDP方程)中，实际M1外生于实际GDP的概率为0.4428，这可能是因为我国内需缺乏，大局部商品处于供大于求，因此当对货币的需求扩张时，会由于价风格整而抵消，并不会形成对货币供给的数量调整，因此对产出得影响比较微弱。另外，在样本区间内，货币政策发生了方向性的改变，导致其影响作用出现了抵

47、消和中和，因此M1对GDP没有显著的影响。103 VAR模型中一个重要的问题就是滞后阶数确实定。在选择滞后阶数p时，一方面想使滞后数足够大，以便能完整反映所构造模型的动态特征。但是另一方面，滞后数越大，需要估计的参数也就越多，模型的自由度就减少。所以通常进行选择时，需要综合考虑，既要有足够数目的滞后项，又要有足够数目的自由度。事实上，这是VAR模型的一个缺陷，在实际中常常会发现，将不得不限制滞后项的数目，使它少于反映模型动态特征性所应有的理想数目。三滞后阶数p确实定 104 1. 确定滞后阶数的LR(似然比)检验 (7.3.11) LR (Likelihood Ratio) 检验方法，从最大的

48、滞后数开始，检验原假设：在滞后数为j时，系数矩阵Aj的元素均为0；备择假设为：系数矩阵Aj中至少有一个元素显著不为0。2 (Wald)统计量如下： 其中m是可选择的其中一个方程中的参数个数：m =d+ kj，d是外生变量的个数，k是内生变量个数， 和 分别表示滞后阶数为(j 1)和 j 的VAR模型的残差协方差矩阵的估计。 105 从最大滞后数开始，比较LR统计量和5%水平下的临界值，如果LR 时，拒绝原假设，表示统计量显著，此时表示增加滞后值能够显著增大极大似然的估计值；否那么，接收原假设。每次减少一个滞后数，直到拒绝原假设。 2AIC信息准那么和SC准那么 实际研究中，大家比较常用的方法还

49、有AIC信息准那么和SC信息准那么，其计算方法可由下式给出： 106其中在VAR模型(7.1.1)中n = k(d + pk)是被估计的参数的总数，k是内生变量个数，T是样本长度，d是外生变量的个数，p是滞后阶数，l是由下式确定的 (7.3.12)(7.3.13)(7.3.14)107 3.在Eviews软件中滞后阶数p确实定 一旦完成VAR模型的估计，在窗口中选择View/Lag Structure/Lag Length Criteria，需要指定较大的之后阶数，表中将显示出直至最大滞后数的各种信息标准如果在VAR模型中没有外生变量，滞后从1开始，否那么从0开始。表中用“*表示从每一列标准中

50、选的滞后数。在47列中，是在标准值最小的情况下所选的滞后数。 p，首先选择尽可能大的滞后阶数8，得到如下的结果： 108109 4.在Eviews软件中关于残差的各种检验 1相关图(Correlogram) 显示VAR模型在指定的滞后数的条件下得到的残差的交叉相关图样本自相关。交叉相关图能以3种形式显示：有两种表格形式，一种是以变量来显示Tabulate by Variable，另一种是以滞后阶数来显示(Tabulate by Lag)。曲线图Graph显示交叉相关图的矩阵形式。点线代表滞后的相关系数加减两倍的渐近标准误差的曲线图 。110 2混合的自相关检验 计算与指定阶数所产生的残差序列相

51、关的多变量Box-Pierce/Ljung-Box Q统计量。 同时计算出Q统计量和调整后的Q统计量即：小样本修正。在原假设是滞后h期残差不存在序列相关的条件下，两个统计量都近似的服从自由度为k2 (h p)的2 统计量，其中p为VAR模型的滞后阶数。 111 3自相关LM检验 计算与直到指定阶数所产生的残差序列相关的多变量LM检验统计量。滞后h阶数的检验统计量是通过残差t 关于原始右侧回归量和滞后残差 t-h的辅助回归运算得到的，这里t-h 缺少的前h个值被赋予0。参考Johansen (1995)LM统计量的计算公式。在原假设是滞后h期没有序列相关的条件下，LM统计量渐近地服从自由度为k2

52、的2 分布。 112 4 正态性检验 这是J-B残差正态检验在多变量情形下的扩展，这种检验主要是比较残差的第三、第四阶残差矩与来自正态分布的那些矩。 5White异方差检验 这个回归检验是通过残差序列对每一个回归量及回归量交叉项乘积的回归来实现的，并检验回归的显著性。 113 在实际应用中，由于VAR模型是一种非理论性的模型，因此在分析VAR模型时，往往不分析一个变量的变化对另一个变量的影响如何，而是分析当一个误差项发生变化，或者说模型受到某种冲击时对系统的动态影响，这种分析方法称为脉冲响应函数方法(impulse response function，IRF)。四、脉冲响应函数 114 用时间

53、序列模型来分析影响关系的一种思路，是考虑扰动项的影响是如何传播到各变量的。下面先根据两变量的VAR (2) 模型来说明脉冲响应函数的根本思想。 一脉冲响应函数的根本思想 (8.4.1)其中，ai，bi，ci，di是参数， 是扰动项，假定是具有下面这样性质的白噪声向量： 115(7.4.2) 假定上述系统从期开始活动，且设x-1 = x-2 = z-1 = z-2= 0，又设于第期给定了扰动项10 =1，20 =0，并且其后均为，即 1t =2t =0(t ，)，称此为第期给x以脉冲，下面讨论xt 与zt 的响应，t = 0时： 116将其结果代入式(9.4.1) ，当t = 1时再把此结果代入

54、式(9.4.1) ，当t =2时 继续这样计算下去，设求得结果为称为由x的脉冲引起的x的响应函数。同样所求得 117称为由x的脉冲引起的z的响应函数。 当然，第期的脉冲反过来，从10 =0，20 =1出发，可以求出由z的脉冲引起的x的响应函数和z的响应函数。因为以上这样的脉冲响应函数明显地捕捉对冲击的效果，所以同用于计量经济模型的冲击乘数分析是类似的。 118 将上述讨论推广到多变量的VAR(p)模型上去，由式(8.1.5)可得 二VAR模型的脉冲响应函数 (7.4.3) VMA()表达式的系数可按下面的方式给出，由于VAR的系数矩阵A和VMA的系数矩阵C必须满足下面关系： 119(7.4.4

55、)(7.4.5)其中：1 = 2 = = 0。关于q的条件递归定义了MA系数： (7.4.6)120考虑VMA()的表达式 yt的第i个变量yit可以写成：其中k是变量个数。 (7.4.7)(7.4.8)121 仅考虑两个变量的情形： q =1 , 2 , 3 ,， i , j = 1 , 2 现在假定在基期给 y1 一个单位的脉冲，即： (7.4.9)1222 1 0 1 2 3 4 5 t那么由 y1的脉冲引起的y2的响应函数为 123 因此，一般地，由yj的脉冲引起的yi的响应函数可以求出如下： 且由yj的脉冲引起的yi的累积(accumulate)响应函数可表示为 124Cq的第i行、

56、第j列元素还可以表示为 ： (7.4.10)作为q的函数，它描述了在时期t，其他变量和早期变量不变的情况下yi,t+q对yjt的一个冲击的反响(对应于经济学中的乘数效应)，我们把它称作脉冲响应函数。也可以用矩阵的形式表示为 (7.4.11)125即Cq的第i行第j列元素等于时期t第j个变量的扰动项增加一个单位，而其他时期的扰动为常数时，对时期t+q的第i个变量值的影响。 但是对于上述脉冲响应函数的结果的解释却存在一个问题：前面我们假设协方差矩阵 是非对角矩阵，这意味着扰动项向量t 中的其他元素随着第j个元素jt的变化而变化，这与计算脉冲响应函数时假定jt变化，而t中其他元素不变化相矛盾。这就需

57、要利用一个正交化的脉冲响应函数来解决这个问题。 126 三脉冲响应函数在Eviews软件中的实现 为了得到脉冲响应函数，先建立一个VAR模型，然后在VAR工具栏中选择View/Impulse Response或者在工具栏选择Impulse，并得到下面的对话框，有两个菜单：Display 和 Impulse Definition。127 1. Display菜单提供以下选项： (1) 显示形式Display Format 选择以图或表来显示结果。如果选择Combined Graphs 那么Response Standard Error选项是灰色，不显示标准误差。而且应注意：输出表的格式是按响应变

58、量的顺序显示，而不是按脉冲变量的顺序。 (2) 显示信息Display Information 输入产生冲击的变量Impulses和希望观察其脉冲响应的变量Responses。可以输入内生变量的名称，也可以输入变量的对应的序数。例如，如果VAR模型以GDP、M1、CPI的形式定义，那么既可以以： 128 GDP CPI M1的形式输入，也可以以 1 3 2的形式输入。输入变量的顺序仅仅影响结果的显示。 还应定义一个确定响应函数轨迹的期间的正整数。如果想显示累计的响应，那么需要单击Accumulate Response选项。对于稳定的VAR模型，脉冲响应函数应趋向于0，且累计响应应趋向于某些非0

59、常数。 129 (3) 脉冲响应标准差Response Standard Error 提供计算脉冲响应标准误差的选项。解析的或Monte Carlo标准误差对一些Impulse选项和误差修正模型VEC一般不一定有效。假设选择了Monte Carlo，还需在下面的编辑框确定适宜的迭代次数。 如果选择表的格式，被估计的标准误差将在响应函数值下面的括号内显示。如果选择以多图来显示结果，曲线图将包括关于脉冲相应的正负+/-两个标准偏离带。在Combined Graphs中将不显示标准误差偏离带。 130 2. Impulse Definition菜单提供了转换脉冲的选项： (1) Residual-O

60、ne Unit 设置脉冲为残差的一个单位的冲击。这个选项忽略了VAR模型残差的单位度量和相关性，所以不需要转换矩阵的选择。这个选项所产生的响应函数是VAR模型相对应VMA()模型的系数。 设置脉冲为残差的一个标准偏差的冲击。这个选项忽略了VAR模型残差的相关性。 131 (3) Cholesky 用残差协方差矩阵的Cholesky 因子的逆来正交化脉冲。这个选项为VAR模型的变量强加一个次序，并将所有影响变量的公共因素归结到在VAR模型中第一次出现的变量上。注意：如果改变变量的次序，将会明显地改变响应结果。可以在Cholesky Ordering 的编辑框中重新定义VAR模型中变量的次序。 1