巧构三角模型妙解实际问题

1、巧构三角模型，妙解实际问题六神中学 李云超 有一类解三角形问题，如果直接去解，就很麻烦，甚至用解直角三角形的知识无法解决.但是，利用构造三角模型来解，就容易多了.模型一：一个三角形中，有两个角分别是60和45；模型二：一个三角形中，有两个角分别是30和45.近几年的中考试题直接或间接地与这两种模型有着千丝万缕联系，都是通过作高（或垂线），化“斜”为“直”解决实际问题.这两种模型很有实用价值，能起到事半功倍的解题效果. 特介绍如下，供参考. 一、知识模型： A A 600 45 30 45 B D C B D C 图1 图2 模型一：如图1,1.若BC=a,则AB=a,AC=a.若AC=b,则A

2、B=b,BC=b. 3.若AB=c,则AC=c,BC=c. 4.若AD=h,则AB=h,BC=h,AC=h.模型二：如图2，1.若BC=a，则AB=（）a，AC=a.若AC=b,则AB=,BC= 3.若AB=c,则AC=c,BC=c.若AD=h,则AB=2h,AC=h，BC=（）h.二、运用模型：例1（2012年南通市中考试题）如图，某测量船位于海岛P的北偏西60方向，距离海岛100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海岛P的西南方向上的B处求测量船从A处航行到B处的路程(结果保留根号)解：易知A=60，B=45.而PA=100海里.由模型一3知：AB=PA=100=50+50（海

3、里）. 答：测量船从A处航行到B处的路程为（50+50）海里 例2 （2012年扬州市中考试题）如图，一艘巡逻艇航行至海面B处时，得知正北方向上距B处20海里的C处有一渔船发生故障，就立即指挥港口A处的救援艇前往C处营救已知C处位于A处的北偏东45的方向上，港口A位于B的北偏西30的方向上求A、C之间的距离(结果精确到0.1海里，参考数据： eq r(sdo1(2)1.41， eq r(sdo1(3)1.73) 解：由模型二1知：AC=BC=20=10=101.41（1.731）=14.10.73=10.29310.3(海里)答：A、C之间的距离为10.3海里 例3 （2012年广元市中考试题

4、）如图，A，B两座城市相距100千米，现计划要在两座城市之间修筑一条高等级公路（即线段AB）。经测量，森林保护区中心P点在A城市的北偏东30方向，B城市的北偏西45方向上。已知森林保护区的范围在以P为圆心，50千米为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高等级公路会不会穿越保护区？为什么？ 解：作点P到直线AB的垂线段PE，则线段PE的长，就是点P到直线AB的距离. 根据题意，PAB=60，PBA=45.由模型一4知：AB=PE， 100=PE.化简，得PE=.PE50，即保护区中心到公路的距离大于半径50千米，公路不会穿越保护区.好了，就不赘举了.由以上可知，运用三角模型解题又好又快，轻松搞定，避免了将斜三角形分割成两个直角三角形来解的问题，也减少了作辅助性的麻烦，是一种“节约”型的好方法.三、演练实践： （2012年黔东南中考试题）如图，一艘货轮在A处发现其北偏东45方向有一海盗船，立即向位于正东方向B处的海警舰发出求救信号，并向海警舰靠拢，海警舰立即沿正西方向对货轮实施救援，此时距货轮200海里，并测得海盗船位于海警舰北偏西60方向的C处. （1）求海盗船所在C处距货轮航线AB的距离. （2）若货轮以45海里/时的速度向A处沿正东方向海警舰靠拢，海盗以50海里/时的速度由C处沿正南方