考研数学定理公式专项突破汇总

1、第一篇!高等数学第一章 !函数!极限!连续 ! ! ! ! !函数 ! ! ! ! ! ! !极限 ! ! ! ! ! ! 连续 ! ! ! ! ! ! ! #第二章 !一元函数微分学 ! #!导数 与微分 ! ! ! ! ! ! ! #!导数 与微分的计 算 ! ! ! ! ! ! #$微分 中值定理 ! ! ! ! ! ! ! #%导数 的应用 ! ! ! ! ! ! ! !&第三章 !一元函数 积分学 ! ! ! ! ! ! !%不定 积分 ! ! ! ! ! ! ! !%定积 分 ! ! ! ! ! ! ! (反常 积分 ! ! ! ! ! ! ! (&第四章 !向量代数 和空间解析

2、几何数一# ! ! ! ! (!向量 代数 ! ! ! ! ! ! ! (!空间 解析几何 ! ! ! ! ! ! ! ()第五章 !多元函数微分学 ! $(多元 函数的极限 !连续 !偏导 数与全微分 ! ! ! ! $(多元 函数的微分 法 ! ! ! ! ! ! $%极值 与最值 ! ! ! ! ! ! ! #多元 微分在几何 上的应用数一# ! ! ! ! ! 第六章 !多元函数 积分学 ! ! ! ! ! ! 重积 分 ! ! ! ! ! ! ! 曲线 积分数一# ! ! ! ! ! ! )曲面 积分数一# ! ! ! ! ! ! )*场论数一# ! ! ! ! ! ! ! *#多元

3、 函数积分学 的应用数一# ! ! ! ! ! *!第七章 !无穷级数数一 !数三# ! ! ! ! ! *$常数 项级数 ! ! ! ! ! ! ! *$!考研数学定理公式专项突破幂级 数 ! ! ! ! ! ! ! *% 傅里 叶级数数一# ! ! ! ! ! ! % 第八章 !微分方程 与差分方程 ! ! ! ! ! %) 基本 概念 ! ! ! ! ! ! ! %) 一阶 微分方程的 求解 ! ! ! ! ! ! %* 可降 阶的高阶微 分方程的求 解 ! ! ! ! #-$!#$5!#.% = 5-.-$!#$5!#.&% 狄利克雷函数 6!# = -#&! 为有理数 时$! 为无理

4、数 时&$+反函数# # 定义设函数的定义域为 6$ 值域为7$&对于任意的#7$ 在 6$ 上至少可以确定一个! 与对应$且满足=$!#&如果把 看作自变量$! 看作因变量$ 就可以得 到一个新 的函数*! = $#&我们称这个新的函数!=$#为函数=$!#的反函数$而把函数=$!# 称为直接函数&即若可反解出!=$!#= $# # &!# 反函数的性 质在同一坐标平面内$直接函数%$!#与其反函数!% #的图形是关于直线%!对称的&%+隐函数若关系式8!$#%&$对于任意的!#都由该关系式唯一 确定一个的值$这样确定的函数关系式%!#称为由方程 8!$#确定的隐函数&+由参数方程定义的函数

5、若参数方程-!%9#$确定了与!间的函数关系$则称此 %#9# 时的函数关系式为由参数方程确定的函数&极限一!极限的概念!数列极限设-!3.为一数列$:为一常数$则43-%56$!#%: 对任意的$ &$存在正整数;&$使得当3&; 时$有)!3+:)$8函数极限设函数$!#的定义域为!$: 为一个常数$则4!-%56$!#% : 对任意的$&$存在 &$使得当)!)& 时$有)$!# +:)$8类似可定义!4-5$!#%:$!4-5$!#% :8设函数$!#在点!& 的某一去心邻域内有定义$: 为一常 数$则4!-%5!$!#% : 对 任意的$&$存在!&$当&$)!+!& )$!时$有)

6、$!#+:)$8# 函数左!右极限若存在常数:$对于任意给定的正数$&$总存在!&$使 得&$!+!& $!时$有)$!#+:)$恒成立$则称常数:为 $!#当! %!&/ 时的右极限$记为4!-%5!/$!#%:$或$!&/#%:$或$!& /-$,） $-） $!#） $!）$+ $!3）.% 最小值 % 5-.-$,） $-） $!#） $!）$+ $!3）.& !）若$!）在区间,$-）内只有一个极值$则此极大小）值就是$!#在区间&,$-上的最大小#值 是曲线上不同的两点,弧(；的长为$ ,当(点沿曲线到达N点! 定义 时,(点处的切线所转过的角为*%,则称极限N% 115 * 为该

7、曲线在点(处的 *M%o *M 曲率计 算公式曲率(如图#-！-#所示)&若曲线方程为% $!)，则N% - 士若 曲 线 由 参 数 方 程 -”%”(99)$给 出$ 则 NI / I=)力+ y # 不)% + .!#!曲率半径O % N&(#曲率圆在( 点的法线上$凹向这一边取一点D,使)(6 )%O$则称6为曲率中心，以6 为圆心O为半径的圆周称为曲率圆(如图 1-2-2 所示).四!导数的物理应用设变量！与y之间的函数关系y %$!) & $.(.!& )表示 y % $!)在！ % !& 处 随!的变化率&实际生产生活中除了速度是路程函数的导数之外,常用的 还有*一根杆从一端&点

8、算起, &,!段杆的 质量为 % (!) ,则杆在点!处的线密度/(!) % .(!) &根导线在0,这段时间内通过导线横截面的电量为 P% Q),则导线在t时刻的电流强度#) % P ) &(3#某单位质量的物体从某确定的温度升高到温度1时所需的热量为q1),则物体在温度1时的比热C(1) % Q(T)&某力在0 ,时间内所做的功R % r)，则t时刻的功 率为R) &五!导数的经济意义%数三&!+边际及相关概念设某产品的产量为!单位时所需的总成本为C % C(!)，则 C(! 为总成本函数,设某产品的销售量为!单位时的总收入为 R % R),则O!)为总收益函数，当C!)和O!)可导时，其

9、导 数C!)和O!)分别称为边际成本和边际收益，记为当(C % C !)和(O % O!)&由以上定义，则总利润函数为S! % O!) C!)%边际利润为(S % S!) %(R(C %O !) Cf!)(边 际利润为边际收益与边际成本之差#&+弹性及相关概念设！和y是两个变量,y对！的弹性记为|,当y % y!)可导时$其计算公式为H _ ! 7H! 7!#需求的价格弹性设某商品的市场需求量为Q$价格为需求函数P %P（P）可导，则该商品需求对价格的弹性（简称需求弹性）为HQ % T 7PHp Q 7p其经济意义是*当价格为p时，若提价（降价）#%，则需求量减少（增加 #hq| .（!# 收

10、益的价格弹性 由弹性的定义$则商品收益对价格的弹性（简称收益弹 性# 为EO % t OHp O dp 因为 R% 于是有 g%#7 %# （Q/Pd ）%# + HP，其经济意义是：当价格为p时，若提价（降价）#%，则收益将 增加（减少）H &第三章 ! 一元函数积分学/不定积分一!原函数与不定积分的概念及基本性质!+原函数的概念如果对任一! # #$都有8.!#% $!#$或78!#% $!#7!$则称8!#为$!#在区间#上的一个原函数&+不定积分的概念函数$!#在区间#上的全体原函数称为在区间#上的不定 积分$记作*$!#7!$即$!#的不定积分就是函数族8!#/*& 其中 称为积分号

11、$! 称为积分变量 $!#称为被积函数$ $!#7!称为被积表达式W ) *AW $记1为这3 个小 区域 直径的最大者$若极限4-52 1%& W%#存在,则称此极限值为函数$gy$)在区域4上 的三重 积分 记作:$ (! y D)7A 即6:$(! y D) 7A % 4-1%5& 2 $()W 6W ;W)*AW4W%#其中7。叫体积元素&! 重积 分的存 在定 理!若函数 在区 域上 连 续则 三重 积 分 存在& 三重积 分的性质!三重积 分 具有与二 重 积分相似的 性质&+物理意义如果$(! y D) 表示某物体在(! y D) 处的体密度 4 是该物体所占有的空间区域，且f(

12、；H$#在4上连续，则:$4刃du表示该物体的质量&特别地$当$(!$) = #时，：7巴 44 的体积坐标面对称且函数有相应奇函性有完全类似的结论&$#利用变量对称性若将表示积分域4的方程中的工和y对调后方程不变，则将 被积分函数的m和y对调积分值不变，即:$M$y $s#77 %:$ y $M$s#778 44二三曲线积分数一）一!第一类曲线积分%对弧长的线积分&!+定义设L为MOy面内的一条光滑曲线弧$#在L上有界，用 （将L分成3小段.，任取一点）# *w % #$,$+,3# ,作和 2 $）$W*MW，令 A % 5axM# *! , + *3.,当 1 % & W%#时4-52

13、$）W 6W #*MW1%& W%#存在$称此极限值为$ $ y#在S上的第一类曲线积分（对弧长 的曲线积分#&记为*S$ M$y#7M % 4-1%5& 2$ ）W $6W # *M W &类似地可定义三元函数$）在空间曲线厂上的第一类 曲线积分*S$ M $ y $ s#7M % 4-115& 2$ ）W $ 6W $2W#*MW8如果积分弧段S是封闭曲线，则相应的曲线积分记为 $ M$y#7M 或 $ M$y$s#7M&SS+性质当$）在曲线弧S（2）上连续时，第一类曲线积分I fC.xy）7s必存在且与积分路径方向无关，即* f,y）7s =SS:2B #+计算#直接法% #9#设$!

14、$#在弧L上有定义且连续丄方程-% #( 9(d无+ 7ZS% 名师讲解【答案】三!两类曲线积分的关系平面曲线S上的两类曲线积分之间有如下联系:ldx + Qdy % * (Ic0s%+Qcos&)ds,其中 %! $# $!$# 为有向曲线弧 S在点5)处的切向量的方向角&空间曲线4上的两类曲线积分之间有如下联系:ldx + Qdy % * (Pc0s + Qcos/?+Kc0sy) ds,其中 %(!$, d) $&(.!$ D 2$D为有向曲线弧4在点(!,$)处的切向量的方 向 角 &二占曲面积分数一)一!第一类曲面积分%对面积的面积分&!+定义设曲面9是光滑的 $!$D) 在9上有界

15、$ 把9分成3小块$ 任取()? 6 ? ；# #，作乘积/() 6 , W *5 99/9#+7$等式右端第一项用高斯公式计算$第二项用直接法计算& 9#三!两类曲面积分的关系两类曲面积分之间的联系如下*I7yd.z/P7z7!/Odj：dy7 Io% / Po&/ Ocos2# dS,其中 cos% $ 0s&, os2 是有向曲面 Y 在点Z#处的法向量的方向余弦& 两类曲面积分之间的联系也可以写成如下的向量形式J7 / 7S / J7 / *7S 或J7 / dS % 7： 3 dS$其中:% (P ,Q,R# ,* % (cos%cos&,cos2)为有向曲面 Y 在点 !$z# 处

16、的单位法向 量 dS %*dS % ddz dzd! d!d# 称为 有向曲面元$:3 为向量: 在向量* 上的投影&斗一/场论(数一)一!梯度!+定义设有一个数量场2 % 2(!Z# , P(!,Z#是该场内一点$ 若存在一个向量$该向量所指方向为2 %2(! $ $ Z#在P( $ $ Z# 处方向导数最大的方向，该向量的大小为2 % U(!Z#在点P 处方向导数的最大值，则该向量称为数量场U % U(!ZZ在点 I 的 梯 度 $ 记 为 ()*4&+计算真题再现!(! ) 当 / %/ 6 时 $O % & %()当 0 $/ $+ 6 时 $真题再现!0# 年 数一 !设数列-,3.

17、单调减少#-m,0#G3 % 2,2!3 % #!#(无界#则幂级数 2,3!#3 的收敛域 为! !*0 #! & #答案$!三!幂级数的性质性质 幂级数 2，”!的和函数mM!在其收敛域#上3%&连续&性质# 幂级数2，!的和函数M(!)在其收敛域#上可%&积$并有逐项 积分式6 6 6M!#7! % &2，! 7! % 2 ，!7! % 2& & %&%& &%&，!/# ,! # #&/# 逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径& 性质3 幂级数2，!的和函数M(!)在其收敛区间MR,%&O# 内可导$且有逐项求导公式M % ( 2，! ) % 2 !# % 2，! # $

18、! I $ O&%&%&%#逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径& 性质4 设级数2，!的收敛半径为O# ,和函数为M#(!),%&级数2-!的收敛半径为O!,和函数为M!(!)，令O % mmO,%&O!.则当! # (RO)时,(#)2，! /2-! %M# /M!%&%&(!)(2，!)(2-!)%M#/M!%&%&2，! M(3)若-& / &,% 比.2-! M!%&四!函数的幂级数展开式 !+泰勒展开式及麦克劳林展开式 设$(!) 在! %!& 处任意阶可导$则幂级数63# #2 2& ! 一！& ) % $& a2x+Fy+c2 丿解法分两种情况*若十%-%2 / &

19、 ,则令D %方程化为 若虫/ ，则方程组% &有唯一解它是变量可分离方程,由变量可分离方程解法即可求其通解&,2-2-,2! /-2/ ?2 % &%, %&令4 % ! +%,A % +&, 则原方程化为它可由齐次微分方程基本形式% $丿的解法求出通解.在求解变量可 分离 的方程 与 齐 次 微 分方 程 时函 数 方 程 C %&P7% % & ,或$4% % 4的解也是原微分方程的（常数） 解在求解的时候不要丢掉&三!一阶线性微分方程微分方程/ T(! % q!#称为一阶线性微分方程&它的通解公式是%9+*T!#7!*&Q!#9*T!#7!7!/*上式中$t!7x表示原函数，且不用再加

20、任意常数. 四!伯努利方程%数一&微分方程./ T !# %Q!#3 其中 3/&$3 /#称为伯努利方程&将原方程化为3 /T! 3 % q!&令d#+3$得利用一阶线性微分方程求通解，之后再代入d % # 3即得原方程 通解&t! 当3% &或#时此 方程变为一 阶线性方程 或 变量可分 离 方程8方法中没给出初始条件故积分i丄d无时，必须讨论！ & !&与 !$&五!全微分方程%数一&全微分方程的形式:M（x）!/N（x）d；y % 0,其中（N有 一阶连续偏导数且满足;% （&5!5求解方法：在N % （ 的条件下，一定存在原函数4!# 使得d %（d +Nd从而方程的通解公式由4$）

21、% C壬 意常数） 给出，求原函数4（!，） 的方法有两种 的定义域事先选定& 由曲线积分中有关的定理知道，有下述定理*设6为平面上的一个单联通区域I!#与Q!,)在6上连续且有连续的一阶偏导数， 则原方程为全微分方程的充要条件为能够通过观察法找4!，#，或者在与路径无关的条件下找4!， # ，或者区域6为边平行于坐标轴的矩形，由折线公式法找 4!，# &六!可用简单的变量代换求解的某些微分方程%数一&一般来说，如果方程中出现($!# $,! /- /*# $,!2 +)$!)和$)”等形式时，通常做相应的变换(%! , 4 = !+-+ * , 4 % ! + -y2, =和 4 % ! ”

22、等，化为可求解的方程类型&二三可降阶的高阶微分方程的求解一!4%*&/5 %6&型微分方程3#%$!#的右端仅含有自变量! 只要把3+# 作为新的未知函数 那么3#%$!# 就是新未知函数的一阶微 分方程&两边积分 就得到一个3+#阶的微分方程3+# %*$!#7!+*#同理可 得3+2#%*&$!#7!+*# 7!+*2 对上一个积分结果继续求积分$接连积分3次$便得方程3#% $!#的含有3个任意常数的通解&二!47/5 %648&型方程E % $（!$.的特点是不明显含有未知函数，此时$ 把作为未知函数，而使用变换.%才，于是有7 %!，这样 将原方程降阶为一阶方程半% $#这里T为未知

23、函数，若7!其解存在，则可以求出其通解T % （,*#,然后根据关系式 %T求得原方程的通解为 %*!$*# #7!/*!&三!47/5 %448&型方程E%的特点是不明显含自变量！，此时可以把暂时作为方程的自变量，做变换% T于是7!7!7!7 7!7这样可将原方程降阶为关于p与的一阶微分方程p T % $,7p# ,若其通解存在,则可解出其通解为p% , *#,换回原来的 变量,便有%（ , *#,此为可分离变量的一阶微分方程,对 其积分得通解* （#*#）*%+* &U/二阶及高于二阶的常系数线性微分方程的求解一!线性微分方程解的性质及解的结构定理 设有二阶非齐次线性微分方程E/p!#/

24、Q!# % $!#$#所对应的二阶齐次线性微分方程E/p!#/Q!# % &8#!+解的线性相关与线性无关设#（!）, !（!）, + , ,!）是方程（5）或方程（6）的S个解函 数，若存在不全为零的S个数字4 $!+ $M使得2# !#/2! !#/ + /2MM !#% &$则称# !#$! !#$+$M !#线 性相关$反之则称 线性无关&+解的性质与解的结构定理 定理! 如果函数#!#与!#是方程 #的两个解$ 那么 % *# !#/*! !#*# $*! 是任意常数# 也是 #的解$其中*# $*! 是任意常数& 定理#!如果#!#与!#是方程#的两个线性无关的 特解$那么 % *

25、# !#/*! !#*# $*! 是任意常数# 就是方程 #的通解&推论 !如果# !#$! !#$+ $3!#是3 阶齐次线性方程 3#/,# !#3+#/ + /,3+# !#./,3!# %& 的3个线性无关的解$那么$此方程的通解为 % *# !#/*! !#/ + /*33!#$ 其中*# $*! $+ $*3 为任意常数&定理$ 设是二阶非齐次线性微分方程(5)的一个 特解$!#是与$# 对应的齐次线性微分方程# 的通解$那么 %!) /B !) 是二阶非齐次线性微分方程5) 的通解&推论!若#!)$!)是二阶非齐次微分方程5)的任意两 个解$则# !) + ! !) 是其对应的齐次微分方程 ) 的解&定理+! 设非齐次线性方程5) 的右端$!) 是两个函数之 和$即E/T!) ./Q!) % $# !) /$! !)$而B!)与B !)分别是方程E/T!) ./Q!) % $# !) 与E/T!)./Q!)% $!