高考数学一轮总复习课件教案 第八章 第1节 直线的方程

1、第八章平面解析几何第1节直线与方程考试要求1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握 确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）， 了解斜截式与一次函数的关系.養回顾教;材養夯卖基础;1直线的倾斜角定义：当直线/与X轴相交时，我们取X轴作为基准，X轴正向与直线/向上 方向之间所成的角a叫做直线伯勺倾斜角；规定：当直线/与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为_0_；范围：直线的倾斜角a的取值范围是_.2直线的斜率7T（1）定义：当直线/的倾斜角么工时，其倾斜角a的正切值tan

2、么叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母幺表示，即tana ；乃一乃（2）斜率公式:经过两点户心1丿）,戶2（兀2卩2）（兀1工兀2）的直线的斜率公式为k= KF .3.直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率ykx b与X轴不垂直的点斜式过一点、斜率yyo=k（x xo）直线两点式1过两点yyix兀1与两坐标轴均不y2yix2%i垂直的直线截距式.纵、横截距-+=1a b不过原点且与两 坐标轴均不垂直 的直线一般式（才+心0）所有直线微点提醒2求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直 线都存在斜率.3截距为一个实数，既可以为正数，也可以为

3、负数，还可以为0，这是解题时容易忽略 的一点.基础自测疑误辨析1判断下列结论正误(在括号内打“丁”或“X”)直线的倾斜角越大，其斜率就越大()直线的斜率为tan a,则其倾斜角为久()斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等()经过任意两个不同的点P1(x1, yj, P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)=(xxi)(P2yi)表示()解析当直线的倾斜角ai = 135, a2 = 45时，aa2,但其对应斜率k1= 1, k2 1, kk2.当直线斜率为tan(45)时，其倾斜角为135.两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等.答案(1)XXX (4)7教材衍化(必修2P89B

4、5改编)若过两点A(m, 6), B(1, 3m)的直线的斜率为12,则直线的方程 为.3/77 6 解析 由题意得+附=12,解得m = 2, .A(2, 6),直线AB的方程为y6= 12(x2),整理得 12xy18 = 0.答案 12xy18 = 0(必修2P100A9改编)过点P(2, 3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为.解析 当纵、横截距均为0时，直线方程为3兀一2尹=0；当纵、横截距均不为0时, 设直线方程为1,贝记+弓=1解得0=5.所以直线方程为兀+尹一5 = 0.a aa a丿答案 3x2y=0或x+y5 = 0考题体验（2019 济南调研）直线x尹+1= 0的倾斜角为

5、（）A.30。B.45。C.120。D.150。解析 由题得，直线y=x+l的斜率为1,设其倾斜角为则tana=l,又0Wa180，故 a=45.答案B5.(2019广东七校联考)若过点P(1a, 1+ a)和Q(3, 2a)的直线的倾斜角为钝角，则实 数a的取值范围是()A.(2, 1)C.(g, 0)B.(1, 2)D.( ,2)U(1 ,+)2o 1 an 1解析由题意知3_i+qV0,即科孑0,解得一2a0, b0).13_el,书.IT 7T又0丘0,兀），所以丘片，寸，.,71 JT即倾斜角的取值范围是j,亍.(2)法一设刃与的倾斜角分别为B,直线刃的斜率是 kAP=l,直线的斜率

6、是加=羽，当直线/由刃变化到与y 轴平行的位置FC时，它的倾斜角由a增至90。，斜率的取值范围 为1, +).当直线/由FC变化到的位置时，它的倾斜角由90。增至0,斜 率的变化范围是(一,羽 故斜率的取值范围是(一, a/3 U 1, +).法二 设直线/的斜率为仝，则直线/的方程为y=k(x1),即kxyk=0. A, B两点在直线/的两侧或其中一点在直线/上，(2k1Q(a/3QWO,即伙一1)伙+a/3)0,解得 1或 kW3.即直线/的斜率A:的取值范围是(一00, a/3 U 1, +).答案(1)B (2)(I 书Ul, +oo)【迁移探究1】若将例1 (2)中P(1, 0)改为

7、P(-1, 0),其他条件不变，求直线/斜率的取值范围解设直线/的斜率为仏则直线/的方程为y=k(x+1),即kxy+k=0.TA, B两点在直线/的两侧或其中一点在直线/上，(2k一 1 +Q(W0,即(3( 1)(乞一书)W0,解得gw/cW书.即直线/的斜率的取值范围是书.【迁移探究2】若将例1(2)中的B点坐标改为B(2, 1),其他条件不变，求直线/倾斜角的取值范围.解 由例1(2)知直线/的方程kxyk=0,TA, B两点在直线/的两侧或其中一点在直线/上， *. (2k 1 k)(2k + 1 k)三()，即(k1)(k+1)W0,解得一1WkW1. 兀3兀 )即直线/倾斜角的取

8、值范围是o, & u才，兀.规律方法1.由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直 线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数y=tan x在0,兀）上的单调性求解，这里 特别要注意，正切函数在0,兀）上并不是单调的.7T2.过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率范围时，应注意倾斜角为申时，直线 斜率不存在.【训练1若直线/： y=kx书与直线2x+3y6 = 0的交点位于第一象限，则直线1的倾斜角的取值范围是（）A.7171 兀2j7lD.71 兀V 2_解析直线y=kxy3恒过点（0,书），可作两直线 的图象，如图所示，从图中可以看出，直线I的倾斜 角的取值范围为各号丿.-答

9、案B考点二直线方程的求法【例2】求适合下列条件的直线方程：经过点P(4, 1),且在两坐标轴上的截距相等；经过点(-1,-3),倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍;经过点B(3, 4),且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.解(1)设直线/在兀，尹轴上的截距均为Q,若a=0,即/过点(0, 0)和(4, 1),所以/的方程为y=c,即x4y=0.若 心0,则设/的方程为专+1，41因为/过点(4, 1),所以-+-=1,所以a=5，所以/的方程为兀十尹一5 = 0.综上可知，直线/的方程为兀一4尹=0或兀+尹一5 = 0.由已知设直线y=3x的倾斜角为a,贝I所求直线的倾斜角为2久 因为 ta

10、n a = 3, 所以 tan= 一弓.1 tan a 4乂直线经过点川一1,3),3因此所求直线方程为j+3 =二(兀+1),即3x+4尹+15 = 0.(3)由题意可知，所求直线的斜率为1.又过点(3, 4),由点斜式得y4=(x3).所求直线的方程为xy+1 =0或x+y7 = 0.规律方法1.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用（若采用点斜式，应先 考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零）.1【训练2】 求过点力(1, 3),斜率是直线y=4x的斜率的亍的直线方程；(2)求经过点/( 5,

11、2),且在兀轴上的截距等于在尹轴上截距的2倍的直线方程. 解(1)设所求直线的斜率为仏1 4依题意=4X-=-又直线经过点力(1, 3),4因此所求直线方程为y-3 =亍(兀一1),即4工+3j13 = 0.（2）当直线不过原点时，设所求直线方程为窃+产=1,将（一5, 2）代入所设方程，解1得。=一刁 所以直线方程为兀+2尹+1=0；当直线过原点时，设直线方程为尹=Ax,2 ?贝（|一5力=2,解得所以直线方程为尹=尹 即2x+5y=0.故所求直线方程 为 2x+5j=0 或 x+2j/+1=0.考点三直线方程的综合应用”多维探究角度1与不等式相结合的最值问题【例3 1】 设mR,过定点/的

12、动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m + 3 = 0 交于点P(x, y),则PAPB的最大值是.解析 由直线xmy=O求得定点A(0, 0),直线mxy加+ 3 = 0,即y3=m(x r 1)1),所以得定点3(1, 3).当加=0时，两条动直线垂直，当加H0时，因为一爲加I m丿1,所以两条动直线也垂直，因为F为直线xmy=0与mxy 0的交 P41 -PB1点，所l|B4|2 + |P5|2 = |5|2=10,所以|刃|尸匸 =5(当且仅PA = PB =下时，等号成立)，所以|B4|PS|的最大值是5.答案5角度2由直线方程求参数范围【例3 2】已知直线厶：ax-2y=

13、2a4, l2： 2x+a2y=2a2+4,当0a2时，直线厶, 12与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a=.解析 由题意知直线斤，2恒过定点尸(2, 2),直线A的纵截距为2 Q,直线?2的横1 1 ( )2 截距为/+2,所以四边形的面积5=22(2q)+X2(；+2)=2+4= a.+芋，又0q2,所以当时，面积最小.1答案规律方法与直线方程有关问题的常见类型及解题策略求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本 不等式求解最值.求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的 单调性或基本不等式求解.【训练3】如图，在两条互相垂直的道路1、，12的一角，有一个电线杆，电线杆底部到 道路11的垂直距离为4米，到道路12的垂直距离为3米，现在要过电线杆的底部靠近道 路的一侧修建一条人行直道，使得人行道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面 积最小，则人行道的长度为米.解析 如图建立平面直角坐标系，设人行