第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷 评分细则

1、第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷 评分细则一、（共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分） 解答下列各题 .1.求极限 lim(1 + sin%ns 解 sin(1 + 4n2 ) = sin(1 + 4n2 -2nn = sin 2n 兀 + 1 + 4n2(2 分)原式=lim 1 + sin2n + y 1 + 4n 丿exp lim n ln 1 + sinj2n + J 1 + 4n 丿ns(exp lim n sinns2n + 1 + 4n2 丿(.nexp lim/V% 2n + 1 + 4n2 丿+82证明广义积分J0沁dx不是绝对收敛的.x( n+1)(2 分)(2 分)

2、证.记an =n8工an发散.n=0因为1(n + 1)( n+1)|sin x | dx =nsin xdx =(n+1)02(n + 1)88而工发散，故工an发散.n=0 (n + 1)n=0 n(2 分)(3 分)(1 分)3.设函数y = y(x)由x3 + 3x2y - 2y3 = 2所确定.求y(x)的极值.解 方程两边对 x 求导，得3x2 + 6xy + 3x2 y - 6 y2 y = 0(1 分)故 y1 = x(x + 2y)，令 y = 0，得 x(x + 2y) = 0 n x = 0 或 x = -2y.2 y2- x2将x = 0和x = -2y代入所给方程，得

3、J x = 0I y = -1（2y2 一 x2 ）（2x + 2xy+ 2y） + （x2 + 2xy）（4yy 2x）（2y2 一 x 尸x=0 y=T y =0=1 .y=0故y（0） = 1为极大值，y（2） = 1为极小值.（3分）4.过曲线y =歩(x 0)上的点A作切线，使该切线与曲线及x轴所围成的平面图形的面积为4,求点A的坐标.解 设切点A的坐标为(f,护)，曲线过A点的切线方程为y - 拆=护(x -1)(2 分)令y = 0,由上式可得切线与x轴交点的横坐标= 2f:.平面图形的面积S = AAxof的面积-曲边梯形ofA的面积S =3f - 3f f 3x d x =

4、f哥=n f = 1，A 的坐标为（1,1）.（4分）2044（12 分）计算定积分/=|” xsinxarctane” dx.-兀 1 + cos2 xT r0 xsinx-arctane .I =zd x ,.-兀1 亠 QCG01 + cos x1 + cos2 X” x sin x - arctan ex .d x兀 x sin x - arctan e兀 x sin x - arctan ex .d x +f 0:；d x01 + cos2 X1 + cos2 X（4 分）xsinx= !o（arctan 护 + 啦如 e x）盘 d x兀 y x sin x2 f 0 1 + co

5、s2 xdx（2分）ttY psin x2丿0 1 + cos2 x（4 分）t3（2分）三、(12分)设f (x)在x = 0处存在二阶导数f(0)，且lim竺 =0.证明：级数xtO x所以证由于f(x)在x = 0处连续，且limf(x) = 0,Z x则f (0) = lim f (x) = limf(x) - x = 0,XT 0 x TO xf (0) = lim f (x) - f (0) = 0.xT0 x - 0应用罗比达法则，lim 翌=lim 加=向 f(x) - f()= 1 f ” (0).xT0 x2xT0 2xxT02(x -0)2limnT0由于级数工冇收敛，从

6、而工fn=1 nn=1收敛.(2分)(2分)(3分)(2分)(3分)b四、(10 分)设 | f (x) | m 0 (a x b)，证明 f sin f (x)dx m 0(a x b)，所以f (x)在a,b上严格单增，从而有反函数.(2 分) 设A = / (a)，B = f (b)，炉是f的反函数，贝Io0(y)=1 1 f f(x) m又 | f (x) | n，则一兀二 A B n，所以n 12/ + 6y2 + 9z2 -3)旳=3出(x2 + 2y2 + 3z2 1) dxdydz .(3 分)77为了使得I达到最小，就要求V是使得疋+ 2尸+ 3Z-1 0的最大空间区域，即(

7、3分)V = ( y, z)| / + 2 y2 + 3z2 1.所以V是一个椭球，S是椭球V的表面时，积分I最小.x=u为求该最小值, 作变换y = v怎.则竽兰=土，有d(u, v, w) V6z - w 13I 二3 jjj (uu + v2 + w2 1)dudvdw .(4 分)u +v2+-w 1使用球坐标变换, 我们有 TOC o 1-5 h z o 2 兀兀1a 1/2(4分) HYPERLINK l bookmark34 o Current Document I = - f d dff(r2-1) r2 sin dr =兀.怡f f丿15六、(14 分)设 la (r)ydx

8、 - xdy=f (x2 + y2)a,其中a为常数，曲线C为椭圆x2 + xy + y2r2, 取正向. 求极限 lim Ia(r).rT+8x = (u v)/ J2 解作变换 厂,y = (u + v)/ 丁2曲线C变为uov平面上的312u2+2v2 =r-也是取正向(2分)且有 x2 + y2 =u2 +v2,ydx xdy =vdu udv ,作变换彳2u = Jr coseV3v = J2r sin 0Ia (r)=udv+ v2)a(2分)2,贝卩有vdu udv =产r2d0de_2_f (2cos20/3 + 2sin20)a =苗2乃其中 J f (2cos2 0/3 +

9、 2sin2 0)a， J 1和a 1(2分)lim Ia (r) = _8, a 1 . r T+s_2n, a = 1118 1 + . +七、(14分)判断级数 n的敛散性，若收敛，求其和.幺(n + 1)(n + 2)解：记色=1 + 2 +，+ n * = (n + i)(n + 2)5n =1,2,3.因为 n 充分大时0 an+(3分)所以un (n + 1) (n + 2) n3/288而收敛，所以un收敛. n2n=!(2分)(2) a広=1 +1 + + 丄(k = 1,2,.)2 kS =y 1+ 2 + k =f ak =f ( ak _ ak n =(k + 1)(k + 2) =(k + 1)(k + 2) = I k +1 k + 2 丿(2分)(2分)(2 分)(3分)= a1 +了 (a2 _ a1) + (a3 _ a2 ) + + (an _ an_1) an234n +1n + 2